泰勒级数

泰勒级数的一些例子：

电子^x个=1+x+（1/2！）x²+（1/3！）x^三+（1/4！）x⁴+ . . .
=∑[n=0，∞，（1/n！）x^n个]

罪x=x-（1/3！）x^三+（1/5！）x⁵-（1/7！）x⁷+ . . .
=∑[n=0，∞，（-1）^n个（1/（2n+1）！）x个²ⁿ⁺¹)]

余弦x=1-（1/2！）x²+（1/4！）x⁴-（1/6！）x⁶+ . . .
=∑[n=0，∞，（-1）^n个（1/（2n）！）x个^2个]

新几内亚x=x+（1/3！）x^三+（1/5！）x⁵+（1/7！）x⁷+。
=∑[n=0，∞，（1/（2n+1）！）x²ⁿ⁺¹]

cosh公司x=1+（1/2！）x²+（1/4！）x⁴+（1/6！）x⁶+ . . .
=∑[n=0，∞，（1/（2n）！）x^2个]

自然对数x=（x-1）-（1/2）（x-一）²+（1/3）（x-1）^三-（1/4）（x-1）⁴+ . . .
=∑[n=1，∞，（（-1）^n）（1/n）（x-1）^n个]

1/（1-x）=1+x+x²+x^三+x⁴+ . . .
=∑[n=0，∞，x^n个]（a）几何级数)

棕褐色的^-1个x=x-（1/3）x^三+（1/5）x⁵-（1/7）x⁷+ . . .
=∑[n=0，∞，（-1）^n个（1/（2n+1））x²ⁿ⁺¹]

这些系列可以用来找到一些奇怪的图案在其他方面正常功能s、 像欧拉的方程式(电子^iπ= -1). 还有一些奇怪的属性事实是余弦 我x个=cosh公司x、 和罪 我x个=我 新几内亚x。

泰勒级数

定义：
泰勒级数是多项式函数带有无限的术语数量，表示为无限级数泰勒级数可用于表示任何功能，只要是解析函数如果函数不是无穷可微的，泰勒级数可以用来近似函数的值。无论哪种方式，近似值都会更精确收敛区间.

泰勒系列基础
为了理解泰勒级数，我们首先构造一个多项式的:P（x）=a₀+一个₁x+a（x+a）₂x个²+一个_三x个^三+一个₄x个⁴+ ... + 一_n个x个^n个+。。。或者，换句话说

∞---n个\一个x/n个---n=0

但我们用什么来表示_n个? 首先，让我们后退一步，研究这个多项式的导数。取几个导数后，你会发现出现了以下模式：P（P）^（n）（x） 是一个_n个*不！. 有了这些知识，我们现在可以。。。

构造基本泰勒级数
也许最基本的泰勒级数是ƒ（x）=e^x个。我们将使用此函数导出以x=0为中心的第一个泰勒级数。我们的目标是使上面构造的多项式类似于此函数。但我们该怎么做呢？容易的！拿着导数两者的P（x）和ƒ（x）并使它们相等。
首先，我们必须开始“制造”衍生品。这很容易，因为ƒ（x）=e^x个是电子^x个!

工作：

ƒ（x）=ex个ƒ(0)    = 1
ƒ'（x）=ex个ƒ'(0)   = 1
ƒ''（x）=ex个ƒ''(0)  = 1
ƒ''（x）=ex个ƒ'''(0) = 1
ƒ四、（x） =ex个ƒ四、(0)   = 1等等，令人作呕

现在，我们可以设置P（0）=ƒ(0),P'（0）=ƒ'(0),P''（0）=ƒ''(0)等等。但这有一个陷阱。还记得上面我们是如何为P（P）^（n）（x） 是一个_n个*不！? 这意味着我们必须分的导数ƒ（x）通过n！。因此，我们得到了以x=0为中心的泰勒级数的一般公式：

∞---n个\ƒ（0）x/     --------- ---不！n=0

祝贺你！你刚刚为ƒ（x）=e^x个，以x=0为中心。由于它在0处的所有导数都是1西格玛符号对于本系列而言：

∞---n个\x个/      --- ---不！n=0

如果你图表这个，你会看到多项式曲线开始到适合到图表属于电子^x个，当您向多项式的基本上，这就是你的计算器预制件高级操作(完整的s、 等），因为多项式比复数函数你可以提供。

我们刚刚创建了一个特殊的泰勒级数的类型，因为我们选择了近似x=0时。这种系列具体称为麦克劳林系列，以命名数学家是谁发现的通用公式以x=a为中心的泰勒级数为：

∞---n个\ƒ（a）（x-a）/     ------------- ---不！n=0

从已知泰勒级数构造其他泰勒级数

现在我们知道了泰勒系列ƒ（x）=e^x个以x=0为中心，我们构造一个级数g（x）=e^x个-1个，以x=0为中心。这很容易做到。我们要做的就是把原来的泰勒系列ƒ（x）再减去1！现在假设我们想为h（x）=e^x个-1/x（1/x），以x=0为中心。我们要做的就是把g（x）的级数除以x！这两者仍然可以很容易地用西格玛符号:

∞---n个g（x）=\x/     ------n！n=1∞---n-1个h（x）=\x/     ------不！n=1

这个技术对所有人都有效代数的和微积分操作，特别适用于导数s和完整的s.更多信息，请继续阅读！

通用泰勒级数有助于形成更多复杂系列

Nota Bene：所有这些系列都以x=0为中心。

S公司(x个) =罪(x个)

∞---（2n+1）S（x）=\n x/   (-1)  ---------（2n+1）！n=0

C类(x个) =余弦(x个)

∞---（2个）C（x）=\n x/（-1）--------（2n）！n=0

L（左）(x个) =1/(1+x个)

∞---n个L（x）=\（-1）x/     ---       n=0

另请参见PMDBoi公司的书面记录更多信息请参见上文有用的 系列.

深入挖掘：收敛间隔

一旦您开始使用这些泰勒级数，您将开始注意到，随着多项式项数的增加，一些将更好地拟合实际函数的曲线，另一些将更好的拟合到某一点，甚至还有一些仅当它们等于选定的以级数为中心的点时才拟合曲线。为了进一步理解这一点，我们必须分析收敛区间。

定理:收敛间隔

让

∞---n个P（x）=\a z/n个---n=0

成为幂级数。然后有一个扩展 实数 R（右）( 0 ≤R（右）≤ ±∞)这样：

1.）P（x）收敛对于所有z，使得z是C类和|z|<R（右）
和
2.）P（x）发散对于所有z，使得z是C类和|z|>R（右）

既然我们已经确定了，那么我们如何找到这个数字呢R（右）? 回到我们的基本知识数学级数，我们有一个真正的聚宝盆用于测试收敛性的选项。一些最好的电源系列是交替串联试验（当术语交替符号时很有用，如罪（x） 和余弦（x） ），而且总是有好的比率测试比率测试通常是泰勒级数的最佳选择，因为它们包含指数的s和/或阶乘的s.现在求f（x）=e的收敛区间^x个使用比率测试。

|n+1 |极限|x n！|n个→∞  |   -----  *  ----  |   <   1|（n+1）！n个||x个|

|       |                  极限|x|n个→∞  | ----- |   <   1|（n+1）||       |

因此，我们得到0≤1。因为这是始终是的，我们的R（右）是∞！这种情况意味着泰勒多项式的拟合度将随着多项式的添加了术语。随着术语数量的增加无穷，的准确函数将出现！

出现了另外两种情况：

A.）收敛区间为|x|≤k。这是案例前面提到过，其中增加的可以添加多项式项的数量，但如果添加更多项，则会达到一个点适合。这是因为该系列发散根据x＝k和x＝k周围的函数的实际图。

B）收敛区间为a。这是上面提到的最后一种情况，函数的实际图形仅匹配两个图形相交的泰勒级数多项式。这通常发生在指向其中泰勒多项式是中心ed，x=a。这个收敛区间仅适用于计算功能在指定的点。

泰勒级数实际上是由格雷果里，谁已发布函数和的泰勒级数麦克劳林系列对于tan x、sec x、arctan x和arcsec x，独立地，尼古拉·墨卡托发现了log（1+x）的Maclaurin系列。

然后在1715年，布鲁克·泰勒出现并发表直接增量法和反转法重复了格雷戈里早期的工作。然而，泰勒的书直到科林·麦克劳林引用他的话论文流数1742年。因此一般多项式幂级数后来被称为泰勒级数，泰勒级数零后来被称为麦克劳林系列。

另一方面，麦克劳林发明了解决问题的方法线性方程现在叫做克莱默法则.

虽然之前所有的写作都集中在你可以计算一泰勒通过计算适当的导数s、 这通常不是最好的解决方案，尤其是如果您只需要几个术语。毕竟，你正在寻找f的n阶导数，而你所需要的只是f的n次导数，在a处求值浪费的大量信息和时间！如果你忘记了系数可以通过微分得到，那就容易多了。

在现实生活，使用泰勒级数时，通常不需要（或可能无法获得）通用公式用于系列。相反，您将只有前n个项。在我们继续之前事实s和定理泰勒级数（我不会证明）。一切都会好起来的居中的位于0。

在以下所有情况下，f将是n次连续可微的 功能.

说我有一个以f的0为中心的n次泰勒级数意味着我有实数是一个₀，一个₁，一个₂…，一个_n个使f（x）=a₀+一个₁x+a（x+a）₂x个²+...+一_n个x个^n个+o（x）^n个).
这里的重要部分是o（x^n个)这意味着“与x相比非常小的东西”^n个当x很小时”。精确地说，它是指一个函数g，即g/x^n个 倾向于x时为0倾向于到0。有关此的更多详细信息，请参阅小o符号.

这个小o符号有一点模棱两可的根据上下文，它可以表示设置或者它可以是其中之一功能s.小o符号的使用使得地方的泰勒系列，我是只有提供关于某一点周围发生的事情的信息。如果我提供上限关于小o的值（使用拉格朗日或积分余数例如）然后我会有一个全球的泰勒级数。

一些定理

• 第一个重要定理是唯一性的系数s.这意味着：
  • 对于我的三次展开，只有一组系数
  • 如果我后来决定要一个5阶级数，我没有浪费时间，因为直到3阶的系数与我的3阶展开的系数相同。
• 第二个重要定理是集成定理。这意味着如果我有f的泰勒级数，那么我可以整合泰勒级数逐项，结果将是一个泰勒级数抗衍生的正如您可能已经猜到的，这是非常有用的，因为我们的集成系列已经高一级比原来的系列要好。您可能想注意，当您积分o（x^n个)你得到o（xⁿ⁺¹).
• 第三个定理是你可以乘和添加泰勒级数在一起，但有一个重要的警告：你必须注意o（x^n个)小心地。不难理解为什么：如果做了加法后，序列以o（x）结尾⁴)+x个⁵+o（x）⁶)，那么很明显错误的：x很小，所以x⁵小于x⁴。因此，与x相比，我们实际上有3个非常小的东西⁴与x相比是很小的⁴.上述所有条款之和为o（x⁴). （如果要正确显示，请使用o（x）的定义^n个)限制方面）实际上，你需要做的是找到o（x^n个)用最小的n，去掉所有高次的。

  你还需要知道如何简单地乘以小o规则：

  • o（x）^n个)*o（x^米)=o（x^n+米)
  • x个^n个*o（x）^米)=o（x^{百万+百万})
  为了100%正确平等的符号应该是“是一个成员”符号，左边的o表示集合的元素，右边的o表示集。

• 最后一个定理是，如果我有f的级数和g的级数，那么我可以通过用g的级数替换f的级数中的x来得到f（g）的级数。还有一个更微妙的要求，但我不会深入讨论。

现在我们已经解决了这个问题，举个例子。我会选择棕褐色的首先，我们注意到第一项很容易猜测。如果取0次级数，则f（x）=a₀+o（1），即a₀是当x趋于0时f的极限。在tan的情况下，我们知道这是0。

我们有tan（x）=0+o（1）
你可能知道tan具有tan'（x）=（tanx）的性质²+1.我们可以利用这一优势：
让我们找到Taylor级数（tan x）²+1.垂直校准以上给出（tan x）²+1=1+o（1）*o（1。
然后我们可以使用积分定理:
tan x=a+x+o（x），其中a是a常数这来自于整合。然而，从我们的唯一性定理我们知道a=0。

因此tan x=x+o（x）。
没有什么阻止我们继续：

（棕褐色x）2+1=x2+2 x*o（x）+o（x=x2+1+3 o（x2)=x2+1+o（x2)正在集成给出tan x=x+x三/3+o（x三).

当然，我们可以继续，并且不难制定出一个递归这些系数的关系。这个方法的优点是我没有计算任何东西我没有完全使用。如果你不相信，如果你认为我很幸运，因为tan的特殊性质，我建议另一个例子：1/（1+tan x）。你可能会看到，这种区分很快就会变得一团糟。

我将使用1/（1+x）=1-x+x的级数²+...+ (-1)^n模块2x个^n个+o（x）^n个)

让我们从开始

tan x=x+o（x）。1/（1+x）=1-x+o（x）1/（1+tan x）=1-（x+o（x））+o（x+o（x）

在1/（1+x）序列中添加额外的项是没有意义的，因为它们会因为第二项中的o（x）而丢失：如果我们想要更多的项，我们必须改进我们的序列以获得棕褐色。

tan x=x+x三/3+o（x三)1/（1+x）=1-x+x2+o（x）2)1/（1+tan x）=1-（x+x三/3+o（x三))+（x+x三/3+o（x三))2+o（x+x三/3+o（x三))2)

我们可以看到我们将得到一个o（x²)，所以什么时候评价这一点我们可以忘记所有与更高权力有关的条款。
因此1/（1+tan x）=1-x+x²+o（x）²)

正如你所见，获得额外的任期是公平的无痛的。我不会深入讨论细节，但我只花了大约一分钟（包括进入系列中的下一个术语晒黑的时间）笔和纸为了获得下一个学期，-4x^三/然而，计算1/（1+tan x）的三阶导数会花掉我一辈子的时间，我可能会在某个地方犯错误（我用一个中国科学院包装，它并不漂亮……）。当我把x设为0时，看着所有仔细计算的项消失，我可能也想自杀……验证这个结果是否与计算导数时的结果相同留给耐心的读者一个练习如果你仍然不确信，那么你可能想尝试计算1/（1-1/（1+tan x））。使用此方法，计算结果几乎为完全相同的到上一个，但通过以下方法获得系数区别真是一团糟。

正如你所看到的，这是一种快速而简单的查找泰勒级数的方法，即使它需要多一点理论。您甚至可以使用此方法计算衍生产品在特定点，例如，如果需要1/（1+tanx）的三阶导数为0。

在更一般的情况下，泰勒级数有很多用途，基本上是在近似对于功能是必需的，例如用于查找幂级数 解决方案到了尴尬的地步微分方程。它们还可以用于查找限制s、 例如（sin x）/x在0。此项的泰勒级数为1+o（x），这表明限制确实是1。

总而言之泰勒级数是非常有用的数学工具四处走动。