我在一个计算机实验室在校园里奥克拉荷马大学一年半前。有一点古老的,我无法完全理解。另外,我对数学符号真是太离谱了,我根本没机会理解这一点,所以这段文字的转录会有点离谱。所以,在被压碎的形式,这是证明的大纲费马最后定理.
地基处理:Frey Curves
假设有一个非平凡的解决方案费马牌手表某个数N的方程,即非零整数A、B、C、N,这样A^N+B^N=C^N.然后我们回忆起1982年左右弗雷打电话给注意椭圆曲线Y^2=X(X-A^N)(X+B^N).
打电话给这个曲线E.弗雷注意到它有一些非常不寻常的特性,并猜测它可能是如此不同寻常,以至于不可能真正存在。
首先,各种常规计算使我们能够进行一些有用的简化假设s、 不失通用性。例如,N可能被认为是质数,并且大于或等于5。B可以是假定d为偶数,A等于3(mod 4),C等于1 mod 4。A、 B和C可以假设为相对素数。
E的“最小判别式”可以计算为(ABC)^(2N))=(2^8)-2倍于完美素数幂的幂。E的一个不寻常之处是鉴别的是。
这个导体是素数的乘积,在该素数下E的约简性较差,这与分最小判别式。然而,导体中每个质数的确切功率取决于奇点该曲线具有模的坏约化素数。导体的定义规定,P仅将导体分为一次幂,如果X(X-A)(X+B)只有一个双根而不是三重根mod P。现在,任何素数只能除A或B,但不能两者都除,因为否则它也会除C,我们假设A、B和C是相对素数。因此多项式的形式如下X(X+D)mod P,其中(P,D)=1.因此任何素数至多只有一个双根模,因此导体是广场-免费。换句话说,E是半稳定的。
关于E还有其他奇怪的事情,这与它的伽罗瓦表示的特定属性有关。因为这些,里贝的结果让我们得出结论,E不可能是模的。
在弗雷引起人们对不寻常事件的注意之后椭圆形如果费马方程真的有一个非平凡的解,就会得到的曲线,塞尔(他做了很多贡献s到现代数论和代数几何)提出了各种猜想,有时单独地有时结合田山秀村猜想,可以用来证明费马最后定理.里贝特很快找到了一种方法来证明这些猜想之一。猜想本身并没有真正讨论弗雷曲线或FLT。相反,它只是声明,如果伽罗瓦表示与椭圆曲线相关的E有一定的属性,则E不能是模块化的。具体来说,它不可能模块化的在这个意义上,存在一种模块形式,它产生了相同的伽罗瓦表示。
我们需要引入一些额外的符号和术语来解释这一点准确地说设S(N)是权为2的Theta(N)的尖点形式的(向量)空间。模形式的“经典”理论表明,S(N)可以用“全纯微分“在上黎曼曲面X(N)。此外,S(N)的维数是有限的,并且等于X(N)“亏格”。“属”是表面s、 它直观地表示表面上的孔数。(例如,圆环体,例如椭圆曲线,具有属1.)
但是对于X(N)亏格有相对简单的显式公式。这些公式是赫尔维茨在很久以前在黎曼曲面理论中发展出来的,包括Theta公司(N) 对于N<来说,一个至关重要的事实是。11,X(N)的属,因此维S(N)的值为零。换句话说,在这种情况下,S(N)只包含常数形式0。我们将很快使用关于S(2)的这个事实。
有一些操作符被称为Hecke操作符赫克,在的空格上模块化的形式,特别是子空间S(N),因为它们保留了形式的权重。赫克操作员可以用多种形式具体定义方式对于所有大于或等于1的N,都有一个Hecke算子T(N)。有些公式有联系T(N)表示复合N到T(P),其中是素数除以N,所以T(P首要的P(P)决定所有T(N)。
所有T(N)都是S(N)上的线性算子。如果S(N)中有一个F,则表示同时 特征向量在所有T(N)中,即T(N本征的(非平凡特征形式不必存在,例如,如果S(N)的维数为0。)F被称为归一化的如果其前导傅里叶级数系数为1。在这种情况下特征值(n) 结果是展开式中的傅里叶级数系数F(N)=(从N=0到无穷大)A的总和N个e^(2*Pi*I*N*(无法破译的)).
可以证明,如果F(Z)是一个尖点形式归一化特征函数对于所有T(P),则存在L函数L(F,S)的欧拉积分解。这是明显地在关联方面具有很大的技术用途L函数形式和椭圆的形式曲线(定义为欧拉产品)。
如果F在所有S的集合中,则S(N)是所有S的归一化特征形式赫克操作员事实上可以表明,傅里叶变换中的系数膨胀都是代数数,它们生成一个有限的延伸第K页,共Q页。
K的整数环的素理想是模拟Q的素数s。在f是归一化的情况下特征形它是可能的对任何素理想进行Gal(Lambda/Q)的Galois表示Phi(F,Gamma)的构造伽马射线关于K的整数环。
最后我们可以描述里贝特证明了什么。假设E是一条带有导体N的半稳定椭圆曲线,且其关联加洛瓦某些素数P的表示Phi(E,P)具有某些性质。假设2除以N(这对Frey曲线来说是正确的)。如果E是模的,则存在归一化特征形f和P上的素理想Gamma(即基本因子由傅里叶系数F),使得伽罗瓦表示Phi(F,Gamma)是Phi(E,P)。Ribet证明了有可能找到一个奇数素数q不等于p,它除以N,使得在所有S(N/q)的集合中有另一个F',并且在领域 生成d乘以F'的系数,从而菲律宾比索(F',Gamma')给出了基本上相同的伽罗瓦表示。这被称为“能级降低”猜想,因为它断言在适当的条件下,较低能级的本征形式给出了基本上相同的表示。
但只要N有任何奇数素数因子,这个过程就可以重复。它是重要的曲线E是半稳定的,所以N是无平方的。这意味着N的所有奇数素数因子都可以被消除,所以一定有一个2级的非平凡本征形式,即在S(2)中,它给出了本质上相同的本征形式伽罗瓦表示这是一个矛盾,因为S(2)的维数为0,因此不包含非平凡形式。这个矛盾意味着E不能是模块化的。
现在,我们调用FLT解产生的Frey曲线的“异常”属性。这些属性允许显示关联的Galois表示具有属性需要申请里贝的结果。因此,弗雷曲线不可能是模块化的。
但Frey曲线是半稳定的,所以田山秀村猜想Wiles证明,这意味着曲线是模块化。这个矛盾意味着费马方程存在非平凡解的假设一定是错误的,因此费马最后定理已被证明。
Taniyama-Shimura猜想半稳定情形的证明
不太好惊人地(因为这是一项艰巨的工作),证明是相当技术性的。然而,它的轮廓相对简单。在下面,我们假设E是半稳定的 椭圆形我们必须证明E是模的。我们知道可以构造伽罗瓦表示Phi(E,P^无限):G->GL(Z)(我认为……不可破译)对于任何素数P。为了证明E是模的,我们必须证明这个表示在适当的意义上是模的。最棒的是,这只需要对一个素数P进行,我们可以“货比三家”,找到最容易使用的素数。
显示Phi(E,P^无穷)是模涉及到在S(N)中找到具有适当属性的归一化特征形式F。所需的特性是,F的特征值,即其傅里叶级数系数,对于除一个有限的素数Q((某物,不可破译)G是“Frobenius元素”。)我们知道,对于Q素数到PN,跟踪是系数A=L(E,S)的Dirichlet级数的Q+1-#(E(F))。
最长、最难的部分威尔斯‘工作是证明一个一般结果,即如果Phi(E,P)是模的,那么Phi(E,P^无穷大)也是模的。换言之,要证明E是模的,实际上只需证明Phi(E,P):G->GL(Z/pZ)是模块化的。这称为“模块化的提升问题”。
问题归结为假设Phi(E,P)是模块化的,并试图“提升”表示为Phi(E,P)。这主要是通过尽可能多地使用表示理论来完成的,而没有具体参考曲线E。证明使用了一个称为“变形”的概念,它直观地表明了提升过程中发生了什么。
这部分的结果威尔斯工作是:
定理:假设E是Q上的半稳定椭圆曲线,P是奇素数。假设表示Phi(E,P)既是不可约的也是模的。那么E是一条模椭圆曲线。
在这一点上,我们要做的就是找到一个素数P,使得Phi(E,P)是不可约的模。但Langlands和Tunnell在1980-81年已经证明Phi(E,3)是模块化的。
不幸的是,这还不够。如果Phi(E,3)是不可约的,我们就完成了。但否则,还需要一个步骤。所以假设Phi(E,3)是可约的。Wiles随后考虑了Phi(E,5)。这可能是可约的,也可能是不可约的。如果E是可约的,Wiles直接证明了E是模的。
所以最后一种情况是如果Phi(E,5)是不可约的。Wiles证明了还有另一条半稳定曲线E',使得Phi(E',3)是不可约的,因此根据上述定理E'是模的。但Wiles也可以安排表示s Phi(E',5)和Phi(E,5)是同构的。因此Phi(E,5)是不可约和模的,因此根据定理E是模的。
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