法律余弦，或如有时所知余弦规则，说是一个三角形具有的侧面长度a、 b、c和角s分别与这些边相对的A、B和C遵循以下关系：
一2=b2+c2-2ab*Cos（A）
请参阅下面的一些图表。
自法律颁布以来科斯直线表示三角形所有三条边的长度和其中一个角的长度，如果你知道其中四分之三，你通常会使用它。然后你可以解决对于剩下的未知。所以，如果你知道三角形所有边的长度，想知道其中一个角，或者如果你知道一个角和两边的长度，想要知道第三个角的长度，你就会使用余弦定律。另一方面，如果你需要关联两个边和两个角度，那么正弦定律（也称为正弦规则)就是你想要的。
你不必记住余弦定律直角三角形，因为在这种情况下，它只提供了您已经了解的其他信息正确的三角形。如果A是直角，则Cos（A）=0，因此余弦定律正好成为勾股定理1如果A是另一个(严重的)角度，有点代数表明余弦定律只会给我们正常的结果”相邻的结束斜边“的定义余弦最后，如果A=0，那么A、b和c都是共线的，并且由于Cos（A）=1，它只告诉我们2=（b-c）2这是有道理的，因为当A=0时，A就是b和c之间的长度差。所以当我们处理没有直角的三角形时，我们只需要用到余弦定律。
我过去讨厌余弦定律，因为我永远记不住它，也不知道它是从哪里来的。有一天我意识到，如果你知道矢量s和点积那么很容易理解。这几乎不是最初的发现，但现在我想先用向量来解释，然后用毕达哥拉斯语 定理.
向量参数
根据向量，我们可以将三角形描述为三个向量，一,b条、和c（c）长度分别为a、b和c，其关系如下一+b条=c（c）。我们可以将关系改写为一=c（c）-b条然后，如果我们使用*代表点积,
一*一=a2= (c（c）-b条)*(c（c）-b条)
分配收益，
一2=c（c）*c（c）+b条*b条-c（c）*b条-b条*c（c）
但记住
c（c）*b条=b条*c（c）=bc*Cos（A），
因为A必须是b条和c（c）（与A相对）。继续，我们得到
一2=b2+c2-2bc*Cos（A）
这里我们有余弦定律，只需要使用点积。我应该注意到，在这里我采用了余弦为Cos（A）=b条*c（c）/（bc），当A是b条和c（c）在这种情况下，如你所见，余弦定律的证明非常简单，但那是因为我们已经将大部分信息构建到余弦和点积的定义中。所以，这个向量论点从技术上来说是一个证明，但它是一个微不足道的证明。
标准几何论证
以下是可能出现的3种不同性质的可能情况的图表。基本上，由于A+B+C=180度（也就是π弧度），因此A、B或C都是钝的，每一个都导致了一幅质的不同画面。它们在这里：
C C公司/|\ _ /|/ | \ _ / /./ | \ _ / / .b/|\b_//。/|d\a_//。/| \ _//a。d日/ | \ _ / / ./ | \ _ / / ./f Z|e\/c B/e。------------------+---------- ------------------+................A c B A f ZC类_ /|_ / /._ / / .a _//。_ / / ._//b。d日_ / / ._ / / ./c飞机。------------------+................B e Z公司
如果有边为a、b和c的三角形，我们可以移动它，使其位于x轴三角形的边c落在x轴上。回想一下，我们将顶点三角形A、B和C，每个三角形都与标签相似的一侧相对。现在，假设A是严重的。现在，我们添加一个海拔高度（从C开始的垂直线，与x轴成直角相交），将顶点C（唯一不在x轴上的顶点）与x轴连接起来。将高度与x轴Z相交的点称为高度d，将连接顶点B与Z、e的直线称为连接顶点A与Z、f的直线。现在，A、d和e形成一个直角三角形，因此
一2=e2+d日2（等式1）
另外，b、d和f形成直角三角形，a是b和f之间的夹角，所以
f=b*Cos（A）。（等式2）
和b2=f2+d日2（等式3）
现在我们可以求解d的方程32将其代入方程式1，得出
一2=e2+b条2-（f）2（等式4）
e的长度是f和c的长度之差，所以
e（电子）2=（f-c）2=f2+c2-2fc（等式5）
那么，将方程5代入方程4，我们得到
一2=b2+c2-2分之一秒
方程2变成
一2=b2+c2-2bc*Cos（A）
这证明了余弦定律。现在，我们假设A在这里是急性的，但如果A是急性的钝的，只需将方程2改为f=-b*Cos（A），这意味着e是c和f的长度之和，而不是差值。如果你用这些事实进行推导，你会发现同样的结果。
这是一个证明的基本草图。我称之为论点，是因为我在这里诉诸几何直觉，而不是做严格的证明，而且我还没有把所有的假设都说清楚。事实上，我们隐含地假设欧几里德第五公设这就是为什么这里所说的余弦定律只适用于欧几里德几何并且必须在中修改非欧几里德几何.
1通常毕达哥拉斯定理是用来证明余弦定律的，所以用余弦定律来证明毕达哥尔斯定理是循环的。
我试图让任何了解向量和点积的人都可以使用向量表示。如果你在那个小组，但写的内容似乎还不清楚，请给我发短信，让我知道。