哈维尔·弗雷森；克洛德·萨巴；俞正道 克鲁斯特曼联系的霍奇理论。 （英语） Zbl 1498.14019号 杜克大学数学。J。 171，第8期，1649-1747（2022）. 本文涉及的是D.布罗德赫斯特【《公共数论物理》第10卷第3期，第527-569页（2016；Zbl 1362.81072号)]. 特别地，本文证明了关于Kloosterman和的对称幂矩的（L）-函数的猜想。设（p）是素数，设（{mathbb{F}}_p）是具有（p）元素的有限域，并设（bar{mathbb{F}_p是其代数闭包。如果\（q）是\（p）的幂，那么让\（{\mathbb{F}}_q）是带有\（q \）元素的\{F} （_q）\至\mathbb{F} （p）\). 修复一个非平凡的加法字符\（\psi:\mathbb{F} （p）\到\mathbb{C}^{times}\）。对于每个\（a \ in \ mathbb{F} （_q）^{\times}\），Kloosterman和是实数\（Kl_2（a；q）=\sum_{x\in\mathbb{F}^{times}_q}\psi（\mathrm{tr}_{\mathbb{F} （_q）/\马特布{F} （p）}（x+a/x））\）。Weil已经知道，对于绝对值为（sqrt{q}）的某些代数整数，（Kl_2（a；q）=-（\alpha_a+\beta_a））与（\alfa_a\beta_a=q\）。对于任何整数（k\geq1），Kloosterman和的第（k）次对称幂定义为（Kl_2^{mathrm{Sym}}^k}（a；q）=sum_{i=0}^k\alpha_a^i\beta_a^{k-i}），对（a）求和，矩定义为（m_2^k（q）=\sum_{a\in{mathbb{F}}_q^{times}}}Kl_2_{{\mathrm{Sym}}^k}（a；q）\）。形成齐塔函数（Z_k（p；T）=\exp（sum_{n=1}^{infty}m_2^k（p^n）\frac{T^n}{n}））。那么\（Z_k（p；T）\）是一个多项式，它总是可以被\（1-T\）整除。用（M_k（p；T）表示从（Z_k（p；T））除去所谓的平凡因子得到的多项式。那么它的所有根都有绝对值\（p^{-（k+1）/2}\）。然后，在s}M_k（p；s）中，全局（L）-函数over（{\mathbb{Q}}）由\（L_k（s）=\prod_{p\ not\定义，其中\（s\）是根据\（k\）是奇数还是偶数而适当定义的一组坏素数。主要结果用以下两个定理表示。定理1：假设\（k\）是奇数。设\（S\）是小于或等于\（k\）的奇素数集。则函数\（L_k（s）\）允许复平面的亚纯延拓，并满足函数方程\（\Lambda_k（s）=\Lambda_k（k-2-s）\）。定理2：假设\（k\）是偶数（例如，\（k=2m+4\）或\（2m+2\）与\（m\）偶数）。设（S）是所有小于或等于（k/2）的素数的集合。然后函数（L_k（s））亚纯扩展到复平面。此外，存在一个符号\（\varepsilon_k\ in \{\pm1\}\）、一个整数\（r_k\geq0 \）和有理系数多项式的倒数\（L_k（2；T）\在质数（2）之外），以下函数方程成立：（Lambda_k（s）=varepsilon_k\Lambda_ k（k+2-s））。定理1和2以及（L）-函数的模性是已知的。证明的思想是给出L函数的上同调解释。设（Kl_2）表示Kloosterman层，它是（mathbb）上的秩-（2）lisse层{希腊}_{m，{\mathbb{F}}_p}\）。设（mathrm{Sym}^kKl_2）是（Kl_2的对称幂。然后由Frobenius\（F_p\）在\（H^1_{et，c}（\mathbb）上的特征多项式给出\（Z_k（p，T）\）{希腊}_{m，\bar{\mathbb{F}}_p}，{\mathrm{Sym}}^kKl_2）\）。从（Z_p（p，T）中去掉平凡因子相当于用紧支撑替换etale上同调（H^1_{et，mid}（mathbb{希腊}_{m，\bar{\mathbb{F}}_p}，{\mathrm{Sym}}^kKl_2）\）。设\（M_k（p，T）\）是\（F_p\）在该中延上同调上的特征多项式。构造了Kloosterman连接的对称幂动机，并利用指数混合Hodge结构的不规则Hodge滤波计算了它们的Hodge数。如图所示，\（H^1（\mathbb{G} _米，\mathrm{Sym}^kKl_2）具有重量至少为\（k+1）的混合Hodge结构，并且所有Hodge数都是\（0）或\（1）。这意味着这些动机可能是自形的。审核人：Noriko Yui（金斯顿） 引用于1审查引用于6文件 MSC公司： 14C30号 先验方法，霍奇理论（代数几何方面） 11国40 \（L）-品种在全球范围内的功能；Birch-Swinnerton-Dyer猜想 11层80 伽罗瓦表示 11升05 高斯和克罗斯特曼总和；概括 14层40层 德拉姆上同调与代数几何 32S35型 奇异变种的混合霍奇理论（复杂分析方面） 32系列40 单病种；微分方程和（D）-模的关系（复杂分析方面） 关键词：具有不规则奇点的连接；D模块；指数型动机；傅里叶变换；伽罗瓦表示；不规则霍奇过滤；Kloosterman总和；\（数学｛L｝\）adic滑轮；\（L\）-函数；混合Hodge模；潜在自同构 引文：Zbl 1362.81072号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Fresán}等人，《数学公爵》。J.171，第8期，1649--1747（2022；Zbl 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