每个人都知道我们的日常工作现实在中三维大部分，或者可能在4维 时空如果我们想走得很快。这个写不是关于物理学，尽管数学在任何数学描述属于现实，又名物理理论。
这篇文章是关于捕捉维度本质的一些数学尝试。
- 它长得惊人，因为（如上所述）尺寸太简单了！不幸的是，谈话准确地说关于维度的讨论很快就会导致令人惊讶的障碍，并在试图克服这些障碍时产生结果。这是我的道歉。讨论分数维和无限维属于其他地方--但请参见Hausdorff维数，不仅仅是分数维，第一次。
- 它太短了，因为太多我要知道的材料，更不用说写一篇文章了。因此，我将努力超链接尽可能补充材料，只对（我）认为重要的方面含糊其辞。然而，除了我对如此多的事情一无所知之外，对于这种简短，没有什么可以接受的道歉。
任何定义因为维度是确保它确实是，定义明确正如我们将在下文中看到的，许多过于天真的可能定义都失败了。幸运的是，可以找到更好的定义（在满足“维度”的许多直观明显属性的意义上）。更好的是，这些定义可以在所有领域产生大量深刻的数学。
注意：重要概念与大胆的--如果你（像我一样）方便不要想要阅读整件事，只需看一下想法的简要列表。
每矢量 空间V超过a领域F有一个基础。我们将首先考虑当有限的，有限的基础存在。那么，很容易证明一个基实际上必须存在，并且同一向量空间的任何两个基都将具有相同的基数属于要素s.所以说V是有意义的(同构的至）Fd日，对于某些有限d≥0。我们称d为V的维数，d不依赖于基的选择（因为任何V的基础将有d个元素）使其定义明确。
这个定义很有道理。结果是一条直线——R除以R——是一维的，平面——R2R的上方，或者C的上方——是二维的，一般来说，我们似乎生活在（至少！）三维现实中（或者4-，这取决于我们在物理理论中的偏好）。
我们还注意到一些不愉快的情况。例如，我们可以
V=Q+√2
作为向量空间理性的那么V的维数是2除以Q。另一方面，如果我们看R中的V，那么V有一个度量，V的行为与这个度量非常兼容，并且在这个度量中它显然是一维的。我们需要向前跳过一点，只需注意V与R共享一个唯一的属性，即如果a，b，c∈V，则d（a，c）=d（a）+d（b，c），或d（b、c）=d（b，a）+d（a、c），或者d（c，a）=d。幸运的是，如果底层字段F配备了兼容的拓扑，是完成; 作为距离无论如何，只有在以下情况下才能表现良好分析（而不是数论，其中什么都不管用总之），我们掩盖了这一点：将代数和分析结合起来需要付出更多的努力，而不仅仅是从两者中提取一个无关的概念并希望它们能相处。
为了平衡写的结果，我几乎总是只考虑F=R的情况，所以F是一个完整的字段，我们可以忽略这些异常——我们会有很多其他的异常。
功能
当我们考虑到功能s R（右）米→对n个“显然”，我们希望函数不增加维数。例如，在物理系统中，维度通常对应于自由度，并且有一个增加自由度的程序是非常没有意义的！
不幸的是，我们很容易
定理.对于任何维数m和n，都存在映射f:R米→对n个哪个是到上面此外，f是一对一。
这种情况很快就破坏了我们在这种情况下注入任何物质现实或感觉的希望。所有有限向量空间Rd日有相同的基数。那么，让我们尝试限制f！当然是一个连续的功能会表现得更好！（毕竟，上述定理中使用的函数f是高度不连续的，并且完全忽略了向量空间的复杂结构，将它们仅仅视为对象集。）
这个皮亚诺曲线是连续的空间填充曲线。它映射[0,1]→[0,1]2。连续函数可以将一维映射为二维。再一次，一切似乎都失去了。
谢天谢地，布鲁尔的尺寸不变性定理说事物不是相当地真糟糕。它指出R米和Rn个不是同胚的对于任意m≠n。例如，R2与R不同胚三，因为如果我们从R中删除一个点2它不再是了简单连接的，而R三即使在移除一个点之后仍然如此。--克杰里斯为本节提供了材料，包括我剪下的一段引人入胜的历史；谢谢！
不过，最好有一个更有力的论据，即“nice”函数不能增加维度（也就是说可测量的函数不能增加熵）。幸运的是，我们实际上可以做得更好。一旦我们要求连续可微的（C）1),萨德定理（或者更确切地说，该名称的许多变体之一）可以用来表明它不能增加维度。任何像皮亚诺曲线这样的东西都不能有导数；当m<n时，从m维到n维的任何映射都是如此。
歧管
最后，我们有了一个机制（维度定义为一个基中元素的数量）和使用它的理由（它在适当限制的函数（物理中出现的函数）下表现正确）。我们可以立即开始工作（适当平滑）歧管s——空格，其中地方的ly看起来像Rd日我们对维度的定义很容易本地化：我们只想在每个邻域中都有一个d元素的基。
歧管为非常漂亮的数学对象。正如所料，它们的拓扑在很大程度上取决于它们的尺寸。一个重要的持续主题微分拓扑是流形的分类例如，在一维中，我们有两个流形：R和S1（圆圈）；其中一个是契约在二维中，我们有无限多的类型，即使是对于紧流形也是如此。但一切都可以构建只使用几个“基本”流形（tori和射影平面s） ；看见用小行星解释2-流形的拓扑分类以一种非常有趣的方式呈现细节。更高维度获得迅速地更加复杂；弦理论之父埃德-威滕收到了菲尔兹奖章用于低维流形的分类工作，但有许多问题（例如庞加莱假说)保持打开状态。
讨论范围
低维流形非常有趣。有一些相当明显的物理重要性（尤其是在维度3和维度4中），这些维度（巧合与否！）是真正有趣的事情开始发生时的维度！显然，几何学受影响：
- 在R中2，的四色定理对于紧二维流形，似乎某些k色定理将成立。但只要我们去R三更重要的是，一个微不足道的结构不能用有限多的颜色着色：两组相互成直角接触的对齐杆——例如一块无限大的编织地毯——不能对任何有限的k着色。
- 复杂分析有它的轮廓积分s、 可用于定义绕组编号关于一个点的曲线。类比存在于更高的维度中，但并不是所有东西都能概括为它们。
来自的两个示例可能性理论，只是为了说明这些事情传播的程度：
- A类简单随机游走在二维中是经常性的：它(几乎可以肯定)无限频繁地返回原点。（以及布朗运动在R中2也是经常性的：它(几乎可以肯定)无限频繁地返回到原点的任何邻域；这又与分析中的几个主题有关……）。
- 中最重要的问题渗流在尺寸3、4和5中保持打开状态。为尺寸d≥6发明的技术有已知不能在这些维度上工作。然而，关于实际行为并不令人惊讶——这只是一种全新的证明方法。
直线没有看起来像圆的部分；显然，如果M和N是维数d相等的流形，则不可能在N内找到M的副本。如果M做在某个流形K内有一个副本，然后根据萨尔德定理dim（M）≤dim（K）。我们需要什么维度才能保证在K中找到M的副本？
一个相当简单的证据表明
定理。对于维数d的任何流形M，存在一个光滑函数f:M→R2d+1这是一对一的关系。
该证明首先依赖于将M嵌入到更大的维R中k个，然后使用萨德定理证明几乎总是这样随机的投影对k个→对2d+1将生成一对一的平滑映射。更多的工作显示了紧密的界限：
定理。尺寸为d的任何歧管都可以嵌入R内二维。
例如克莱因瓶（二维）可以嵌入R内4; 它不能嵌入R内部三，因为它不是-可定向的。
抽象
代数主义者喜欢放弃一切混凝土我们可以使用以下技术分析流形同伦理论和同源性（主要是上同调). 虽然是抽象的，但它们给了我们真实的结果，例如欧拉特性(V-E+F=2在R中三，以及相应的交替求和在每个维度上）。
这样的特征s可以是完全组合的（但请注意，它们具有许多与几何关系密切的后果）。特别是，可以定义和研究单形复形锿，其中摘要去掉了我们认为正在研究的几乎所有几何性质，但仍然给出了有意义的结果。最重要的参数简单的国际实验室复杂的是它的维度——尽管只是精心设计超图第条。
进一步抽象，组合学家深入图表s、 超图，拟阵s等——发现讨论“维度”和相关概念很有用。这些可以被视为命名通过类推或者为了找到更多的流形理论而剥离几乎所有流形理论普遍的结果。