向量空间

给定一个领域F、 一个向量空间超过F是一个设置V带两个操作定义如下：

• 添加第页，共2页矢量v:u+v中的s u、v；
• 乘法运算向量v在v中乘以标量F:c*v中的c。

这些操作需要满足以下要求公理s.对于矢量s u，v∈v和标量s b，c∈F：

• 添加为可交换的：u+v=v+u和相联的：u+（v+w）=（u+v）+w。
• 存在一个零矢量0∈V，这样对于所有V∈V来说，0+V=V，对于0*V=0.
• 乘法是关联的：b*（c*v）=（b*c）*v。
• 乘法是分配的交叉加法：c*（u+v）=c*u+c*v，以及（b+c）*v=b*v+c*v。
• 乘法保留字段的单元：1*v=v。

示例

• 如果我是任何人设置（称为索引集)F是一个字段功能s I→F是F上的向量空间：
  • 对^n个是位于实数s R（取I={1,2，…，n}）。
  • 如果^n个是F上的向量空间。
  • 所有函数X→R的集合是R上的向量空间，对于任何集合X。
• 这套功能s从R到任意向量空间V over R是R上的向量空间（当然，如果将“R”替换为任何其他字段“F”，这仍然成立）。
• 全套连续的/可微分的/k倍可微/分析的/几乎所有“漂亮”的财产 功能s X→R^n个，其中X⊆R^米是一些开式集合是R上的向量空间。
• 如果F是一个字段，K⊆F是一个子字段，那么F是K上的向量空间：
  • C（该复平面)是的向量空间实数s R。
  • 有限域GF[p^k个]是GF[p]上的向量空间。
  • R是有理数s问。

非常感谢jrn公司和至西布塔格对于固执地 坚持我在定义中有一个错误——缺少公理（1*v=v）和（0+v=v！