最近关于社交网络和互联网结构的研究集中于具有顶点度分布的图，这些图与过去广泛研究的泊松度分布有显著不同。本文详细地发展了具有任意度分布的随机图理论。除了简单的无向单部图外，我们还研究了有向图和二部图的性质。在其他结果中，我们导出了巨组分第一次形成时的相变位置、平均组分大小、巨组分的大小（如果有）、距离随机选择的顶点一定距离的平均顶点数以及图中的平均顶点距离的精确表达式。我们将我们的理论应用于一些真实世界的图表，包括全球网络和科学家与《财富1000强》公司董事的合作图表。我们证明，在某些情况下，具有适当顶点度分布的随机图以惊人的准确性预测了现实世界的行为，而在其他情况下，理论与现实之间存在可测量的差异，可能表示网络中存在随机图未捕捉到的其他社会结构。