通过zeta零点对素数分布进行编码（通用方法）

素数分布的非平凡编码黎曼zeta函数的零点[通用方法]

这个分布质数的最简单地表示为（不连续）步骤功能 $\pi（x）$ ，其中 $\pi（x）$ 素数小于或等于x个.

事实证明 $\pi（x）$ 可以表达确切地作为光滑函数序列的极限R（右）_n个 (x个). 定义R（右）_n个(x个)我们首先介绍对数积分函数Li(x个)，出现在素数分布的分析理论：

$Li（x）=\int_{2}^{x}\frac{du}{\log u}$

这是一个平滑函数，它简单地给出了曲线下的面积函数1/logu个间隔[2，x个].

Don Zagier在他的优秀作品中解释了函数Li背后的推理介绍性文章“前5000万个素数”（来自数学信使 0（1977）7-19，基于他的1975年5月5日在波恩大学举行的首次讲座）：

“[A]很好地近似于,高斯首先给出的是以素数频率接近一个非常大的数的经验事实x个几乎精确到1/logx个从这里，素数数字最大为x个应近似由对数的总和

Ls（长度）(x个)=1/log 2+1/log 3+^。。。+1/日志x个
或者，本质上相同的是，通过对数积分
$Li（x）=\int_{2}^{x}\frac{du}{\log u}$

使用Li(x个)然后我们定义另一个平滑函数，R(x个)由Riemann在他的八页纸原件，由提供

$R（x）=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu（n）}{n} 李（x^{1/n}）$

这里是 $\亩$ 是莫比乌斯数字.某些有用的评论和与此函数相关的图形出现在里塞尔的书.

在上述文章中，Don Zagier继续解释了其中的原因在Riemann函数后面：

“我想再提一个近似值对素数的研究表明，大数的概率x个要成为素数，应该更接近1/logx个如果算上一个不仅是素数，也包括素数的幂，计算素数的平方为半素数，素数的立方体为三分之一，等。这导致了近似值：

$\pi（x）+\frac{1}{2}\pi$
或者，相当于[利用莫比乌斯反演公式]
$\pi（x）\approx Li（x）-\frac{1}{2} 李（x^{1/2}）-\压裂{1}{3} 李（x^{1/3}）-\cdot$
[请注意，减号是由莫比乌斯数产生的，并不继续无限期地]
此公式右侧的函数用R表示(x个)，英寸Riemann的荣誉。它代表了一个令人惊讶的很好的近似值 $\pi（x）$ 。。。

对于那些懂一点函数理论的观众来说，也许我可以加上R(x个)是日志的整个函数x个，由快速收敛的幂级数：
$R（x）=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{（\lnx）^{k}}{kk！\zeta（k+1）}$
哪里 $\泽塔（k+1）$ 是黎曼-泽塔函数”

这里我们看到的是黎曼-泽塔函数在复杂平面中。这些可分为两类，琐碎的和非平凡的零。

在这里有一些吗Andrew Odlyzko编纂的非平凡零表。

平凡的零只是负偶数整数。不平凡的众所周知，零位于临界带钢0<回复[秒] < 1,总是以复共轭对的形式出现。所有已知的非平凡零均为零上临界线回复[秒] = 1/2. 这个黎曼假设声明他们全部的躺在这条线上。

素数计数函数之间的差异及其“惊人的近似”R（右）(x个),即这个波动在分配中素数，可以用整个集合来表示zeta的零，我们将用 $\rho美元$ ,通过函数R本身：

$R（x）-\pi（x）=\sum_{\rho}R（x^{\rho}$

显然有些 $x^{\rho}$ 是复杂值，所以这里R是前面定义的实值函数R的解析延拓。这是Zagier在上面提到的，称为这个Gram系列扩展：

$R（x）=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{（\lnx）^{k}}{kk！\zeta（k+1）}$

总额超过 $\rho美元$ 分成两个总数，分别覆盖平凡零和非平凡零。前一笔金额当然只是R(x个^-2)+R（右）(x个^-4) +R（右）(x个^-6) +^。。。，而后者可以写入

$\sum_{k=1}^{\infty}[R（x^{\rho_{k}}）+R（x_^{\rro_{-k}}）]$

络合共轭对的贡献 $\rho_{k}$ 和 $\rho{-k}=\上划线{\\rho{k}}$ 相互抵消假想的部分，所以

$\pi（x）=R（x）-\sum_{m=1}^{\infty}R（x^{-2m}）+\sum_{k=1}^}\infty}T_{k}（x）$
其中
$T_｛k｝（x）=-R（x^｛\rho_｛x｝）-（R（x^｛\rho_｛-x｝）$
都是实值的。

我们现在可以定义函数R的序列_n个(x个)哪个近似值限制内：

$R{n}（x）=R（x）-\sum{m=1}^{\infty}R（x^{-2m}）+\sum{k=1}^{n} T型_{k} （x）$

上提供了一个极好的例子第页汉斯·里塞尔（Hans Riesel）书的第55页，与之相比 $\pi（x）$ 具有

$R{10}（x）=R（x）-\sum{m=1}^{\infty}R（x^{-2m}）+\sum{k=1}^{10} T型_{k} （x）$
即通过前10对贡献修正的Riemann函数非平凡的zeta零。Zagier的文章还包括前几个T_k个(x个)以及R₁₀(x个)和R₂₉(x个).

下面我们看到一个动画图像，每个连续的帧都是添加另一个T型_n个(x个)到函数

$R（x）=\sum_{m=1}^{\infty}R（x^{-2m}）$

[雷蒙德·曼佐尼提供的动画]

下面的动画图是上面函数的导数，我们可以看到作为Dirac delta型尖峰出现的素数位置。这个中间水平杆的构造使得亮度与导数的绝对值有关。就这样我们看到素数的位置逐渐以窄光带的形式出现。

总结：R(x个)渐近于 $\pi（x）$ ，对于素数的分布。这是李的精髓(x个)，本身是一个基础的细化 $\pi（x）\sim x/\log x$ 由素数定理.R可以被认为是描述“平均值”素数的行为。修正项T_k个(x个)，使用定义zeta函数的零点共同描述了局部波动。

值得注意的是，单个平滑函数不仅可以提供极好的估计 $\pi（x）$ ，但也通过（复）指数“重新校准”的无限和准确的的表达式波动 $R（x）-\pi（x）$ .

换句话说，使用单个函数R和非平凡zeta集零，我们可以精确地重建素数计数函数 $\pi（x）$ 因此，非平凡的序列zeta零有时被描述为素数序列的“对偶”。

更优雅的方法

其他感兴趣的项目

“我们将……写作

$\rho{n}=1/2+i\gamma{n}$

……关于 $\gamma_{n}$ ，但他们被认为可能是超越数，代数上独立于任何被考虑过的合理数字”

A.M.奥德里兹科关于的非平凡零点zeta函数，来自“素数、量子混沌和计算机”

“什么黎曼观察到（和哈达玛后来证明）是吗zeta函数也可以写为产品零在复杂平面中：

$\zeta（s）=f（s）（1-s/\rho{1}）$

哪里 $\rho_{1}$ , $\rho_{2}$ ,等。是综合体吗其中的数字 $\zeta（\rho）=0$ ,和（f）(秒)是一个相当简单的“捏造因素”。Riemann通过将zeta函数这两个表达式的对数是可能的导出。。。一系列越来越精确的近似-实际上准确的公式 $美元\piofN$$ ”

Barry Cipra，来自“混沌的基本情况”(1999)

“黎曼的伟大成就之一[1,2]是为 $\pi'（x）$ ，构造如下。第一， $\pi'（x）$ 用函数表示J型(x个)[1，第1章]主要力量跳跃：

$\pi'（x）=\frac{1}{x}\sum_{k=1}^{\infty}\frac}\mu（k）x^{1/k}}{k^{2}}J'（x^{1/1k}）$

在这个公式中， $\亩$ 是莫比乌斯数(1, –1, –1, 0, –1, 1, ...). 每个局部密度J型'是平滑部分和无限系列振荡的总和：

$J’（x）=\frac{1}{\logx}（1-\frac}{x（x^{2}-1)})-\压裂{2}{\sqrt{x}\logx}\sumRe\；t{n}>0$

（见[1]第1.18节）。这是数字t吨_n个在中振荡贡献与复黎曼零点有关。。。确实如此已知的复零（即虚部非零的复零） $\泽塔$ 位于“临界带”（Re(秒) 在0和1之间），黎曼假设表明，实际上这些零位于“临界线”Re上(秒) = 1/2. 数字t吨_n个由定义

$\zeta（\frac{1}{2}+it{n}）=0\；\；（关于[t_{n}]\neq0$

如果黎曼假说是真的，所有（无限多）t吨_n个是实数，并且是实数上方零的高度秒轴。通过计算可知，1500000001个复数零位于直线[3]上。"

M.V.Berry和J.P.Keating，“黎曼零点和特征值渐近”,SIAM审查 41，第2页，第237页。

“……有一个明确的零态密度公式……它直接类似于完全混沌系统的Gutzwiller轨迹公式：

$d（E）=\~{d}（E）-\frac{1}{\pi}\sum_{p}\sum_{n=1}^{\infty}\frac}\lnp}{p^{n/2}}\cos（En\lnp）$

其中第一个和包括所有素数对，状态的平均密度由

$\~{d}（E）=\压裂{1}{2\pi}\{Re\frac{\Gamma'（\压裂{1'{4}-\压裂{iE}{2}）}{\Gamma（压裂{1}{4}-\压裂{iE}{2}）}-\ln\pi\}$

或使用斯特林公式，当E趋于无穷大时

$\~{d}（E）\sim\frac{1}{2\pi}\lnE$ _”

E.B.Bogomolny和J.P.Keating，“随机矩阵理论和黎曼零点I：三点和四点相关性”，非线性8（1995）1115-1131

[1] 爱德华兹阁下，黎曼Zeta函数《学术出版社》，纽约，伦敦，1974年。

[2]D.扎吉尔，“前5000万质数”，数学信使 0（1977），第7–19页。

[3] J.Van de Lune、H.J.J.te Riele和D.T.Winter，“关于临界条带中Riemann zeta函数的零点”，数学。公司。 46(1986), 667–681.

更优雅的方法
数论与物理学档案质数：常见问题解答和资源
 神秘新的搜索家