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反向探测。作者手稿；PMC 2020年12月29日提供。
以最终编辑形式发布为：
反向探测。2020年9月；36(9): 093001.
2020年8月31日在线发布。 数字对象标识：10.1088/1361-6420/aba2f5
PMCID公司：PMC7771826号
NIHMSID公司：美国国家卫生研究院1647131
PMID：33380765

电阻抗断层成像的D-bar方法——去神秘化

J.L.米勒和S.Siltanen公司
作者信息 版权和许可信息 PMC免责声明

摘要

电阻抗断层扫描（EIT）是一种使用无害电流探测患者或物体的成像模式。电流通过放置在目标表面的电极馈送，数据由电极上测量的电压组成，这些电压是由线性独立的电流注入模式集产生的。EIT旨在恢复目标内部电导率的内部分布。EIT图像形成任务的逆问题是非线性且严重不适定的，因此对建模误差和测量噪声非常敏感。因此，需要规范反演过程。然而，传统的基于优化的变分正则化方法，由于非线性，往往会出现局部极小值。这就是正则化直接（非迭代）方法对EIT具有吸引力的原因。最成熟的直接EIT算法是基于复杂几何光学解和非线性傅里叶变换的D-bar方法。综述了D-bar方法的变体和最新发展，并解释了它们的实际数值实现。

1 介绍

本文综述了电阻抗断层成像（EIT）反问题的一系列计算反演方法，称为D-bar方法这是直接（非迭代）方法，涉及复杂几何光学（CGO）解、D-bar方程和非线性傅里叶变换。在D-bar重建过程中通常不需要直接的问题解决者。

而使用CGO解决方案作为求解逆电导问题的工具可以追溯到Calderón[23]直到完全非线性问题得到解决之后，才出现了D-bar方程的使用，并且证明了它们在关于电导率规律的各种假设下是有用的。它们在EIT计算反演中的实际应用始于[93]，D-bar方法的第一个实现。在本文中，我们将跟踪该工作的后续发展，以达到当前的技术水平，并综述EIT的2D和3D中的各种D-bar方法。本综述并不是对D-bar方法在所有环境和应用中的调查。

我们希望为D-bar方法的使用提供一个直观的框架，并解释步骤及其实现，以吸引数学家和工程师。可在线获取用于开始实现的Matlab代码‡重点是2000年首次实施的方法，该方法基于Nachman 1996年的全局唯一性证明[85]. 我们之所以选择这种方法，是因为这种特殊的方法是最成熟的，也是唯一一种用于临床研究的方法[78，81]. 它也是唯一一种具有成熟正则化策略的直接非线性方法[67]. 其他D-bar方法和新发展在第4节和6.

论文组织如下。在第2节我们为这里考虑的EIT问题提供了控制方程。在第3节我们概述了基于[85，93]并解释为什么此方法构成EIT的非线性正则化策略。D-bar方法的大部分历史回顾见第4节。D-bar方法的实际实施说明见第5节。其他D-bar方法和新发展在第6节最后，我们觉得如果没有重建，本文就不完整，来自人体受试者数据的示例可以在中找到第7节.

2 电阻抗断层扫描

在EIT中，数据是通过测量由于在电极上施加低振幅低频电流而在身体表面电极上产生的电压来获得的。在图1，一名健康的人类志愿者正在使用ACE 1 EIT系统成像[76]科罗拉多州立大学。对于L（左）电极，L（左）−1个线性独立的电流模式被应用于数据集中的一个帧，并且狄利克雷到诺依曼映射将如下所述进行计算。

保存图片、插图等的外部文件。对象名为nihms-1647131-f0001.jpg

一名健康的人体受试者，胸围周围有23个电极。

EIT问题由电导率方程建模，

∇⋅(γ(x个，年)∇u个(x个，年))=0，    (x个，年)∈Ω，
(1)

其中Ω 表示二维单连通域，u个是电势，以及γ=σ+iω是域的络合值电导率，其中σ介质的导电性，ϵ是介电常数，以及ω是应用电磁波的时间角频率。除了in第6.2节，我们假设γ是真实的，未知参数是电导率。施加已知电压，（f），在域的边界上对应于Dirichlet边界条件

u个(x个，年)=（f）(x个，年)，    (x个，年)∈∂Ω，
(2)

哪里∂Ω 是域的边界。测量产生的电流密度分布，j个，边界上对应于已知Neumann边界条件

γ(x个，年)∂u个∂ν(x个，年)=j个(x个，年)    (x个，年)∈∂Ω，

哪里ν是边界上的向外法线。映射将边界上给定的电压分布转化为电流密度分布。该映射称为Dirichlet-to-Neumman映射，或电压到电流密度映射，表示为∧γ.

Dirichlet-to-Neumann（DN）映射的弱形式定义如下

Λγ:小时1/2(∂Ω)→小时−1/2(∂Ω)，    〈Λγ（f），克〉=∫Ωγ∇u个⋅∇v（v），
(3)

哪里v（v）是任何小时1(Ω) 带跟踪的函数克边界和u个是独一无二的小时1(Ω) Dirichlet问题的解(1),(2).

理论上我们的数据是∧γ; 在实践中，它通常是Neumann到Dirichlet映射的离散近似，离散是因为在有限数量的电极上进行有限数量的测量。让A类表示从电导率到离散Neumann-to-Dirichlet映射的映射。逆电导问题是A类以获得γ.∧的离散近似γ在中进行了解释第5节.

三。 EIT的正则化D-bar方法

D-bar方法的名字来源于被称为D-bar算子的微分算子，∂¯，出现在与此方法系列关联的PDE中。在运算符上给定下标时，它指示操作是针对哪个复变量执行的。共轭算子∂也起着重要的作用。

定义3.1 对于复变量z=x个+iy定义

∂¯z=12(∂∂x个+我∂∂年)    ∂z=12(∂∂x个−我∂∂年).

从Cauchy-Euler方程可以看出，一个函数（f）(z，z¯)是解析的当且仅当∂¯z（f）=0因此∂¯函数的导数是函数偏离分析性的度量。

3.1. 复杂几何光学解决方案

很容易验证函数e（电子）伊克斯，k个，z∈ℂ是一个在z-沿（−）方向呈指数方向的平面k个2, −k个1)并在方向上衰减(k个2，千1). 功能e（电子）伊克斯和e（电子）我k个¯z¯等同于指数增长的解决方案u个1和u个2分别用于Calderón的开创性论文[23]这为线性化逆电导问题建立了唯一解的存在性和直接反演方法。的确，

e（电子）我k个z=e（电子）我k个˜⋅z−一⋅z=u个1

e（电子）我k个¯z¯=e（电子）我k个⋅z+一⋅z=u个2，

其中复数k个和z现在与向量关联，k个˜=(k个1，−k个2)、和一= (πk2，πk1). 这种形式的更一般的解决方案，称为复杂几何光学（CGO）解决方案是D-bar方法的基础。

这里我们将重点讨论的D-bar方法中的CGO解是Faddeev首次正式引入的Schrödinger方程的特殊解[35]在量子力学的背景下，后来由Sylvester和Uhlmann在EIT的背景下严格定义[97]. 广义拉普拉斯之间的联系方程式（1）与时间无关的薛定谔方程是通过变量的变化q个=γ−1/2Δγ1/2和u个˜=γ1/2u个，导致

(−Δ+q个(x个))u个˜(z)=0，    z∈Ω.

Dirichlet-to-Neumann映射∧q个因为薛定谔方程定义为

Λq个:u个˜|∂Ω→∂u个˜∂ν，

与∧有关γ通过

Λq个=γ−1/2(Λγ+12∂γ∂ν)γ−1/2.
(4)

因此，假设γ是一个常量γ0在边界附近Ω,∂γ∂ν=0和Λq个=γ0−1Λγ这一假设也意味着q个=0，位于∂Ω, 允许平滑延伸γ=γ0和q个外部=0Ω.

现在，介绍复杂参数k个，并用表示整个平面上的复值解ψ(z、 k)，来自[85],

(−Δ+q个(z))ψ(z，k个)=0，    x个∈ℝ2.
(5)

根据的定理1.1[85]对于任何k个∈ℂ\0有一个独特的解决方案ψ第页，共页(5)令人满意的

e（电子）−我k个zψ(z，k个)−1∈W公司1，第页(ℝ2)
(6)

对于任何2<第页< ∞. 我们注意到，根据Sobolev嵌入定理，函数属于空间W公司1，第页(ℝ2)是连续的。方程式（6）是关于的渐近条件ψ意味着固定k个领导行为ψ(z、 k个)是e（电子）伊克斯作为|z| → ∞. 定义相关函数是很自然的μ(z、 k个)由

μ(z，k个):=e（电子）−我k个zψ(z，k个)，    z∈ℝ2，k个∈ℂ\0
(7)

功能μ(z、 k个)对应于逆散射文献中的Jost函数。

电导率可通过以下公式确定

γ1/2(z)=林k个→0μ(z，k个)，
(8)

自从

(−Δ+q个)e（电子）我k个zμ(z，k个)=0，

和采取k个=0表示

(−Δ+Δγ1/2γ1/2)μ(z，0)=0

因此，CGO解决方案和γ然而，要计算μ或ψCGO解决方案与数据之间的关系以及计算方法μ是必需的。

3.2. 散射变换

在Calderón方法中，通过计算取决于CGO溶液和测量数据的量的傅里叶逆变换来恢复近似电导率。类似地，在D-bar方法中有一个非线性版本的函数，称为散射变换，由定义

t吨(k个):=∫ℝ2e（电子）我k个¯z¯q个(z)ψ(z，k个)d日z，    k个∈ℂ\0，
(9)

哪里ψ是解决(5)和第纳尔代表Lebesgue度量ℝ2。请注意ψ(z、 k) ~e（电子）伊克斯作为|z| → ∞ 按照中给出的精确含义(6). 替换e（电子）伊克斯代替ψ(z、 k个)英寸(9)给予

∫ℝ2e（电子）我(k个z+k个¯z¯)q个(z)d日z=∫ℝ2e（电子）−我(−2k个1，2k个2)⋅(x个，年)q个(z)d日z=q个^(−2k个1，2k个2)，

哪里q个^是通常的线性傅立叶变换q个.自ψ取决于q个通过方程式（5），右侧的积分(9)非线性依赖于q个因此，散射变换t吨(k个)可以看作是函数的非线性傅里叶变换q个(z).

功能q个^和t吨(k个)有很多联系。引理2.6的证明[85]产量很大-|k个|估计两者之间的差异：

|t吨(k个1，k个2)−q个^(−2k个1，2k个2)|≤C类|k个|秒，
(10)

其中−1<秒< 0. 除此之外(10)，以下之间的定性相似性t吨和q个^保持：大致，（i）t吨是径向的当且仅当γ是径向的，（ii）通过γ(λx)对一些人来说λ>0，对应于将散射变换扩展为t吨(k/λ)，（iii）反射对称性γ对应于中的反射对称性t吨和（iv）翻译γ对应于的乘法t吨通过模量1的某个指数函数。（i）–（iv）的证明见[93].

我们注意到γ导致更强的衰变估计|t吨(k个)|作为|k个| → ∞; 参见的定理3.2[93].

3.3. D-bar方程

定义指数函数e（电子）k个令人满意的|e（电子）k个(z)|=1依据

e（电子）k个(z):=e（电子）我(k个z+k个¯z¯)=e（电子）−我(−2k个1，2k个2)⋅z.
(11)

的定理2.1[85]意味着∂¯方程式

∂∂k个¯μ(z，k个)=14πk个¯t吨(k个)e（电子）−k个(z)μ(z，k个)¯，    k个≠0，
(12)

持有。请注意，如果μ(z、 k)在分析上取决于复杂参数k个，然后是的右侧(12)将为零。但它显然不是零，而且μ(z，·）实际上是伪解析的在Vekua的意义上[100].

的定理4.1[85]说明了这一点(12)是唯一可解的。对于任何固定z∈ℝ2，解决方案满足

μ(z，k个)=1+1(2π)2∫ℝ2t吨(k个′)(k个−k个′)k个¯′e（电子）−z(k个′)μ(z，k个′)¯d日k个1′d日k个2′
(13)

为所有人k个∈ℂ\0注意，积分取为k个-飞机，所以μ(z、 k个)的所有值都需要k个∈ℂ\0解决(40)使用简单标识γ(z) =μ(z, 0)2.

一旦从中解决(40)、功能μ(z、 k个)可用于恢复γ来自(8).

3.4. 与数据的连接

相关方程式ψ和∧q个和t吨(k个)和∧q个派生于[85]使用亚历山德里尼的身份[2]. 这里，我们提供了散射变换的直观推导，以及ψ如果处理得更仔细一些，也会以类似的方式进行。表述与中有所不同[2]亚历山德里尼的身份表明，对于任何两种解决方案v（v）ℓ∈小时1(Ω),ℓ=1，2，至

(−Δ+q个ℓ)v（v）ℓ=0，英寸Ω，
(14)

以下关系成立：

∫∂Ωv（v）2Λq个1v（v）1d日秒=∫∂Ωv（v）1Λq个1v（v）2d日秒.
(15)

由于函数e（电子）我k个¯z¯是解决(14)带有q个=0，我们可以在下面的计算中应用这个恒等式。首先注意(9)只延伸到Ω 自从q个仅在中受支持Ω. 利用(5)以及应用按部分集成，

t吨(k个)=∫Ωe（电子）我k个¯z¯q个(z)ψ(z，k个)d日z=∫Ωe（电子）我k个¯z¯Δψ(z，k个)d日z=∫∂Ωe（电子）我k个¯z¯∂ψ(z，k个)∂n个d日秒−∫Ω∇e（电子）我k个¯z¯⋅∇ψ(z，k个)d日z=∫∂Ωe（电子）我k个¯z¯Λq个ψ(z，k个)d日秒−∫∂Ω∂e（电子）我k个¯z¯∂n个ψ(z，k个)d日秒+∫Ω(Δe（电子）我k个¯z¯)ψ(z，k个)d日z=∫∂Ωe（电子）我k个¯z¯Λq个ψ(z，k个)d日秒−∫∂ΩΛ0e（电子）我k个¯z¯ψ(z，k个)d日秒.

现在，申请(15)，我们有

t吨(k个)=∫∂Ωe（电子）我k个¯z¯(Λq个−Λ0)ψ(⋅，k个)d日秒.
(16)

然而，请注意，此公式需要了解ψ|∂Ω.的边界积分方程ψ|∂Ω可以更加小心地导出，从而产生以下关系

ψ(z，k个)|∂Ω=e（电子）我k个z|∂Ω−∫∂ΩG公司k个(z−ζ)(Λq个−Λ0)ψ(z，k个)d日秒(ζ)
(17)

对于任何k个∈C类\0，其中G公司k个是拉普拉斯函数的Faddeev-Green函数，如下节所述。注意，尽管（∧q个−Λ0)ψ(·，千)无法直接测量，此函数可以通过展开以测量数据表示ψ|∂Ω电流模式的正交基。有关详细说明，请参阅第5节.

另请注意，在[75]，可以看出方程式（17）即使对于不连续的电导率分布也是唯一可解的。这意味着散射变换甚至存在于应用中遇到的不连续电导率。

3.5. Faddeev Green函数

拉普拉斯函数的格林函数在D-bar方法中起着重要作用。然而，问题的正确格林函数需要包含解的渐近行为ψFaddeev-Green函数是由Faddeev在[35]. 作为加权拉普拉斯算子预解核的导数L（左）2带重量的空间w个=e（电子）2q个·x个，q、 x个，∈ℝ三在中找到[88]，遵循Faddeev的方法。这里提供了一种更具启发性的方法。要了解为什么使用此格林函数而不是标准函数，请首先注意μ(z、 k个)满足PDE

−Δμ(z，k个)−4我k个∂¯μ(z，k个)=q个(z)μ(z，k个).
(18)

操作员的基本解决方案−Δ−4我k个∂¯可以使用傅里叶变换导出。在回火分布意义上进行傅里叶变换

F类(−Δ（f）(z，k个)−4我k个∂¯（f）(z，k个))(ξ)=(4π2|ξ|2−4我k个12(2π我ξ1+我(2π我)ξ2)（f）^(ξ，k个)=(4π2|ξ|2−4πk个(−ξ1−我ξ2))（f）^(ξ，k个)=4π2(|ξ|2+k个ξ)（f）^(ξ，k个):=P（P）(ξ)（f）^(ξ，k个).

现在

克k个(z):=F类−1(P（P）(ξ))(z)=14π2∫ℝ2e（电子）我z⋅ξξ(ξ¯+k个)d日ξ.

功能G公司k个(z) :=e（电子）伊克斯克k个(z)是负拉普拉斯方程的基本解，因为

−ΔG公司k个(z)=−4∂∂¯(e（电子）我k个z克k个(z))=−4∂¯(我k个e（电子）我k个z克k个(z)+e（电子）我k个z∂克k个(z))=e（电子）我k个z(−4我k个∂¯克k个(z)−4∂¯克k个(z))=e（电子）我k个z(−Δ−4我k个∂¯)克k个(z)=e（电子）我k个zδ(z)=δ(z).

的属性克k个可以在中找到[85，95，79]. 注意，如果k个= 0,G公司0(z) =克0(z)是-Δ的标准格林函数，因为

G公司0(k个)=14π2∫ℝ2e（电子）我z⋅ξ|ξ|2d日ξ=F类−1(1|ξ|2)(z)=−12π日志(|z|).

因此，我们可以写G公司k个(z) =G公司0(z) +小时k个(z)其中小时k个(z)自Δ起为谐波小时k个= −δ+δ=0，由Weyl引理小时k个必须是整个平面上的光滑调和函数。因此，两者克k个和G公司k个原点处有一个对数奇点。

发件人方程式（5）人们看到了ψ(z、 k个)满足Lippmann-Schwinger方程

ψ(z，k个)=e（电子）我k个z−G公司k个*(q个ψ).
(19)

其中*表示卷积，以及μ满足

μ(z，k个)=1−克k个*(q个μ)，
(20)

具有μ−1∈W公司1，第页(ℝ2)例如，读者可参考[25]以很好地讨论逆散射中的Lippmann-Schwinger。

总之，D-bar方法的方程式如下。给定DN图∧γ，相当于∧q个假如γ=边界附近1Ω, 并给出DN图∧1对应于恒定电导率γ=1，求解以下方程。

  1. 对于每个z∈∂Ω 和k个∈ℂ\{0}求解边界积分方程
    ψ(z，k个)=e（电子）我k个z−∫∂ΩG公司k个(z−ζ)(Λγ−Λ1)ψ(ζ，k个)d日秒.
    (21)
  2. 通过插入轨迹来评估散射变换ψ(·，千)|∂Ω进入之内
    t吨(k个)=∫∂Ωe（电子）我k个¯z¯(Λγ−Λ1)ψ(z，k个)d日秒.
    (22)
    注意，替换t吨（0）=0次t吨连续输入ℂ.
  3. 对于每个z∈∂Ω 解决
    ∂∂k个¯μ(z，k个)=14πk个¯t吨(k个)e（电子）−k个(z)μ(z，k个)¯，    k个≠0，
    (23)
    或其积分形式(40).
  4. 最后，获得γ从
    γ(z)=μ(z，0)2，    z∈Ω.
    (24)

3.6条。正规化

在实践中，反问题的不适定性表现在方程式（21）和(22)作为大值的放大|k个|。在[67]证明了在k个平面是一种非线性稳定的正则化策略，可以实现平滑重建。让Λγε表示与被随机幅度误差破坏的测量数据相对应的DN图ε.选择|k个|<R（右）(ε)=−110日志ε是一种保守的截断选择，并导致正则化D-bar方法的以下步骤。

  • 第1步：针对每个z∈∂Ω 解决
    ψR（右）国际教育局(z，k个)={e（电子）我k个z−∫∂ΩG公司k个(z−ζ)(Λγε−Λ1)ψR（右）国际教育局(ζ，k个)d日秒，|k个|⩽R（右）0，|k个|>R（右）.
    （25）
  • 第2步。对于每个|k个| <R（右）(ε)解决
    t吨R（右）国际教育局(k个)=∫∂Ωe（电子）我k个¯z¯(Λγε−Λ1)ψR（右）国际教育局(z，k个)d日秒.
    (26)
  • 步骤3。对于每个z∈ Ω 解决
    μR（右）国际教育局(z，秒)=1+1(2π)2∫|k个|≤R（右）t吨R（右）国际教育局(k个)(秒−k个)k个¯e（电子）−z(k个)μR（右）国际教育局(z，k个)¯d日k个1d日k个2.
    (27)
  • 步骤4。计算正则化重建γR（右）国际教育局(z)通过在进行评估k个= 0:
    γR（右）国际教育局(z)=μR（右）国际教育局(z，0)2，    z∈Ω.
    (28)

中的主要定理[67]对于固定的光滑电导率a，Banach空间收敛速度的产量：

‖γR（右）国际教育局−γ‖L（左）∞(Ω)≤C类(−日志ε)−1/14.

因此，D-bar方法为正则化分析提供了一种新的方法，补充了基于变分方法的传统方法[92].

4 D-bar方法的发展

D-bar方法源于一系列致力于用逆散射方法求解非线性发展方程的工作[1，36，37，38，14，15，16，17，86，56，84]. 2000年公布了EIT环境下D-bar方法的第一个计算结果[93]; 另请参阅博士论文中的初步工作[95].

在本节中，我们分别对二维和三维案例进行了简要的历史回顾。

4.1. 二维EIT模型的D-bar方法综述

D-bar方法依赖于具有适当指数渐近性的复杂几何光学（CGO）解。这一关键突破是由纳奇曼于年完成的[85]，其中他证明了唯一CGO解决方案的存在。他的方法基于Schrödinger方程式（5）具有渐近性(6). 我们在中讨论第4.1.1小节.

Nachman的理论要求电导率具有两个（弱）导数，而在实际中，不同组织或材料之间通常存在跳跃不连续性。这是两个进一步理论发展的动机。

布朗和乌尔曼[22]使用2×2系统来定义CGO解决方案。这使得他们可以将平滑度要求降低到仅一个导数。此外，扩展此方法可以重建复值阻抗[39，18]这是一个宝贵的优势。请参见第4.1.2小节.

最后，阿斯塔拉和帕伊瓦林塔[10]用Beltrami方程定义了CGO解，从而将D-bar方法扩展到不连续（实际上L（左）∞(Ω)) 电导率。有关更多详细信息，请参阅第4.1.3小节.

在实际EIT成像应用中，控制D-bar理论中平滑度假设的降低并不一定意味着图像质量的提高。这是因为测量噪声不可避免地会在非线性谱域中造成严重截断，而这种非线性低通滤波器以不同的方式降低了图像质量。特别是，理论上漂亮的传输矩阵技术[10]导致重建时图像质量不均匀，如中所述[8，第543页]。

实际上，序列(25)–(28)似乎是最佳的计算D-bar方法选项（如果不需要恢复复导纳）。注意最近的文章[75]表明积分方程式（25）即使在电导率不连续的情况下也是唯一可解的。

4.1.1. 基于薛定谔方程的D-bar方法

该方法是EIT二维D-bar方法中最成熟的变体。由于该方法的详细信息在第3节上面，我们只做了一个简要的总结。

EIT用模拟数据的D-bar方法的首次实现[93]. 该方法的实际方面在[79，66]. 基于D-bar方法的实时数据重建出现于2004年，在实验室中使用琼脂心形和假体[61]. 第一个体内2006年公布了一名人体受试者的成像结果[62]. 在中分析了D-bar方法的正则化性质[67]，表明EIT测量噪声的振幅决定了非线性低通滤波的频率截止半径，提供了正则化。

原始理论[85]要求电导率具有两个弱导数。然而，在模拟和实际数据中，计算D-bar方法可以很好地处理不连续电导率。最近的文章[75]表明边界积分方程式（17）在实际情况下也是可解的。

D-bar方法的优点之一是其对电极定位误差和畴形状建模误差的鲁棒性，例如[82，50，43].

4.1.2. 基于2×2系统的D-bar方法

1997年，Brown和Uhlmann[22]介绍了该系统

([∂¯z00∂z]−[0q个q个¯0])Ψ=0，
(29)

具有q个=−12∂z日志γ，并建立了CGO解的存在形式

Ψ(z，k个)=M（M）(z，k个)[e（电子）我zk个00e（电子）−我zk个].

在理论方面，这使他们能够证明唯一性，假设γ只有一次弱可微。此外，弗朗西尼和贝雷塔[39，18]结果表明，该系统方法可以推广到电导方程中复值系数的恢复。从实际角度来看，这一点很重要，因为EIT测量是使用交流电进行的，从而产生复值阻抗。

Knudsen和Tamasan提供了基于该系统的EIT重建方法的实现(29)英寸[65，69]. 系统方法的复值变体的实际实现发布于[42，49，44，58，57，51，43].

我们注意到，基于Schrödinger和Beltrami方程的理论EIT研究假设实际值的电导率，目前尚不知道它们是否可以推广到复杂情况。

4.1.3. 基于Beltrami方程的D-bar方法

Astala和Päivärinta证明了具有γ∈L（左）∞电导率[10，12]. 他们定义了m:=（1−γ)/(1 +γ)并将CGO解用于Beltrami方程

∂¯z（f）米=米∂z（f）米¯

具有渐近条件（f）米(z、 k个) =e（电子）伊克斯(1 +ω+(z、 k个))和（f）−米(z、 k个) =e（电子）伊克斯(1 +ω−(z、 k个))，其中

ω±(z，k个)=O（运行）(1z)作为|z|→∞.

这些CGO解与电导率方程的联系来自于（f）=u个+四.那么实部满足+·γ∇u个=0，虚部满足·γ−1∇v（v）= 0.

Baltrami型CGO解的第一种数值计算方法如下所示[11]. 此后不久，Huhtanen和Perämäki引入了CGO解决方案的等效构造，将计算速度提高了100倍。这为计算实现铺平了道路[8]中概述的EIT重建方法[10，12]. 此外，该研究[13]揭示了与Beltrami-CGO解相关的非线性Gibbs现象。

事实证明，“传输矩阵”技术在[9]在实践中导致重建图像质量不均匀。文章[13]建议进行改进，首先恢复Beltrami型CGO解的迹线，然后评估散射变换，最后求解与中讨论的方法相同的D-bar方程第4.1.1节事实上，正如最近的预印本所示[75]，边界积分方程式（25）在不连续电导率的情况下也是唯一可解的。

Beltrami方程方法允许对未知非均匀背景电导率中的检测边缘进行详细分析[41]. 这样可以检测未知背景中夹杂物中的夹杂物。请参见第6.7节了解更多详细信息。

4.1.4. 与非线性发展方程的联系

D-bar方法产生于非线性Novikov-Veselov方程的求解，这项工作为EIT的D-bar方法的发展做出了贡献[27，73，72，74，83]. 我们注意到散射变换的解释t吨(k个)作为的非线性傅里叶变换q个进一步支持与Novikov-Veselov方程的联系；参见[38]用于与类似方程相关的推导。

4.2. 三维EIT模型的D-bar方法综述

对于尺寸n个=3，Sylvester和Uhlmann于1987年首次提出了基于CGO解的构造性EIT重建算法[97]1988年，R.G.Novikov[89]和A.Nachman[84]. 然而，这些工作处理的是无限精度数据，数值实现还需要进一步的工作[26].

求解CGO解迹的边界积分方程通常是D-bar方法的第一步。然而，该方法可以通过用CGO解的渐近指数形式替换这些轨迹来简化；这可以看作是一种玻恩近似。这种方法在年进行了测试[19，70]. 鉴于Calderón方法和D-bar方法之间的联系[70]，我们可以在中看到该方法[21]也是一种近似D-bar方法。

年报道了一种全面的三维D条方法，包括边界积分方程的求解[30，29，31].

到目前为止，所有用于EIT的三维D-bar方法都假定光滑导电性，因为CGO解的构造是基于带势的薛定谔方程q个=γ−1/2Δγ1/2.最近的延期[91]Matteo Santacesaria的Beltrami型方程可能有助于改变这种情况。

5 实际实施指南

在理想数据的设置中提出了D-bar方法，这意味着以无限精度连续在边界上的全无限维DN映射的知识。实际上，在电极上施加有限数量的电流模式，并以有限的精度测量这些电极上的电压。需要对该方法进行修改，以处理实际问题，如数据中的噪声和测量的有限维性质。在本节中，我们描述了一种在测量数据上快速实现D-bar算法的实用方法。

5.1. DN映射的矩阵近似

该算法的第一步是根据测量数据和已知外加电流计算DN图的矩阵近似值。此方法可在中找到[61，77].

给定一组L（左）−1线性独立电流模式开启L（左）电极，表示发送到ℓ用于k个第个电流模式J型ℓk个对于k个= 1, …,L（左）−1（根据基尔霍夫定律，线性无关电流模式的最大数量为L（左）−1.）让V（V）我k个表示在我th电极对应于k个电流模式和归一化，以便∑我=1L（左）V（V）我k个=0，k个=1，…，1（根据基尔霍夫定律，线性无关电流模式的最大数目L（左）− 1. 这对应于地面的选择。让j个k个表示标准化电流的矢量j个k个=J型k个‖J型k个‖2和Φ对应L（左）×L（左）−1电流模式矩阵。电压v（v）k个归一化电流产生的电流由下式给出v（v）k个=V（V）k个‖J型k个‖2.通过Φ定义当前模式的矩阵(ℓ, k个)第个条目Φ(ℓ，k个)=j个ℓk个.

让(u个(·)，周(·))L（左）表示由定义的离散内积

(u个(⋅)，w个(⋅))L（左）=∑我=1L（左）u个(θ我)¯w个(θ我).

离散Dirichlet-to-Neumann映射，表示为L（左）γ，近似为L（左）γ=R（右）γ−1，其中R（右）γ表示离散的Neumann-to-Dirichlet映射。的条目R（右）γ由提供

R（右）γ(米，n个)=(j个我米A类ℓ，v（v）我n个)L（左），

哪里A类ℓ是的面积ℓth电极。

5.2. 计算ψ|∂Ω

Faddeev-Green函数的性质可以在[96，85，77]. 格林函数G公司k个根据相关的格林函数计算克k个对于操作员−Δ−4我k个∂¯，其中∂¯=12(∂x个+我∂年)。注释来自(5)和(7)功能μ(z、 k个)满意度

(−Δ−4我k个∂¯)μ(z，k个)=q个(z)μ(z，k个)，    z∈ℝ2.

自G公司k个(z) =e（电子）伊克斯克k个(z)和克k个(z) =克1(千赫兹)，格林函数G公司k个可以从中计算所有k

G公司k个(z)=e（电子）我k个z克1(k个z).

有几种计算方法克1(z)在文学作品中[96，60]. 这里我们使用的方法是[60]使用公式（3.10）[20]

克1(z)=14πe（电子）−我k个zℜ(E类我(我z))，

哪里电子工程师(z)是指数积分函数。

为了适应测量数据的形式，我们将求解ψR（右）国际教育局在中心zℓ每个电极的e（电子）ℓ。对于|k个| ≤R（右），来自(25)我们解决了

ψR（右）国际教育局(zℓ，k个)=e（电子）我k个zℓ−ρ0∫∂ΩG公司k个(zℓ−ζ)(Λγ−Λγ0)ψR（右）国际教育局(ζ，k个)d日秒.

卷积G公司k个带有函数（f）计算如下。

∫∂ΩG公司k个(z我−ζ)（f）(ζ，k个)d日秒(ζ)≈∑ℓ′=1L（左）∫e（电子）ℓ′G公司k个(zℓ−ζ)（f）(ζ，k个)d日秒.
(30)

对于ℓ′ ≠ℓ，

∫e（电子）ℓ′G公司k个(z我−ζ)（f）(ζ，k个)d日秒(ζ)≈A类ℓ′G公司k个(zℓ−ζℓ′)（f）(ζℓ′，k个)，
(31)

哪里A类ℓ′是电极的面积e（电子）ℓ′。对于ℓ′ =ℓ，的对数奇点G公司k个在0时需要更仔细地计算积分，因此我们离散了ℓth电极N个e（电子）点，ζℓ1，…，ζℓN个e（电子），如所示图2，并应用辛普森规则：

∫e（电子）ℓG公司k个(z我−ζ)（f）(ζ，k个)d日秒(ζ)≈A类ℓ(N个e（电子）−1)∑n个=1N个e（电子）G公司k个(zℓ−ζℓn个)（f）(ζℓ，k个).
（32）

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具有有限个点的电极表面离散化的缩放N个e（电子）.红色的点表示电极的中心z我′=e（电子）我θ我′蓝色的点表示离散化点。

请注意（f）(ζ、 k个)以上近似值为（f）(ζℓ，千)自（f）(ζ，k个)=δΛψR（右）国际教育局(ζ，k个)，其中δΛ := Λγ−∧γ0贯穿论文的其余部分。代表ψR（右）国际教育局(ζℓ，k个)就基本函数而言{j个n个(ζ)}n个=1N个，

ψR（右）国际教育局(ζℓ，k个)=∑n个=1N个b条n个(k个)j个n个(ζℓ)，
(33)

生成的表达式（f）(ζℓ，千):

（f）(ζℓ，k个)=∑n个=1N个b条n个(k个)δΛj个n个(ζℓ)，

其中系数b条n个(k个)第页，共页ψR（右）国际教育局有待确定。让Φ表示L（左）×N个归一化电流模式的矩阵，并且让δΛj个n个(ζℓ) ≈ (ΦδΛ)(ℓ, n个). 发件人(31)和(32),

∫e（电子）ℓ′G公司k个(z我−ζ)（f）(ζ，k个)d日秒(ζ)≈{A类ℓ′G公司k个(zℓ−ζℓ′)(ΦδΛ)(ℓ，n个)，ℓ′≠ℓA类ℓ(N个e（电子）−1)∑n个=1N个e（电子）G公司k个(zℓ−ζℓn个)(ΦδΛ)(ℓ，n个)ℓ′=ℓ.
(34)

让矩阵G公司˜k个由定义

G公司˜k个(ℓ，ℓ′)={A类ℓ′G公司k个(zℓ−ζℓ′)，ℓ′≠ℓA类ℓ(N个e（电子）−1)∑n个=1N个e（电子）G公司k个(zℓ−ζℓn个)ℓ′=ℓ.
(35)

让b条k个是未知系数的向量ψR（右）国际教育局(ζ，k个)和扩展e（电子）伊克斯以类似的方式，让c（c）k个是展开式中系数的向量e（电子）伊克斯.让δL（左）将矩阵近似表示为δΛ. 这就产生了矩阵方程

Φb条k个=Φc（c）k个−G公司˜k个ΦδL（左）b条k个.
(36)

将的每一侧相乘方程式（36）通过ΦT型并定义矩阵A类以下为：=ΦT型 G公司k个ΦδL（左），我们得到了以下线性系统，并使用GMRES进行了求解[90].

(ΦT型Φ+A类)b条k个=ΦT型Φc（c）k个.
(37)

5.3. 散射变换的计算

我们现在可以通过离散积分来计算散射变换(26)如下所示。

t吨R（右）国际教育局(k个)≈∑ℓ=1L（左）∫e（电子）ℓe（电子）我k个¯z¯δΛ∑n个=1N个b条n个(k个)j个n个(z)d日秒≈∑ℓ=1L（左）∑n个=1N个A类ℓe（电子）我k个¯z¯ℓb条n个(k个)(ΦδΛ)(ℓ，n个).
(38)

5.4. D-bar方程的数值解

为了获得γ(z)有必要求解D-bar方程μ(z、 k个)对于每个z在感兴趣的地区。此计算可以针对每个z，因此是微不足道的可并行性。此外，不需要统一的网格，也不需要计算γ每z英寸Ω.

D-bar方程（写为PDE）为

∂μ(z，k个)∂k个¯=t吨(k个)4πk个¯e（电子）−z(k个)μ(z，k个)¯:=T型(z，k个)μ(z，k个)¯.
(39)

哪里T型(z，k个):=t吨(k个)4πk个¯e（电子）−z(k个).

求解此PDE的一种方法是使用有限差分，如[80]. 在这里，我们提出了一种快速傅立叶变换（FFT）方法，该方法在[68]基于Vainikko的多重网格方法[99]用于求解Lippmann-Schwinger方程。对于这种方法，我们使用D-bar方程的积分公式

μ(z，秒)=1+1(2π)2∫ℝ2t吨(k个)(秒−k个)k个¯e（电子）−z(k个)μ(z，k个)¯d日k个1d日k个2，
（40）

或使用上述符号，

μ(z，秒)=1+1(2π)2∫ℝ2T型(z，k个)秒−k个μ(z，k个)¯d日k个1d日k个2.
（41）

主要思想是(41)作为的右手边的卷积方程式（39）用格林函数G公司∂¯对于D-bar操作符，由下式给出G公司∂¯(k个)=1πk个.然后(41)有表单

μ(z，k个)=1+G公司∂¯(k个)*(T型(z，k个)μ(z，k个)¯).
(42)

实际上，全平面方程式（40）转换为在周期设置中定义的等效方程。最初的想法来自瓦尼科[99]，并适应了中的D-bar设置[68].

通过平铺k个-带正方形的平面

问=[−2R（右）+三ε，−2R（右）+三ε]2

和一些ε> 0. 然后问足够容纳半径为2的圆盘R（右）.采用平滑截止功能η∈C类0∞(ℝ2)令人满意的η(k个)=1用于|k个| < 2R（右）+ε和η(k个)=0（对于）|k个| ≥ 2R（右）+2个ε定义周期近似格林函数

G公司˜∂¯(k个)=η(k个)G公司∂¯(k个)

并表示T型R（右）(z，k个):=t吨R（右）(k个)4πk个¯e（电子）−z(k个).D-bar的周期性版本方程式（45）是

μR（右）(z，秒)=1+G公司˜∂¯(k个)⋆(T型R（右）(z，k个)μR（右）(z，k个)¯)，
(43)

其中⋆表示圆环上的周期卷积。

现在是固定的z的解决方案(45)和(43)圆盘重合|k个| <R（右）.因此我们可以替换μR（右）位于的右侧(45)并获得μ总的来说k个-从左侧的平面(45).

利用快速傅里叶变换可以有效地计算周期卷积(45)在等距网格上k个-有间距的平面小时以获得

μR（右）=我+小时2国际金融时报(快速傅立叶变换(G公司∂¯)⋅快速傅里叶变换(T型R（右）μR（右）¯))，
(44)

其中黑体符号表示G公司∂¯和T型R（右）μR（右）¯是通过计算k个-网格、和·表示矩阵的元素乘法（Hadamard乘积）。注意，这里的FFT是二维FFT，可以用Matlab命令fft2和ifft2实现。

让

P（P）(T型R（右）μR（右）¯):=小时2国际金融时报(快速傅里叶变换(G公司σ¯)⋅快速傅里叶变换(T型R（右）μR（右）¯)).
(45)

然后(44)可以写成矩阵方程

[我μR（右）−P（P）(T型R（右）μR（右）¯)]=1.
(46)

自μR（右）在操作员内部发现P（P），它不能用简单的形式书写阿克斯=b条。它由方程式隐式给出(46)因此，该方程很适合用无矩阵迭代法（如GMRES）求解。请参见图3.

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在D-bar方程的数值解中，实际线性运算传递给了GMRES。左上角数组中的零元素表示（a）格林函数在正方形边界附近被平滑地截断为零S公司以及（b）原点处的奇异性被零取代。注意，实际部分和虚拟部分需要分开列出，如(47).

有以下几个功能方程式（46）然而，在数值解中必须考虑到这一点。

  1. 由于上的共轭μ，方程式（46）是一个实际线性因此，在应用GMRES之前，必须将方程的实部和虚部分开，除非使用专用的迭代解算器，例如[34].
  2. FFT假设它们作用的函数的周期性，因此k平面中的网格必须延伸足够远，以便渐近行为μ~1相当接近。
  3. 此外，由于FFT和卷积，必须适当选择网格。

对于选定的截断半径R（右）>在k平面中，定义一个正方形问：=[−R、 R（右）]2，选择一个正整数米，表示M（M）= 2米、和设置小时= 2R（右）/(M（M）− 1). 定义网格G公司米⊂问通过

G公司米={j个小时∣j个∈ℤ米2}，

哪里

ℤ米2={(j个1，j个2)∈ℤ2∣j个我=−R（右）+ℓ小时，ℓ=0，…，M（M）−1，我=1，2}.

请注意G公司米是M（M）2并且该离散化不包括点（0，0）。此外，请注意，此网格与第15章中使用的网格不同[77]. 在Matlab中，可以使用meshgrid命令轻松计算此类网格。为了计算格林函数，网格向左和向右增加了M（M）/有间距的2个点小时总共2个M（M）分数：

j个我=    −R（右）−M（M）2小时，−R（右）−(M（M）2−1)小时，…，−R（右），…，R（右），…，R（右）+(M（M）2−1)小时，R（右）+M（M）2小时，我=     1，2

在卷积的计算中，P（P）( T型R（右）μR（右）¯)为零路径，以便与的网格兼容G公司∂¯.通过表示网格点k个(1)，k个(2)，…，k个(M（M）2)∈G公司米以便于将网格点处的函数值作为长度向量写入M（M）2，定义一个映射vecrl，它将上定义的复值矩阵矢量化k个-网格到上定义的复值向量k个(1)，k个(2)，…，k个(M（M）2)∈G公司米，然后堆叠向量的实部和虚部，形成长度为2的向量M（M）2:

vecrl公司(（f）):=[回复（f）(k个(1))⋮回复（f）(k个(M（M）2))我（f）(k个(1))⋮我（f）(k个(M（M）2))].
(47)

要解决方程式（46），我们首先构建一个初始猜测μ0∈ℝ2M（M）2。一个合适的选择是带有第一个的垂直矢量M（M）2等于1和最后一个的元素M（M）2元素等于0，因为μR（右）是1+0我。对于每个选定的z，打电话给gmres进行初步猜测μ0和左边的线性运算符(46)由例程描述

（f）↦（f）−vecrl公司(小时2国际金融时报(快速傅里叶变换(G公司∂¯)⋅快速傅里叶变换(T型R（右）（f）¯))).

此例程是传递给GMRES的函数，定义为（f）作为随着GMRES的每次迭代而更新的输入。GMRES的输出向量将是近似值的叠加实部和虚部μR（右）在这一点上z关于向量化k个-网格。然后可以将其作为复值向量重新写入，并将其重塑为原始向量k个-栅格G公司米.

上述求解方法具有计算复杂性M（M）2日志M（M）当在M（M）×M（M）栅格[68]. （第1个数字D-bar解算器的复杂性如[93]是M（M）4.）芬兰反问题学会计算博客上提供了MATLAB实现§.

有一种专用的迭代方法可用于实际线性问题，如D-bar方程[34]，提供了加速的可能性。有关D-bar方法的实时实现，请参见[32].

D-bar方程的其他计算求解方法包括谱方法[64，63]和有限差分法[80]. 此外，Lippmann-Schwinger解算器[24]可能适用于D-bar方程。

6 D-bar方法的最新进展

6.1. 结合先验信息

迭代方法在代价函数的惩罚项（重建算法中的正则化项）中将空间先验信息纳入重建算法中。对于D-bar方法，如第3节，散射变换在存在噪声的情况下破裂，并且在k个-平面使重建规则化。一种包含空间先验信息以恢复丢失信息的方法，但先验的已知信息，在[4].

散射变换的高频部分对图像中更精细的细节进行编码。因此，其思想是计算空间先验在k个-平面，并使用它附加从数据计算的散射变换。这是通过定义分段散射变换来实现的

t吨密码(k个)=t吨R（右）1，R（右）2(k个):={t吨(k个)，|k个|≤R（右）1，t吨公共关系(k个)，R（右）1<|k个|≤R（右）2，0，|k个|>R（右）2.
(48)

包含先验信息的另一个机会是在D-bar方程积分公式的渐近项中。定义

μ整数(z):=1πR（右）22∫|k个|≤R（右）2μ公共关系(z，k个)d日k个.
(49)

这导致了一个修正的D形杆积分方程：

μR（右）2，α(z，k个)=α+(1−α)μ整数(z)+1(2π)2∫|k个|≤R（右）2t吨密码(k个′)k个¯′(k个−k个′)e（电子）−k个′μR（右）2，α(z，k个′)¯d日k个′.
(50)

参数α控制术语的影响μ整数，而半径R（右）2控制附加的t吨公共关系到散射变换。重建的电导率由下式得出σα(z)=μR（右）2，α2(z，0)。请参阅[4]证明了该方法构成了一种非线性正则化策略。

在处理实验数据时，为先验值选择电导率值可能是一项重大挑战。在中提出了一种优化方法[三]其中，为空间先验值选择分段恒定电导率值，以便为根据测量数据计算的散射变换提供最佳拟合|k个| ≤R（右）1。该方法被证明对实验水箱数据的差分图像是有效的[三].图4，来自[三]显示了该方法应用于在装有琼脂心肺的装满盐的罐中收集的数据的结果。请参见[51]将该方法应用于复电导率的D-bar方法。

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左图：罐体照片，罐体由琼脂制成，模拟心脏和肺部，左侧肺部受伤。中心：前一个空间的边界。右图：重建R（右）1= 5，右2= 10, α= 1.0. 数字来自[三].

这项技术用于对一名囊性纤维化患者收集的人类受试者数据第7节英寸[6，5]. 在[6]，该方法被修改为包括一个动态先验值，该先验值在空间上和电导率值上发生变化，以适应呼吸引起的结构域形状和器官形状的变化。请参见[三，7，4，6，51].

6.2. 复电导率的重建

由于其细胞结构，人体组织具有电容；也就是说，它可以存储电荷，因此可以存储导纳的复杂部分方程式（1）非零。参数ϵ或介电常数，提供了可能具有临床用途的附加图像。例如，气胸和过度充气都对应于肺部绝对图像中的低电阻率区域，但气胸的介电常数为零，因为它是没有组织的纯空气，而过度充气则有肺组织和低的非零介电常数。介电常数的图像可以有助于区分这两种情况。

目前，EIT中唯一能够处理复介电常数的D-bar方法需要2×2椭圆系统(29)D-bar方程。请参见第4.1.2小节以获取详细信息和参考。

将狄利克雷-诺依曼映射与散射变换和中不存在的指数增长解相关的方程[39，18]衍生于[42，49]该方法是在圆形域上实现的。图6.2来自[49]说明了该方法清晰地重建电导率和介电常数的能力。该方法在噪声存在下的鲁棒性，以及对非圆域的扩展，发表于[44].

6.3. 处理各向异性

如果电导率是各向异性的，则电导率反问题没有唯一的解[40]. 然而，各向异性电导率的变形可以用D-bar方法计算。这是在中首次显示的[55]然后用不同的方法进行分析，并在计算中实现[46].

6.4. 区域感兴趣成像

假设患者或目标体内有一个感兴趣区域（ROI），在那里需要更高的图像质量。然后可以以特定的方式放置电极，并使用如所示的共形映射[59]. 也就是说，可以先将测量域映射到单位圆盘上，然后使用另一个保角映射来放大ROI。在生成的虚拟域中应用D-bar方法可以提高ROI内的图像质量。

6.5. 非线性后处理方法，包括机器学习

而中描述的非线性正则化方法第3节使D-bar方法对建模误差和测量噪声具有鲁棒性，它还以与线性低通滤波器非常相似的方式模糊重建图像。在中引入了混合分割技术[45]并在[46]来解决这个问题。

机器学习是获得不被正则化模糊的重建的另一种方法。介绍了一种借助深度学习锐化D-bar重建的后处理方法[47]其中，连续电流/电压数据是在已知圆形区域的边界上计算的。在[48]通过使用相关的非物理Beltrami方程而不是模拟特定于给定域的电流和电压数据，在不了解边界形状的情况下模拟了卷积神经网络（CNN）的训练数据。图6，发布于[48]，演示了使用KIT4 EIT系统收集的四个实验数据集计算后处理绝对图像的这种技术[71].

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发件人[48]. 使用KIT4收集的四个数据集的绝对图像[71]EIT系统。第2列中的D形条图像，在整个正方形上[−1，1]2用作CNN的“输入”图像。第3列使用“Beltrami-net”计算，第4列使用带总变差（TV）正则化的最小二乘法。

6.6条。部分边界数据的D-bar方法

在重症监护室的应用中，或在头部或胸部成像中，通常情况下，区域的整个边界无法用于电极放置。在这种情况下，需要能够使用部分边界数据的算法。将D-bar方法扩展到部分边界数据的结果可以在[52，54，53]. 此外，边界附近电导率恒定的假设并不总是充分的。计算扩展技术[94]基于[85，第6章]删除了实施中的这一假设。

图7演示了包括盲先验、分段先验或无先验对具有肺气肿的模拟胸部的重建的影响，以及在边界上的32个电极中的24个电极上收集的数据。失明先兆包括肺、心脏、主动脉和脊柱，但不包括气胸。分段的先期确实包括低传导性气胸。请参见[7]了解更多详细信息。

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发件人[7]. 模拟左肺气胸患者的示例。模拟噪声测量是从75%的腹部数据中收集的。第一幅图像显示了电极位置的真实电导率。单独使用部分数据D-bar方法会导致低空间分辨率的重建，在那里几乎看不到病理（第二）。公司注册先验的将对应于健康患者的数据直接转化为重建方法，显著提高了空间分辨率（第三）。细化先验值可以进一步改进重建，从而更清晰地显示病理学（第四）。

6.7、。虚拟混合边缘检测

介绍了一种使用与D-bar方法中相同的CGO解决方案的新方法[41]. 它允许提取有关电导率的部分信息。

姓名虚拟混合边缘检测（VHED）出现如下。术语“混合”来自两种模式的组合：EIT测量用于产生类似于X射线层析成像的投影数据。然而，由于没有实际的X射线，它是“虚拟的”。最后，“边缘检测”是指将投影数据解释为电导率不连续性的虚拟X射线图像。

表示x个=(x个1，x个2)∈ℝ2并编写复杂参数k个在表单中k个=iτθ具有θ=θ1+我θ2∈ℂ和|θ| = 1. 此外，让z=x个1+我x个2∈ℂ和设置η=ηR（右）+我η我=(θ1+我θ2，−θ2+我θ1)∈ℂ2，所以zθ=x个1θ1−x个2θ2+我(x个1θ2+x个2θ1) =x个·η。请注意η·η= 0.

现在考虑电导率方程的CGO解·γ∇u个=表单中的0

u个(x个)=e（电子）我τθzw个θ(x个，τ)=e（电子）我τη⋅x个w个θ(x个，τ).

方程式是什么w个θ？精明的

0=1γ(x个)∇⋅(γ(x个)∇u个(x个))=(Δ+1γ(∇γ)⋅∇)(e（电子）我τη⋅x个w个θ(x个，τ))=(Δw个θ(x个，τ)+2我τη⋅∇w个θ(x个，τ)+(1γ∇γ)⋅(∇+我τη)w个θ(x个，τ))e（电子）我τη⋅x个

给予Δw个θ(x个，τ)+2我τη⋅∇w个θ(x个，τ)+(1γ∇γ)⋅(∇+我τη)w个θ(x个，τ)=0新技巧是将一维傅里叶变换应用于复谱参数：

w个^θ(x个，t吨)=F类w个θ(x个，t吨)=∫−∞∞e（电子）−我t吨τw个θ(x个，τ)d日τ.

然后我们得到

Δw个^θ(x个，t吨)+2η∂∂t吨⋅∇w个^θ(x个，t吨)+(1γ∇γ)⋅(∇+η∂∂t吨)w个^θ(x个，t吨)=0
(51)

的主体部分(51)是

Δ−2η∂∂t吨⋅∇，

Duistermaat和Hörmander意义下的复杂主型算子[33].

对于实主型算子，特征奇点沿一维射线传播。例如，对于波动方程，类光奇点沿着光线传播。相反，对于复杂的主型算子，特征奇异点沿二维曲面传播，称为叶子这些留下了关于电导率的从内部到边界的传输信息，用于EIT测量来拾取它。

Fourier转换CGO解决方案的方式w个^θ(x个，t吨)编码有关电导率的信息类似于X射线层析成像。虚拟X射线垂直于矢量传播的思考θ，定理1.2 in[41]介绍了一种基于上积分的重建公式θ覆盖单位圆盘，类似于计算机层析成像中使用的滤波反向投影[87，第V.1]节。因此，保持θfixed允许我们解释函数w个^θ(x个，t吨)电导率沿方向的广义X射线型投影θ⊥。请参阅图8这是一种使用CGO解决方案的新方法。

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中风模拟大脑的虚拟混合边缘检测（VHED）轮廓。左侧为缺血性中风，右侧为出血。

6.8. EIT上下文外的D-bar方法

D-bar方法也扩展到了其他反问题：电容层析成像[101]，漫反射光学层析成像[98]和声学层析成像[28].

7 人体数据中的D-bar图像

D-bar方法已应用于[62，76，6，5]在两项临床研究中[78，81].

出版物[78，81]来源于一项对21名囊性纤维化（CF）患者和14名健康志愿者的研究。EIT数据是根据COMIRB（批准号COMIRB 14–0652）的批准在科罗拉多儿童医院收集的。肺活量测定是一种肺功能测试，在CF患者的护理中起着关键作用。在这项测试中，患者戴上鼻夹，通过嘴呼吸到一根管道中，该管道连接到一个测量通过管道呼出的空气体积和速度的设备上。一个有趣的测量方法是深吸气后1s内可以强制呼出的空气量。在我们的研究中，EIT数据与肺活量测定同时采集，并创建肺活量测量动作期间的气流动态图像。肺活量测定期间气流EIT图像的几个时间快照示例如所示图9区域和全球EIT衍生的肺活量测量值也在[81]并研究了它们与肺活量计输出的相关性。

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发件人[81]. 肺功能测试期间收集的数据的电导率图像序列。这里红色代表高导电性，蓝色代表低导电性。图像以DICOM方向显示。

D-bar图像用于[78]确定CF患者中可疑的空气滞留区域。使用EIT衍生的通气/灌注(V（V）˙/问˙)中引入的索引映射[80]通过目视检查通气与灌注的pixelwise比值，确定通风不良和灌注良好的区域可能是空气阻塞的。在表1、全局、左肺和右肺EITV（V）˙/问˙给出了两名CF患者和一名健康对照组的指标进行比较。全球EITV（V）˙/问˙健康对照组的指数明显高于两名CF患者的指数，这也适用于左肺指数，因为这两位CF患者都有空气潴留。右肺有空气滞留的CF受试者2的右肺指数也显著低于对照组和右肺下叶无空气滞留的CFR1受试者。这个V（V）˙/问˙绘制索引图图9健康对照组和CF受试者。

表1。

企业所得税V（V）˙/问˙三个主题的索引。

主题V（V）˙/问˙全球指数V（V）˙/问˙左肺指数V（V）˙/问˙右肺指数
健康对照0.46250.48700.4172
CF主题10.33770.19990.4209
CF主题20.10240.06650.1148
​
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发件人[49]. 左图：理想的导纳分布。请注意，肺部的介电常数与背景的介电系数相匹配，因此在重建的假想部分中只能看到心脏。中心：真实部分的重建（导电性）。右：重建虚部（介电常数）。重构来自无噪数据。

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发件人[78]. 企业所得税V（V）˙/问˙健康对照组（左）、CF受试者1（中）和CF受试验者2（右）的索引图均以相同比例绘制。

8 致谢

我们要感谢我们的许多合作者和学生，无论是过去还是现在，对发展现在称为D-bar算法的直接方法家族所做的贡献。我们特别要感谢大卫·艾萨克森、乔纳森·纽厄尔和加里·索尔尼尔对我们早期职业生涯的贡献，他们在很多方面为实现实用的D-bar方法的目标做出了贡献。我们还感谢支持我们工作的资助机构和大学，当然还有我们的家人。

J.M.的工作得到了美国国立卫生研究院拨款R01EB026710和1R21EB016869-01的支持。其内容仅由作者负责，不一定代表NIH的官方观点。S.S.的工作得到了芬兰科学院（卓越中心决定编号312339）和Jane and Aatos Erkko基金会（中风分类和监测项目）的支持。

9 工具书类

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