Persistence of Excitation for Identifying Switched Linear Systems

Biqiang Mu; Tianshi Chen; Changming Cheng; Er-wei Bai

doi:10.1016/j.automatica.2021.110142

Automatica（牛津）。作者手稿；PMC 2023年3月1日提供。

以最终编辑形式发布为：

Automatica（牛津）。2022年3月；137: 110142.

2022年1月7日在线发布。数字对象标识：10.1016/j.自动2021.110142

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PMID：35095107

识别切换线性系统的激励持续性

穆必强,^一陈天石,^b条程昌明,^c（c）和二围白^d日

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摘要

本文通过激励的持续性研究了切换线性系统参数的唯一性。主要贡献是回归变量持续激励的一个弱得多的充分条件，这保证了参数集的唯一性，也为理解不同子系统之间的关系提供了新的见解。我们发现，为了唯一地确定切换线性系统的参数，从我们的充分条件导出的所需最小样本数比文献中报道的要小得多。

关键词：切换线性系统，激励的持续性

1 介绍

切换线性（SL）系统由有限数量的线性子系统组成，但在每个离散时间根据离散决策变量控制的切换规则在其中一个子系统上运行，离散决策变量可以是任意的，也可以取决于回归量的范围等(Paoletti等人，2007年;Lauer&Bloch，2019年;Garulli等人，2012年). SL系统可能与一些其他流行的系统相关，例如，分段自回归外生系统（PWARX）、分段仿射系统、混合线性系统，以及在详细规定切换机制时的其他系统(Garulli等人，2012年). 特别地，建立了分段线性系统与几类混合系统的等价性(Heemels等人，2001年). 在过去的二十年里，SL系统的识别在系统识别界受到了极大的关注，因为SL系统可以按照明确的开关规则很好地模拟许多实际系统，例如脉冲宽度调制驱动升压变换器(德科宁，2003年;Sun&Ge，2005年)也能以任意精度一致逼近连续非线性动力学(Lin&Unbehauen，1992年;桑塔格，1981年;布雷曼，1993年).

1.1. 问题陈述

本文考虑SL系统，其回归形式如下(巴科，2011年;劳尔，2018)

年_{k个} = {x个}_{k个}^{T型} θ_{ζ_{k个}^{*}}^{*} + ε_{k个}, k个 = 1, 2, \dots, N个,

(1)

其中ε_k个是随机噪声序列，并且 $年_{k个} \in ℝ$ , ${x个}_{k个} \in ℝ^{n个}$ 测量输出和回归因子是否独立于指数处的噪声k、。在每个k个，与时间相关的参数向量 $θ_{ζ_{k个}^{*}}^{*}$ 从集合中选择一个 ${θ_{1}^{*}, \dots, θ_{S公司}^{*}}$ 基数S公司表示所有子系统的参数。离散有限范围函数 $ζ_{k个}^{*} : k个 \to {1, \dots, S公司}$ 指示哪个子系统在索引处生成输出k个，通常称为切换序列。

识别SL系统的目标(1)不仅要估计真实的参数向量 ${θ_{1}^{*}, \dots, θ_{S公司}^{*}}$ 的S公司子系统，以及真正的切换顺序 ${ζ_{1}^{*}, \dots, ζ_{N个}^{*}}$ 根据数据尽可能准确{x个_k个,年_k个,k个=1, ⋯ ,N个}.

识别SL系统的困难(1)取决于开关顺序 ${ζ_{k个}^{*}}$ 事先未知，必须根据数据进行估计。针对切换序列的不同设置，通过对切换序列的可用先验知识进行编码，SL系统的识别算法可能会有所不同。因此，SL系统的识别可被视为其他相关系统和其他识别目标的初步步骤。例如，通过首先将系统视为SL系统来完成目标后，可以使用基于分类的技术来识别PWARX回归空间的划分(Ferrari Trecate等人，2001年)即使估计的切换序列是不可分离的(Bredensteiner&Bennett，1999年). 本文还采用了这种策略来识别分段ARX系统中的混合系统(Juloski等人，2005年).

1.2. 文献综述

在文献中，有大量的论文旨在开发用于估计子系统参数和切换序列/回归空间划分的算法，以识别SL系统或其他相关系统。一些调查文件(Garulli等人，2012年;Paoletti等人，2007年)和专著(Lauer&Bloch，2019年)在这个主题上，广泛总结了文献中可用的方法。大致来说，已开发的方法可以分为

1）基于优化的方法。

该方法将识别问题描述为一个非凸优化问题，通过全局优化算法（例如，一般分枝定界方案）来解决(Roll等人，2004年;劳尔，2015,2018)，或局部优化算法(劳尔，2013).

2）基于规范的方法。

这种方法是建立一个由预测误差项和参数上的附加正则化项组成的损失函数，其中正则化项可以是范数的和(Ohlsson&Ljung，2011年), ℓ₂-规范/ℓ1-范数(Mattsson等人，2016年)，或ℓ₀-规范/ℓ₁-规范(巴科，2011年)，对SL系统的不同先验知识进行编码。

3）基于分类的方法。

该方法首先利用数据聚类技术估计划分或等价的切换序列，然后利用估计的划分和数据估计子系统的参数(Ferrari-Trecate等人，2001年;Nakada等人，2005年;Bako等人，2011年;Pillonetto，2016年) .

4）贝叶斯方法。

该方法首先基于可用的先验知识选择参数的先验分布，然后对PWARX中的混合系统产生参数和分区的最大后验估计(Juloski等人，2005年).

5）有界误差方法。

这种方法受到集合成员身份识别的启发(Milanese&Vicino，1991年)，它强制所有样本的预测误差受先验量的限制(Bemporad等人，2005年;劳尔，2018)其中，先验量是一个调整参数，在模型精度和模型复杂度之间的平衡中发挥作用。

6）代数方法。

该方法通过应用所谓的混合解耦多项式，将多个子系统提升为一个单一但更复杂的线性系统，该多项式涉及回归量和输出，与切换序列无关。因此，提出了一种递归辨识算法来估计混合系统的参数维达尔等人（2003）;维达尔和安德森（2004）;维达尔（2008）通过微分混合解耦多项式，从中恢复所有子系统的参数。

激励持续性（PE）问题是开发算法恢复子系统参数和数据的切换序列/回归空间划分的理论基础。尽管对SL系统的辨识进行了广泛的研究，但除了基于代数方法的论文外，很少关注激励问题的持久性(维达尔和安德森，2004年;维达尔等人，2003年;维达尔，2008)和稀疏优化(巴科，2011年). 关于具有状态空间形式的SL系统的结构可识别性的一些相关讨论，请参见Petreczky等人（2010年）.

1.3. 贡献

本文将研究SL系统的激励持续性（PE），本文的主要贡献是发现SL系统回归变量上的PE条件比现有PE条件弱。为了通过数据唯一确定SL系统的参数维达尔和安德森（2004）;维达尔等人（2003）;维达尔（2008）（维达尔条件）意味着最小样本数必须在这两个方面呈指数增长n个和S公司而PE条件巴科（2011）（巴科条件）表明，最小样本数在n个和二次型S公司在本文中，我们导出了一个新的PE条件（我们的条件），它导出了最小样本量约为Bako条件给出的样本量的一半。因此，我们的条件比巴科条件和维达尔条件更严格。

论文组织如下。第2节致力于推导一个新的PE条件，并表明新PE条件比现有PE条件弱得多。最后，在中给出了一些结论第3节.

2 激励的持久性

激发的可识别性和持续性是密切相关但又不同的概念。在目前的内容中，可识别性意味着任何两个不同的参数集都不会产生两个具有完全相同的输入输出行为的模型，至少对于一些足够丰富的输入信号而言。此外，传统上，输入信号的丰富性与回归激励的持续性有关。在文献中，通常情况下，如果回归变量是PE，则参数集可以由输入输出数据唯一确定，有时还可以与保证的收敛速度一起确定。然而，对于SL系统，PE与传统对等系统不同，如下所示：

这不仅取决于回归因子{x个_k个,k个=1,年，牛顿}也包括切换顺序 ${ζ_{k个}^{*}, k个 = 1, \dots, N个}$ ;
它不仅要唯一地确定系统参数 ${θ_{秒}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司}$ 也包括切换顺序 ${ζ_{k个}^{*}, k个 = 1, \dots, N个}$ 根据数据；

以前，PE问题取决于所提出的算法，例如。，维达尔和安德森（2004）;Bako等人（2011年）因此，通过使用不同的方法，建立PE回归变量的条件是不同的。本文旨在导出不依赖于算法而仅依赖于回归量的条件x个_k个的及其成员指数{1,2，S公司} . 本文推导的条件比文献中报道的条件弱，这可以加深对切换机制如何影响SL系统PE特性的理解。

为了方便起见，我们引入了一个等价的表达式 ${ξ_{秒, k个}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 切换序列的（称为成员索引） ${ζ_{1}^{*}, \dots, ζ_{N个}^{*}}$ ，满足 $ξ_{秒, k个}^{*} = {0, 1}$ 和 $\sum_{秒 = 1}^{S公司} ξ_{秒, k个}^{*} = 1$ 为所有人k个∈ {1, ⋯ ,N个}. 假设数字S公司的子系统可用。在没有噪音的情况下ε_k个 =0，SL系统的PE问题变成了方程是否

\sum_{k个 = 1}^{N个} \sum_{秒 = 1}^{S公司} ξ_{秒, k个} {(年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{秒})}^{2} = 0,

(2)

从属于ξ_秒,k个 ={0，1}和 $\sum_{秒 = 1}^{S公司} ξ_{秒, k个} = 1$ 为所有人k个∈ {1, ⋯ ,N个}，在以下方面有独特的解决方案 ${(θ_{秒}, ξ_{秒, k个}), 秒 = 1 \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 给定数据{x个_k个,年_k个,k个=1, ⋯ ,N个}.

首先，真实的系统参数 ${θ_{秒}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司}$ 和成员指数 ${ξ_{秒, k个}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司, k个 = 1 \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 是解决(2). 其次，让 ${(θ_{秒}, ξ_{秒, k个}), 秒 = 1 \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 是这个问题的任何解决方案(2)，完全符合数据。因此，任何排列 ${(θ_{我_{秒}}, ξ_{我_{秒}, k个}), 秒 = 1 \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个)}$ 属于 ${(θ_{秒}, ξ_{秒, k个}), 秒 = 1 \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 在成员索引上秒也是解决(2)，其中(我₁,我₂,呃，我_S公司)是（1，2，……的置换，S公司).

因此，我们引入了SL系统激励持续性的定义(1)如下所示。

定义1

设ε_k个≡ 0. 我们说给定n和S，回归变量{x_k个，k=1，σ，N}和隶属度指数 ${ξ_{秒, k个}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 对SL系统持续激励（PE）(1)当且仅当(2)在（1，2，…，S）的排列中是唯一的。

现在，我们的目标是进入论文的主要部分，即推导SLS系统所需的PE条件(1).

让我们表示集合

{C类}_{秒}^{*} = {k个 Ş ξ_{秒, k个}^{*} = 1, k个 = 1, \dots, N个}

(3)

对于每个秒∈{1，σ，S}。因此，集合 ${{x个}_{k个}, k个 \in {C类}_{秒}^{*}}$ 包括与参数关联的所有回归变量 $θ_{秒}^{*}$ 为了研究回归变量的PE，一些必要条件很简单，例如。，

$θ_{我}^{*} \neq θ_{j个}^{*}$ 对于我≠j；
不存在某些回归因子x个_k个具有k个∈ {1, 2, ⋯ ,N个}这样的话 ${x个}_{k个}^{T型} (θ_{我}^{*} 负极 θ_{j个}^{*}) = 0$ 对于某些1≤我≠j个≤S公司;
回归因子 ${{x个}_{k个}, k个 \in {C类}_{秒}^{*}}$ 对于每个秒∈ {1, 2, ⋯ ,S公司}是单个线性系统的传统识别意义上的PE，即每个s，

\sum_{k个 = 1}^{N个} ξ_{秒, k个}^{*} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型} = \sum_{k个 \in {C类}_{秒}^{*}} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}

（4）

是非奇异的。否则，θ_秒的不能唯一确定。

在这里，它自然提出了一个问题：对于SL系统，回归变量及其成员指数是否为PE(1)如果上述条件1）-3）成立？不幸的是，下面的例子表明这个推测是错误的。

示例1

考虑带有回归因子的SL系统x个₁= (1, 0)^T型,x个₂= (0, 1)^T型,x个_三= (−2, −1)^T型,x个₄ =(1, −2)^T型和会员身份

ξ_{1, 1}^{*} = 1, ξ_{2, 1}^{*} = 0; ξ_{1, 2}^{*} = 1, ξ_{2, 2}^{*} = 0;

（5a）

ξ_{1, 三}^{*} = 0, ξ_{2, 三}^{*} = 1; ξ_{1, 4}^{*} = 0, ξ_{2, 4}^{*} = 1

（5b）

这两个子系统的相应参数为

θ_{1}^{*} = {(1, 1)}^{T型}, θ_{2}^{*} = {(负极 2, 4)}^{T型} .

(6)

回归变量很容易验证{x个₁,x个₂}回归因子为PE $θ_{1}^{*}$ 即。， ${x个}_{1} {x个}_{1}^{T型} + {x个}_{2} {x个}_{2}^{T型}$ 是非奇异的。同样，回归因子{x个_三,x个₄}也是PE。回归{x个_k个, 1 ≤k个≤4}如所示图1现在我们可以找到另一组参数

θ_{1} = {(负极 0.5, 1)}^{T型}, θ_{2} = {(1, 5.5)}^{T型}

以及与成员指数的回归

ξ_{1, 1} = 1, ξ_{2, 1} = 0; ξ_{1, 2} = 0, ξ_{2, 2} = 1

ξ_{1, 三} = 0, ξ_{2, 三} = 1; ξ_{1, 4} = 1, ξ_{2, 4} = 0

返回与参数相同的输出(6)和成员指数(5)以上。

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图1。

所有子系统的PE不能保证SL系统的PE

因此，有两种不同的解决方案(2)，非常符合数据{x个_k个,年_k个,k个=1，……，4}，它们不是彼此的排列。这意味着，每个子系统的PE并不能保证SL系统的PE，事实上，需要更强的回归条件及其隶属度指数。

2.1. 一种新的PE条件

为了推导出期望的PE条件，必须进一步研究回归变量的隶属度指数，这些回归变量由集合指定 ${C类}_{秒}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司$ 。让我们介绍一下索引集的分区 ${C类}_{秒}^{*}$ 定义于(三). 给定一个秒∈ {1, ⋯ ,S公司}，让 ${{C类}_{秒}^{*} (v（v）, 我), 我 = 1, \dots, v（v）}$ 具有v（v）∈ {1, ⋯ ,S公司}是不相交的分区 ${C类}_{秒}^{*}$ 如下：

{C类}_{秒}^{*} = \cup_{我 = 1}^{v（v）} {C类}_{秒}^{* (v（v）, 我)} 和 {C类}_{秒}^{* (v（v）, 我)} †========================================================= {C类}_{秒}^{* (v（v）, 我)} = \emptyset 如果 我 \neq 我 .

(7)

这里有一些 ${C类}_{秒}^{* (v（v）, 我)}$ 允许的为空。

备注1

由于事先无法获得每个回归变量的真实隶属度指数，因此无法导出每组的PE条件 ${C类}_{秒}^{*}$ 用所有可能的方式子集最多划分为S个不相交子集，以枚举可能性。

现在，我们对真实参数、回归变量和成员指数进行以下假设，以导出PE条件。

假设1

$θ_{我}^{*} \neq θ_{j个}^{*}, 我 \neq j个$ ，对于i，j∈ {1, 2, …,S公司}.
每个回归器x_k个满足 ${x个}_{k个} \in ℝ^{n个} \ 问$ ，其中 $问 = \cup_{我 j个} 问_{我 j个}$ 和 $问_{我 j个} = {x个 ∣ {x个}^{T型} (θ_{我}^{*} 负极 θ_{j个}^{*}) = 0, 我 \neq j个}$ 对于给定的i，j∈{1, 2, ⋯ ,S公司}
存在有序集合序列 $({C类}_{{第页}_{1}}^{*}, \dots, {C类}_{{第页}_{S公司}}^{*})$ 按照…的顺序(第页₁, ⋯第页_秒)带有(第页₁, ⋯第页_秒)是（1，η，S）的置换)使得以下语句按顺序保持：
1. 对于任何分区 ${{C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我)}, 我 = 1, \dots, S公司}$ 拥有表单(7)属于 ${C类}_{{第页}_{1}}^{*}$ ,存在一些子集 ${C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我_{1})}$ 和我一起₁ ∈{1，σ，S}，这样 $\sum_{k个 \in {C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我_{1})}} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}$ 是非奇异的。
2. 对于任何分区

{{C类}_{{第页}_{秒}}^{* (S公司 负极 秒 + 1, 我)}, 我 \in {1, 2, \dots, S公司} \ {我_{1}, \dots, 我_{秒 负极 1}}}

拥有表单(7)每个的 ${C类}_{{第页}_{秒}}^{*}$ s∈{2,？，S}，存在一些子集 ${C类}_{{第页}_{秒}}^{* (S公司负极秒 + 1, 我_{秒})}$ 和我一起_秒 ∈{1,2，Δ，S}\{我₁,呃，我_秒-1}这样的话 $\sum_{k个 \in {C类}_{{第页}_{秒}}^{*} (S公司负极秒 + 1, 我_{秒})} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}$ 是非奇异的。

$\sum_{k个 \in {C类}_{{第页}_{S公司}^{*}}} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}$ 是非奇异的。

在显示PE条件之前，需要以下辅助引理。

引理1

考虑最小化问题(2). 设ε_k个≡0和 ${(θ_{秒}, ξ_{秒, k个}), 秒 = 1, \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 是任何解决方案(2). 因此，根据假设1，我们认为

如果 $θ_{秒} = θ_{秒}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司$ ，然后 $ξ_{秒, k个} = ξ_{秒, k个}^{*}$ 对于所有s和k；
如果 $ξ_{秒, k个} = ξ_{秒, k个}^{*}$ 那么对于所有s和k $θ_{秒} = θ_{秒}^{*}$ 适用于所有s。

证明：

对于第一部分，考虑预测误差 ${(年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{秒}^{*})}^{2}$ 。每个都有两种可能性克：

${x个}_{k个} \in {C类}_{秒}^{*} \Rightarrow 年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{秒}^{*} = 0$ 。我们现在宣称 $j个 \neq 秒, {(年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{j个}^{*})}^{2} > 0$ 如果不是，

年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{秒}^{*} = 0 = 年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{j个}^{*}

这意味着 ${x个}_{k个}^{T型} (θ_{秒}^{*} 负极 θ_{j个}^{*}) = 0$ 违反了假设1的第二个条件。必要条件 $ξ_{j个, k个} {(年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{j个}^{*})}^{2} = 0$ 暗示ξ_j个,_k个 =0代表全部j个≠秒所以 $ξ_{秒, k个} = 1 = ξ_{秒, k个}^{*}$ .

${x个}_{k个} \notin {C类}_{秒}^{*}$ 但在 ${C类}_{j个}^{*}$ 对一些人来说j个≠秒意味着 $年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{j个}^{*} = 0, j个 \neq 秒$ 根据同样的论点，ξ_j个,_k个=1和 $ξ_{秒, k个} = 0 = ξ_{秒, k个}^{*}$ 对于秒≠j个.

第二部分，我们有

\sum_{k个 = 1}^{N个} \sum_{秒 = 1}^{S公司} ξ_{秒, k个}^{*} {(年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{秒})}^{2} = \sum_{j个 \in {C类}_{1}^{*}} {(年_{j个} 负极 {x个}_{j个}^{T型} θ_{1})}^{2} + \dots + \sum_{j个 \in {C类}_{S公司}^{*}} {(年_{j个} 负极 {x个}_{j个}^{T型} θ_{S公司})}^{2} .

假设回归变量 ${{x个}_{j个}, j个 \in {C类}_{秒}^{*}}$ 假设1下的每个子系统为PE，最小化 $\sum_{j个 \in {C类}_{秒}^{*}} {(年_{j个} 负极 {x个}_{j个}^{T型} θ_{秒})}^{2} = 0$ 只有当且仅当 $θ_{秒} = θ_{秒}^{*}$ 为所有人秒.

这就完成了证明。

定理1

设ε_k个≡0，假设假设1成立。然后，回归变量{x_k个，k=1，σ，N}和隶属度指数 ${ξ_{秒, k个}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ SL系统为PE(1).

证明：让 ${(θ_{秒}, ξ_{秒, k个}), 秒 = 1, \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 是任何解决方案(2)即，

\sum_{k个 = 1}^{N个} \sum_{秒 = 1}^{S公司} ξ_{秒, k个} {(年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{秒})}^{2} = 0

很明显θ_秒≠θ_t吨, 1≤s≠t≤S。因此，为了证明定理，只需表明 ${θ_{1}, \dots, θ_{S公司}} = {θ_{1}^{*}, \dots, θ_{S公司}^{*}}$ 通过使用引理1的结论1），其中 $θ_{1}^{*}, \dots, θ_{S公司}^{*}$ 是的真实参数S公司SL系统的子系统(1).

首先，考虑指标集 ${C类}_{{第页}_{1}}^{*}$ 因此，条件是 ${(θ_{秒}, ξ_{秒, k个}), 秒 = 1, \dots, S公司, k个 = 1, \dots, N个}$ 是解决(2)推断出存在一些 $θ_{{k个}_{秒}}$ 具有k个_秒∈ {1, 2, ⋯ ,新加坡这样的话 $年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{{k个}_{秒}} = 0$ 对于每个 $k个 \in {C类}_{{第页}_{1}}^{*}$ .这样我们就可以划分集合 ${C类}_{{第页}_{1}}^{*}$ 进入之内S公司子集如下：

{C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我)} = {k个 \in {C类}_{{第页}_{1}}^{*} Ş 年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{我} = 0}, 我 = 1, \dots, S公司 .

(8)

由此可见 ${{C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我)}, 我 = 1, \dots, S公司}$ 由以下部分组成 ${C类}_{{第页}_{1}}^{*}$ .根据假设的第三个条件

1，存在一些子集 ${C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我_{1})}$ 属于 ${C类}_{{第页}_{1}}^{*}$ 具有我₁∈{1,2，S公司}这样的话

\sum_{k个 \in {C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我_{1})}} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}

(9)

是非奇异的。考虑方程式

年_{k个} = {x个}_{k个}^{T型} θ, k个 \in {C类}_{{第页}_{1}}^{*} (S公司, 我_{1}) .

(10)

一方面， $θ_{{第页}_{1}}^{*}$ 是解决(10)自 ${C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我_{1})} \subset {C类}_{{第页}_{1}}^{*}$ 另一方面，矩阵的非奇异性(9)意味着 $θ_{我_{1}} = θ_{{第页}_{1}}^{*}$ 。此外，我们将证明有且只有一个集合 ${C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我_{1})}$ 具有我₁∈ {1, 2, ⋯ ,S公司}这样的话 $\sum_{k个 \in {C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我_{1})}} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{\bar{T型}}$ 是非奇异的。如果这不是真的，那么我套 ${{C类}_{{第页}_{1}}^{* (S公司, 我_{米})}, 米 = 1, \dots, 我}$ 具有我∈ {2, ⋯ ,S公司}这样所有矩阵 ${\sum_{k个 \in {E类}_{第页}^{*} (S公司, 我_{米})} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}, 米 = 1, \dots, 我}$ 是非奇异的。因此，我们可以得出以下结论 $θ_{我_{米}} = θ_{{第页}_{1}}^{*}$ 对于米=1，我使用相同的分析。然而，这与以下事实相矛盾：θ_我≠θ_j个如果我≠j个因此，我们已经证明 $θ_{我_{1}} = θ_{{第页}_{1}}^{*}$ .

其次，考虑指标集 ${C类}_{{第页}_{2}}^{*}$ 对于每个 $k个 \in {C类}_{{第页}_{2}}^{*}$ ，可能的解决方案θ到 $年_{k个} = {x个}_{k个}^{T型} θ$ 不可能是 $θ_{我_{1}}$ （或 $θ_{{第页}_{1}}^{*}$ ). 否则， $年_{k个} = {x个}_{k个}^{T型} θ_{{第页}_{1}}^{*}$ 。此外 $年_{k个} = {x个}_{k个}^{T型} θ_{{第页}_{2}}^{*}$ 由于 $k个 \in {C类}_{{第页}_{2}}^{*}$ 因此违反了假设1的条件2），因为 ${x个}_{k个}^{T型} (θ_{{第页}_{1}}^{*} 负极 θ_{{第页}_{2}}^{*}) = 0$ 。让我们划分索引集 ${C类}_{{第页}_{2}}^{*}$ 进入之内S公司−1个不相交子集如下：

{C类}_{{第页}_{2}}^{* (S公司 负极 1, 我)} = {k个 \in {C类}_{{第页}_{2}}^{*} ∣ 年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{我} = 0}

对于我∈ {1, 2, ⋯ ,S公司} \ {我₁}. 因此，子集

{{C类}_{{第页}_{2}}^{* (S公司 负极 1, 我)}, 我 \in {1, 2, \dots, S公司} \ {我_{1}}}

形成具有以下形式的分区(7)第页，共页 ${C类}_{{第页}_{2}}^{*}$ 假设1的第三个条件意味着存在一些集合 ${C类}_{{第页}_{2}}^{*}^{(S公司负极 1, 我_{2})}$ 具有我₂∈ {1, 2, ⋯ ,S公司}\{我₁}这样的话 $\sum_{k个 \in {C类}_{{第页}_{2}}^{* (S公司负极 1, 我_{2})}} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}$ 是非奇异的。以下证明程序 $θ_{我_{2}} = θ_{{第页}_{2}}^{*}$ 与案例中使用的类似 ${C类}_{{第页}_{1}}^{*}$ 因此省略。

最后，依次考虑集合 ${C类}_{{第页}_{秒}}^{*}$ 3≤秒≤美国。我们可以证明 $θ_{我_{秒}} = θ_{{第页}_{秒}}^{*}$ 对于每个秒∈ {3, ⋯ ,S公司}以类似的方式。

这就完成了证明。

我们现在对假设1做一些评论。

第一个假设很明显，否则，可以通过合并一些 ${{C类}_{秒}^{*}, 秒 = 1, \dots, S公司}$ .
对于第二个假设，x个_k个∈问暗示 $年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{我}^{*} = 年_{k个} 负极 {x个}_{k个}^{T型} θ_{j个}^{*}$ 这样就可以估计ξ_瑞典不可能。幸运的是，这套问测量值为零 $ℝ^{n个}$ 因为问是尺寸的线性空间n个− 1<编号。
最后一种方法在传统线性系统辨识单个线性系统的PE条件中起着类似的作用，但由于存在S公司不同的子系统。

很明显，当S公司=1，即， $\sum_{k个 = 1}^{N个} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}$ 是非奇异的。换句话说，该假设对于S公司= 1. 从示例1中可以看出，其必要性S=2并在下面给出详细的解释。虽然我们没有证明假设1对于任何S公司，我们认为这个假设相当严密。

如例1所示，回归变量的PE条件(4)SL系统的PE不适用于每个子系统(1). 为了提供更多见解，请重新考虑示例1并回忆参数 ${θ_{1}^{*}, θ_{2}^{*}}$ 和成员指数 ${ξ_{秒, k个}^{*}, 秒 = 1, 2, k个 = 1, \dots, 4}$ 因此，假设1的第一个条件成立。此外，请注意 $θ_{1}^{*} 负极 θ_{2}^{*} = {(三, 负极三)}^{T型}$ 和（3，负极3)x个_k个≠0表示全部k个=1，……，4，回归变量{x个_k个,k个=1，σ，4}满足第二个条件。现在，考虑第三个条件。我们有

{C类}_{1}^{*} = {1, 2}, {C类}_{2}^{*} = {三, 4} .

可能的分区 ${C类}_{1}^{*}$ 是

{C类}_{1}^{*} = {C类}_{1}^{* (2, 1)} \cup {C类}_{1}^{* (2, 2)}, {C类}_{1}^{* (2, 1)} = {1}, {C类}_{1}^{* (2, 2)} = {2} .

类似地

{C类}_{2}^{*} = {C类}_{2}^{* (2, 1)} \cup {C类}_{2}^{* (2, 2)}, {C类}_{2}^{* (2, 1)} = {三}, {C类}_{2}^{* (2, 2)} = {4} .

所有矩阵 ${x个}_{1} {x个}_{1}^{T型}$ , ${x个}_{2} {x个}_{2}^{T型}$ , ${x个}_{三} {x个}_{三}^{T型}$ 和 ${x个}_{4} {x个}_{4}^{T型}$ 是奇异的，因此违反了第三个条件。现在，如果我们可以再添加一个回归变量x个₅= (β, γ)^T型进入之内 ${C类}_{1}^{*}$ 令人满意的

β \neq 0, γ \neq 0, β \neq γ,

哪里β≠ 0,γ≠0是为了确保 ${x个}_{1} {x个}_{1}^{T型} + {x个}_{5} {x个}_{5}^{T型}$ 和 ${x个}_{2} {x个}_{2}^{T型} + {x个}_{5} {x个}_{5}^{T型}$ 是非奇异的，并且β≠γ需要满足第二个条件，即 ${x个}_{5}^{T型} (θ_{1}^{*} 负极 θ_{2}^{*}) \neq 0$ .对于第三个条件，考虑分区

{C类}_{1}^{*} = {1, 2, 5} = {C类}_{1}^{* (2, 1)} \cup {C类}_{1}^{* (2, 2)}

{C类}_{1}^{* (2, 1)} = {1, 5}, {C类}_{1}^{* (2, 2)} = {2}

或者

{C类}_{1}^{* (2, 1)} = {1}, {C类}_{1}^{* (2, 2)} = {2, 5}

和

{C类}_{2}^{*} = {三, 4} .

因此 ${C类}_{1}^{*} = {1, 2, 5}$ 有一个PE子集，并且 ${x个}_{三} {x个}_{三}^{T型} + {x个}_{4} {x个}_{4}^{T型}$ 是非奇异的。因此，回归因子{x个_k个,k个=1，η，5}和相应的隶属度指数是示例1中根据上述定理1给出的SL系统的PE。

2.2. 与现有PE条件相比

使用代数方法研究了切换ARX系统的PE条件维达尔（2008）;维达尔和安德森（2004）并制定ℓ₀最优化问题(巴科，2011年)分别是。它们的条件也适用于SL系统(1)稍作修改。因此，在下文中，我们将假设1中发展的PE条件（条件3）与维达尔（2008）;维达尔和安德森（2004）;巴科（2011）看看他们的不同。

引理2

确保回归因子和相应的隶属度指数是SL系统的PE(1)，所需样本的最小数量为 $(\begin{matrix} n个 + S公司 \\ n个 \end{matrix}) 负极 1$ 和nS²分别针对中给出的PE条件维达尔和安德森（2004）;维达尔（2008）和巴科（2011），其中 $(\begin{array}{l} 一 \\ b条 \end{array})$ 是一次取b个对象的组合数。

证明：

中导出的PE条件维达尔（2008）;维达尔和安德森（2004）遵循等式L（左）_S公司小时=0作为方程式（10）在里面维达尔等人（2003），其中L（左）_S公司是由回归器构建的矩阵，以及小时是的参数的转换S公司最后一个元素为1的子系统。的大小L（左）_S公司是 $N个 \times (\begin{matrix} n个 + S公司 \\ n个 \end{matrix})$ 因此小时由方程式唯一确定L（左）_S公司小时=0，如果L（左）_S公司为1。因此，最小样本量N个是 $(\begin{matrix} n个 + S公司 \\ n个 \end{matrix}) 负极 1$ 如果L（左）_S公司为全行级别。最小样本数为新南威尔士州²对于中给出的PE条件巴科（2011），它由的引理7直接导出巴科（2011）.

定理2

假设

假设1的第1）点和第2）点成立；
每个矩阵 $\sum_{k个} {x个}_{k个} {x个}_{k个}^{T型}$ 其中求和索引k在中的任意n个元素上 ${C类}_{秒}^{*}$ 对于所有1≤s≤s都是非奇异的。

因此，为了确保回归变量和相应的隶属度指数是SL系统的PE(1)，所需样本的最小数量为

\frac{(n个 负极 1) {S公司}^{2} + (n个 + 1) S公司}{2} .

(11)

证明：

我们证明了结果(11)通过查找索引{1、____的分区，N个}分成5个子集，这样假设1的第三点成立。让数字 $| {C类}_{秒}^{*} |$ 分区的

| {C类}_{秒}^{*} | = n个 + (n个 负极 1) (S公司 负极 秒)

对于1≤秒≤5，其中|·|表示集合的基数。因此，在假设的第二点下，有序集序列 $({C类}_{1}^{*}, {C类}_{2}^{*}, \dots, {C类}_{S公司}^{*})$ 满足假设1的第三点，因此回归变量是SL系统的PE(1)对于给定的分区和相应的样本大小为

\sum_{秒 = 1}^{S公司} (n个 + (n个 负极 1) (S公司 负极 秒)) = \frac{(n个 负极 1) {S公司}^{2} + (n个 + 1) S公司}{2} .

这些PE条件的异同总结如下：

确保PE所需的最小样品数量为((n个− 1)S公司+(n个+ 1))S公司/2（我们的条件），新南威尔士州²（巴科的情况），以及 $(\begin{matrix} n个 + S公司 \\ n个 \end{matrix}) 负极 1$ （维达尔的情况）。维达尔病的数量随着这两者的增加呈指数增长n个和S公司因为维达尔的状况 $(\begin{matrix} n个 + S公司 \\ n个 \end{matrix}) \approx {e（电子）}^{n个 + S公司} \sqrt{\frac{n个 + S公司}{2 π n个 S公司}}$ 其中斯特林公式 $n个! \approx \sqrt{2 π n个} {(n个 / e（电子）)}^{n个}$ 应用时，符号n个! 表示整数的阶乘n个、和e（电子）是自然常数。虽然巴科的条件和我们的条件与n个和平方S公司但我们的条件比巴科的条件需要更少的样本（大约一半）。什么时候？n个=S公司=10，Vidal条件下的最小值为184755，但我们的条件和Bako条件下的最小值分别为505和1000。
Bako条件和我们的条件并没有对切换序列施加约束，只是每个子系统的样本数大于一个明确且一致的下限。虽然维达尔的条件以一种隐含的方式对开关序列施加了约束，如中所述维达尔和安德森（2004）.
定理2中假设的第二点并非不切实际，例如，如果回归量是从概率分布中随机生成的，则几乎可以肯定地满足。在的引理7中假设了一个类似但稍强的条件巴科（2011）通过n个-通用性指数v（v）_n个(X（X）)第页，共页 $X（X） = {[{x个}_{1}^{T型}, \dots, {x个}_{N个}^{T型}]}^{T型}$ 定义1中给出巴科（2011）.我们的条件施加在每个子集上 ${C类}_{秒}^{*}$ 而Baka的条件假定为{1，N个}.

从Bako条件和我们保证SL系统PE的条件中可以直观地了解到，它需要比维数大的更多样本n个每个子系统的参数，以消除将一个回归变量分配给多个子系统的可能性，例如，在示例1中，回归变量x个₂= (0, 1)^T型可以分配到任一子系统 $θ_{1}^{*} = {(1, 1)}^{T型}$ 或子系统θ₂= (1, 5.5)^T型如果没有添加额外的回归变量。

示例2

我们用下面的例子来验证定理2。考虑一个SL系统有两个子系统，其参数为 $θ_{1}^{*} = {(1, 1, 1)}^{T型}$ , $θ_{2}^{*} = {(负极 2, 4, 1)}^{T型}$ 和回归因子

(\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 三 & 负极 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 负极 1 & 2 & 1 \\ 负极 2 & 负极 1 & 0 \\ 1 & 负极 2 & 负极 1 \\ 1 & 负极 1 & 负极 2 \end{array}),

哪里 ${C类}_{1}^{*} = {1, 2, 三, 4, 5}$ 和 ${C类}_{2}^{*} = {6, 7, 8}$ .相应的输出年由系统使用给定的回归变量和参数生成。对于考虑的系统，我们有N个= 8,n个=3和S公司= 2. 因此，我们的PE条件、Bako的PE条件和Vidal的PE条件所需的最小样本数分别为8、12和9。因此，根据Bako条件或Vidal条件，8个回归变量和由此产生的隶属度指数不是PE，但就我们的条件而言，它们是PE。

三。结束语

本文建立了一个新的PE条件，在无噪声的情况下，利用数据唯一地确定子系统的参数和SL系统的隶属度指标，由于所需样本的最小数量小于其他条件，因此该条件比文献中给出的现有条件弱得多。

致谢

^⋆该研究部分得到了中国科技部新一代人工智能重大项目（批准号：2018AAA0101002）、NIHR15AG061755-01和NIHR42CA195819）、国家自然科学基金（合同号：61773329）、中央政府资助的青年千人计划、，深圳市科学技术创新委员会资助的深圳项目Ji-20170189（JCY2017041102101881）、第PF.01.000249号合同下的总统拨款、深圳香港中文大学资助的第2014.0003.23号合同项下的启动拨款，以及中国国家自然科学基金会，合同号为11702171和51121063。

传记

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穆必强获得四川大学工程学士学位，中国科学院数学与系统科学研究院运筹学和控制论博士学位。他分别是韦恩州立大学、西悉尼大学和林雪平大学的博士后。现任中国科学院数学与系统科学研究院副教授。他的研究兴趣。

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陈天石于2001年和2005年分别获得哈尔滨工业大学学士和硕士学位。他于2008年12月获得香港中文大学自动化和计算机辅助工程博士学位。2009年4月至2015年12月，他在Link电气工程系自动控制部工作。”{o} ping（平）大学，链接“{o} ping（平）瑞典，先是博士后（2009年4月-2011年3月），然后是助理教授（2011年4月至2015年12月）。2015年5月，他获得中国千人计划青年人才奖，2015年12月回国，加入深圳香港中文大学，担任副教授。

他主要从事系统和控制领域的工作，专注于系统辨识、非线性控制及其应用。他参与了瑞典、欧洲和中国的几个项目。他是Automatica（2017年至今）的副主编，还曾担任《系统与控制快报》（2017年至2020年）和《IEEE控制系统学会会议编委会》（2016年至2019年）的副编辑。他是意大利帕多瓦第19届国际会计师联合会系统识别研讨会的全体发言人。

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程昌明于2009年获得中国厦门华侨大学机械工程学士学位，于2012年和2015年分别获得中国上海交通大学机械工程硕士和博士学位。现任上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室副教授，爱荷华大学访问学者。他的研究兴趣包括信号处理、非线性系统识别、机器健康诊断和预测

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白二伟曾就读于中国上海的复旦大学、上海交通大学和加州大学伯克利分校。他是爱荷华州大学工程学院特聘教授、电气与计算机工程系主任和放射学教授，在该校教授和开展识别、控制、信号处理及其在工程和医学中的应用方面的研究。

他是IEEE研究员，并获得总统卓越教学奖和董事会卓越教师奖。

4 附录

arXiv预印本中提供了论文的完整版本，包括用于解决优化问题和探索子系统数量未知情况的数值算法Mu等人（2021）.

脚注

出版商免责声明：这是一份未经编辑的手稿的PDF文件，已被接受出版。作为对客户的服务，我们正在提供这份早期版本的手稿。手稿将经过编辑、排版和校对，然后才能以最终形式出版。请注意，在制作过程中可能会发现错误，这可能会影响内容，所有适用于该杂志的法律免责声明都适用。

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