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Philos Trans A数学物理工程科学。2020年5月29日；378(2172): 20190538.
2020年5月11日在线发布。 数字对象标识：10.1098/rsta.2019.0538
预防性维修识别码：PMC7287324号
PMID：32389078

钢筋混凝土中氯离子亚扩散的多时相分数阶扩散方程和新的参数估计技术

陈瑞格（Ruige Chen）,1 魏晓丽,2 刘发旺,三，4和Vo V.Anh先生三，5,6
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摘要

为了寻找更好的氯离子亚扩散系统，本文提出了一个多项时间分数导数扩散模型，用于描述氯离子在钢筋混凝土结构中的渗透。我们证明了模型的稳定性和收敛性。我们使用改进的网格近似法（MGAM）估计了多时间分数阶扩散系统在钢筋混凝土中的分数阶和氯离子扩散系数。然后，为了验证所提方法处理分数阶反问题的效率和准确性，通过两个实际数据的数值例子进行了研究。同时，我们使用固定氯离子扩散系数和随扩散深度变化的扩散系数两种方法来模拟氯离子亚扩散系统。结果表明，使用新的分数阶和参数，我们的多项分数阶氯离子亚扩散系统能够提供比其他模型更符合实际数据的数值结果。另一方面，从氯离子亚扩散系统的数值解中也注意到，设置随扩散深度变化的扩散系数更为合理。研究还发现，氯离子在钢筋混凝土中的扩散系数应随着扩散深度的增加而减小，这与理论完全一致。此外，该模型可用于预测具有时间依赖性的氯化物分布。

本文是“通过分数微积分进行高级材料建模：挑战与展望”主题的一部分。

关键词：多项、时间分数导数、氯离子、次扩散、混凝土、参数估计

1 介绍

混凝土是世界上用途广泛的建筑材料。钢筋混凝土（RC）结构的耐久性与混凝土多孔微结构中的水和离子物种的传输密切相关。氯离子引起的钢筋腐蚀是导致海洋环境下钢筋混凝土结构使用寿命性能下降的主要原因之一[1–5]. 提出了不同的技术来防止钢的腐蚀，例如混合水泥[6]、缓蚀剂[7]，钢筋涂层[8]，阴极保护[9]混凝土的电化学再碱化[10]，电化学氯化物去除[11,12]但是，这些需要非常高的维护和维修成本，因此对设计用于预测氯化物进入及其腐蚀后果的可靠模型的需求很大。因此，建立准确的模型来预测混凝土中的氯化物扩散率是非常重要的，在设计阶段采取适当的措施来减少这些缺陷的发生。

评估混凝土中氯离子渗透过程有两种方法。一种是基于菲克定律在宏观层面上的扩散理论和单一氯化物的质量守恒[13–15]. 另一种是基于能斯特-爱因斯坦方程和能斯特-普朗克方程，考虑了包括氯化物在内的混凝土中的多物种传输[16,17]. 在早期，通过将氯化物扩散系数和表面氯化物浓度作为常数，提出了Fick第二扩散定律的解析解[18]. 观察到，由于水泥浆体的水化过程，氯离子扩散系数通常随着混凝土结构的暴露时间而降低[19]. 基于这种现象，Mangat&Molloy[20]和Maage等。[21]提出了氯离子扩散系数随时间变化的几种氯离子扩散解析解。

然而，氯离子在混凝土中的迁移涉及许多复杂的机制，例如在孔隙溶液系统中氯离子浓度梯度影响下的扩散、毛细作用引起的吸收、电场迁移、压力诱导对流和弱作用。其中，扩散是饱和混凝土的主要机理。在传统模型中，在混凝土中惰性均匀多孔水泥基质的假设下，氯离子扩散通常被认为是一个服从菲克第二定律的正态扩散过程。然而，这些模型在实际应用中遇到了严重的问题，因为许多实验和现场观察表明，这种扩散过程违反了菲克扩散定律，并表现出明显的时间依赖性特征，因此在文献中称为反常扩散[22]. 总的来说，这种异常扩散违反了菲克第二定律，表现出历史依赖性、长程相关性和重尾性。

更准确地说，氯离子在混凝土中的传输是一个次扩散过程，其中颗粒扩散速度慢于正常扩散速度。为了准确描述氯离子在混凝土中的亚扩散，幂律时变系数模型（PL模型）逐渐成为实践中的主导模型[23–25].

近几十年来，分数微积分的理论和应用越来越受到不同学科研究人员的关注[22,26,27]. 分数阶微分方程已成功地应用于各种科学和工程领域中发生的各种异常现象[28–30]. 提出了描述混凝土中氯离子迁移的时间分数扩散模型（TFD模型）。

在本文中，为了得到一个更好的氯离子在混凝土中的传输系统，我们尝试扩展多项时间分数扩散模型（MTFD模型）。然后，我们证明了模型的稳定性和收敛性。在这个模型中，一个重要的问题是确定未知参数，例如扩散系数天这导致了所谓的分数反问题。因此，我们利用改进的网格近似方法（MGAM）研究分数阶微分方程参数估计的相应逆问题。使用新的分数阶和参数，我们的系统能够提供与实际数据非常吻合的数值结果。

2 多项Caputo时间分数阶扩散方程

在本文中，我们考虑以下多项Caputo时间分数阶扩散方程（MTC-TFDEs）：

∑米=1秒d日米⋅0C类天t吨α米u个(x个,t吨)+d日0∂u个(x个,t吨)∂t吨=天∂2u个(x个,t吨)∂x个2,
2.1

在初始条件下

u个(x个,0)=δ(x个),u个(+∞,0)=0, x个≥0,
2.2

和边界条件

u个(0,t吨)=C类秒,∂u个(+∞,t吨)∂x个=0, t吨>0,
2.3

其中0<α1<α2 < · · · < α秒<1,d日我≥0, 我=0,1,2,…,秒, 秒∈N个, 天 > 0是色散系数。卡普托分数导数定义如下[31].

定义2.1-

对于函数u个(x个,t吨)区间[0，T型]，表达式

0C类天t吨α我u个(x个,t吨)=1Γ(1−α我)∫0t吨(t吨−η)−α我∂u个(x个,η)∂η d日η

称为Caputo时间分数阶导数γ，其中Γ( · ) 表示伽马函数。

三。 MTC-TFDEs的隐式数值方法

在本节中，提出了一种隐式数值方法来求解模型（1）。现在我们定义t吨k个 = kτ,k个 = 0，1…，N个;x个我 = 国际卫生组织,我 = 0, 1, …,M（M），其中τ = T型/N个和小时 = L（左）/M（M）分别是时间步长和空间步长。假设u个(x个,t吨) ∈ C类2([0,L（左）] × [0,T型])。我们使用L（左）1-算法[32,33]以下为：

0C类天t吨α我u个(x个,t吨k个+1)=τ−α我Γ(2−α我)∑j个=0k个b条j个(α我)[u个(x个,t吨k个+1−j个)−u个(x个,t吨k个−j个)]+O（运行）(τ2−α我),

哪里b条j个(α我)=(j个+1)1−α我−j个1−α我, j个=0,1,…,n个. 我=1,2,…,第页.

∂u个(x个,t吨k个+1)∂t吨=u个(x个,t吨k个+1)−u个(x个,t吨k个)τ+O（运行）(τ).

然后，我们使用二阶中心差分公式离散二阶空间导数：

∂2u个(x个我,t吨)∂x个2=u个(x个我+1,t吨)−2u个(x个我,t吨)+u个(x个我−1,t吨)小时2+O（运行）(小时2).

因此我们有

∑米=1第页d日米Γ(2−α米)τα米∑j个=0k个b条j个(α米)[u个(x个我,t吨k个−j个+1)−u个(x个我,t吨k个−j个)]+d日0u个(x个我,t吨k个+1)−u个(x个我,t吨k个)τ=天u个(x个我+1,t吨k个+1)−2u个(x个我,t吨k个+1)+u个(x个我−1,t吨k个+1)小时2+R（右）我,k个+1,
3.1

哪里

|R（右）我,k个+1|≤{C类(τ+小时2),d日0≠0,C类(τ2−α最大+小时2),d日0=0 和 d日米≠0, 米=1,2,…,秒,
3.2

具有α最大 = 最大{α米,米 = 1, 2, …,秒}.

出租u个我k个是数值近似值u个(x个我,t吨k个)，我们获得了方程的以下隐式差分近似(2.1)–(2.3):

∑米=1第页d日米Γ(2−α米)τα米∑j个=0k个b条j个(α米)[u个我k个−j个+1−u个我k个−j个]+d日0u个我k个+1−u个我k个τ=天u个我+1k个+1−2u个我k个+1+u个我−1k个+1小时2.
3.3

引理3.1-

系数 b条j个α我, j个=0,1,…, 满足:

  • (1)
    b条0(α我)=1, b条j个(α我)>0, j个=1,2,…;
  • (2)
    b条j个(α我)>b条j个+1(α我), j个=1,2,…;
  • (3)
    b条j个(α我)>b条j个(α我+1), α我<α我+1, 我=1,2,…,第页−1;

这些结果的证明除了(2.3)在中给出[34]. 结果(2.3)已在中证明[35].

设置μ米=d日米τ1−α米/Γ(2−α米),第页 = (Dτ)/小时2，公式(3.3)简化为以下方案：

(∑米=1秒μ米+d日0)u个我k个+1−第页(u个我+1k个+1−2u个我k个+1+u个我−1k个+1)=(∑米=1秒μ米+d日0)u个我k个+∑米=1秒μ米∑j个=0k个−1b条k个−j个α米(u个我j个−u个我j个+1)我=1,2,…,M（M）−1, k个=1,2,…,N个.
3.4

写作μ=1/(∑米=1秒μ米+d日0)，上述公式(3.4)简化为以下方案：

(1+2μ第页)u个我k个+1−μ第页u个我+1k个+1−μ第页u个我−1k个+1=u个我k个+μ∑米=1秒μ米∑j个=0k个−1b条k个−j个α米(u个我j个−u个我j个+1)我=1,2,…,M（M）−1, k个=1,2,…,N个,
3.5

在离散化的初始和边界条件下：

u个00=δ,u个我0=0, 我=1,2,…,M（M）,u个0k个=C类秒, u个M（M）−1k个=u个M（M）k个, k个=1,2,…,N个,
3.6

然后(3.5)可以用以下矩阵形式书写：

一个单位k个+1=单位k个+μ∑米=1秒μ米∑j个=0k个−1b条k个−j个(α米)(单位j个−单位j个+1)+μ第页e（电子）1C类秒k个=1,2,…,N个−1,
3.7

哪里单位k个=[u个1k个,u个2k个,…,u个M（M）−1k个]

一个=(1+2μ第页−μ第页−μ第页1+2μ第页−μ第页⋱⋱⋱−μ第页1+2μ第页−μ第页−μ第页1+μ第页).

4 MTC-TFDEs隐式数值方法的稳定性

在本节中，我们讨论隐式数值方法的稳定性(3.5)带边界条件(3.6)。

定理4.1-

假设 u个我k个 (我=1,2,…,M（M）−1;k个=1,2,…,N个) 是的数值解(3.5)–(3.6),那么我们有

||u个k个+1||∞≤||u个0||∞,k个=1,2,…,N个−1

证明-

让|u个我0k个+1|=最大1≤我≤M（M）−1|u个我k个+1|。因为μ > 0,第页 > 0，由引理3.1和方程(3.5)，我们获得

||u个k个+1||∞=|u个我0k个+1|=(1+2μ第页−μ第页−μ第页)|u个我0k个+1|≤|u个我0k个+1|+2μ第页|u个我0k个+1|−μ第页|u个我0+1k个+1|−μ第页|u个我0−1k个+1|≤|u个我0k个+1+2μ第页u个我0k个+1−μ第页u个我0+1k个+1−μ第页u个我0−1k个+1|=|u个我0k个+μ∑米=1秒μ米∑j个=0k个−1b条k个−j个α米(u个我0j个−u个我0j个+1)|=|μ(∑米=1秒μ米+d日0)u个我0k个+μ∑米=1秒μ米∑j个=0k个−1b条k个−j个α米(u个我0j个−u个我0j个+1)|=μ|d日0u个我0k个+∑米=1秒μ米(u个我0k个+b条1α米(u个我0k个−1−u个我0k个)+b条2α米(u个我0k个−2−u个我0k个−1)∑米=1秒μ米+·+b条k个−1α米(u个我01−u个我02)+b条k个α米(u个我00−u个我01))|=μ|d日0u个我0k个+∑米=1秒μ米((b条0α米−b条1α米)u个我0k个+(b条1α米−b条2α米)u个我0k个−1∑米=1秒μ米+·+(b条k个−1α米−b条k个α米)u个我01+b条k个α米u个我00)|≤μ(d日0|u个我0k个|+∑米=1秒μ米((b条0α米−b条1α米)|u个我0k个|+(b条1α米−b条2α米)|u个我0k个−1|∑米=1秒μ米+·+(b条k个−1α米−b条k个α米)|u个我01|+b条k个α米|u个我00|))≤μ(d日0+∑米=1秒μ米b条0α米)最大1≤j个≤k个||u个j个||∞=最大1≤j个≤k个|||u个j个||∞.我.e（电子）.||u个k个+1||∞≤||u个0||∞.

 □

定理4.2-

分数隐式数值方法定义为(3.5)是无条件稳定的.

证明-

让u个~我k个 (0≤我≤M（M）;0≤k个≤N个)是的近似解(3.5)，错误ε我k个=u个~我k个−u个我k个(0≤我≤M（M）;0≤k个≤N个)满足

(1+2μ第页)ε我k个+1−μ第页ε我+1k个+1−μ第页ε我−1k个+1=ε我k个+μ∑米=1秒μ米∑j个=0k个−1b条k个−j个α米(ε我j个−ε我j个+1)我=1,2,…,M（M）−1, k个=1,2,…,N个.
4.1

应用定理4.1，我们可以得到

||E类k个||∞≤||E类0||∞,k个=1,2,…,N个,

哪里||E类k个||∞=最大1≤我≤M（M）−1|ε我k个|. □

5 MTC-TFDE隐式数值方法的收敛性

现在，让我们考虑数值方法的收敛性。

定理5.1-

让 u个我k个 是使用隐式数值方法计算的数值解(3.5)和(3.6)和u(x个我,t吨k个)是问题的解决方案(2.1)–(2.3)。然后有一个正常数C，这样

|u个我k个−u个(x个我,t吨k个)|≤{C类(τ+小时2),d日0≠0,C类(τ2−α最大+小时2),d日0=0 和 d日米≠0,米=1,2,…,秒,

我在哪里 = 1, 2, …,M（M） − 1；k个 = 1, 2, …,N个,α最大 = 最大值{α米,米 = 1, 2, …,秒.}.

证明-

让u个(x个我,t吨k个), (0 ≤ 我 ≤ M（M）;0 ≤ k个 ≤ N个)是方程的精确解(2.1)–(2.3)在网格点(x个我,t吨k个)。

定义η我k个=u个(x个我,t吨k个)−u个我k个, (0≤我≤M（M）−1;1≤k个≤N个)和Y（Y）k个=(η1k个,η2k个,…,ηM（M）−1k个)根据上述理论，我们得出

(1+2μ第页)η我k个+1−μ第页η我+1k个+1−μ第页η我−1k个+1=η我k个+μ∑米=1秒μ米∑j个=0k个−1b条k个−j个α米(η我j个−η我j个+1)+μτR（右）我k个+1我=1,2,…,M（M）−1, k个=1,2,…,N个.
5.1

什么时候？d日0 ≠ 0，应用定理4.1，以及(3.2)，我们获得

||Y（Y）k个||∞≤||Y（Y）k个−1||∞+μτ|R（右）k个+1|≤||Y（Y）k个−2||∞+μτ|R（右）k个+1|+μτ|R（右）k个|≤||Y（Y）0||∞+μk个τC类1(τ+小时2)=μT型C类1(τ+小时2)≤C类(τ+小时2).

什么时候？d日0 = 0，应用定理4.1，以及(3.2)，我们获得

||Y（Y）k个||∞≤||Y（Y）k个−1||∞+μτ|R（右）k个+1|≤||Y（Y）k个−2||∞+μτ|R（右）k个+1|+μτ|R（右）k个|≤||Y（Y）0||∞+μk个τC类2(τ2−α米一x个+小时2)=μT型C类2(τ2−α最大+小时2)≤C类(τ2−α最大+小时2).

 □

6 一种改进的网格近似方法

在[36]，刘等。提出了一种用于非线性动力学模型参数估计的网格近似方法（GAM）。在下文中，我们修改了网格近似方法，该方法可用于逐步估计参数。

第1步：让(第页1,第页2, …,第页米) ∈ 天，其中天是形式的有界域

天=[第页1(最小值),第页1(最大)]×[第页2(最小值),第页2(最大)]×·×[第页米(最小值),第页米(最大)].
6.1

间隔[第页j个(最小值),第页j个(最大)](j个=1,2,…,米)首先使用步骤进行分区小时j个等等

第页j个(最小值)=第页j个,0<第页j个,1<·<第页j个,M（M）j个=第页j个(最大),
6.2

哪里第页j个,k个j个=第页j个(最小值)+k个j个×小时j个和小时j个=(第页j个(最大)−第页j个(最小值))/M（M）j个.让P（P）最小值 = (第页1,0,第页2,0, …,第页米,0)，然后是网格G公司(天)定义为

G公司(天)={P（P）∈天:第页j个,k个j个=第页j个(最小值)+k个j个×小时j个,j个=1,2,…,米,k个j个=0,1,…,M（M）j个}.
6.3

使用上述网格G公司(天)未知参数向量的近似估计P（P）∗=(第页1∗,第页2∗,…,第页米∗)∈G公司(天)由均方根误差函数（RMSEF）确定

克(P（P）∗)=最小值P（P）∈G公司(天)克(P（P）)=最小值P（P）∈G公司(天){∑j个=0N个(x个(t吨j个)−x个j个)2N个+1},
6.4

哪里x个(t吨j个)是分数系统的数值解(2.1)对于给定参数P（P） = (第页1,第页2, …,第页米)、和x个j个是真实的数据。

然而，我们知道网格中的初始点G公司(天)是预先确定的。如果步骤小时j个太小，网格中的点数G公司(天)将非常大，这将需要更多的时间来计算克(P（P）). 因此，在第一步之后P（P）∗=(第页1∗,第页2∗,…,第页米∗)∈G公司(天)可以获得。然后，我们定义了一个新的域，并应用GAM再次估计参数。

步骤2：定义一个新的有界域，如下所示：

天∗=[第页1∗−L（左）∗小时1,第页1∗+L（左）∗小时1]×[第页2∗−L（左）∗小时2,第页2∗+L（左）∗小时2]×·×[第页米∗−L（左）∗小时米,第页米∗+L（左）∗小时米],
6.5

哪里L（左）是一个正常数（我们可以选择L（左） = 1, 2, 3). 间隔[第页j个∗−L（左）∗小时j个,第页j个∗+L（左）∗小时j个]使用步骤进行分区小时j个′，远小于小时j个（例如小时j个′ = 小时j个/(L（左）*10)). 在下面，我们可以定义一个新网格G公司(天∗).未知参数向量的估计以相同的方式确定

克(P（P）∗∗)=最小值P（P）∈G公司(天∗)克(P（P）)=最小值P（P）∈G公司(天∗){∑j个=0N个(x个(t吨j个)−x个j个)2N个+1}.
6.6

步骤3：计算||P（P）∗−P（P）∗∗||和克(P（P）**). 如果||P（P）∗−P（P）∗∗||<ε或克(P（P）**)<δ，式中ε和δ是小误差参数，P（P）**是我们找到的参数向量的近似估计。否则，让P（P）* = P（P）**和小时j个 = 小时j个'；转至步骤2。

最后，我们可以得到参数的近似估计，直到||P（P）∗−P（P）∗∗||和克(P（P）**)足够小，即。||P（P）∗−P（P）∗∗||和克(P（P）**)小于给定的常数。

基于MTC-TFDEs和实验数据，我们使用MGAM算法推导未知参数。从离散微分方程(3.5)，我们考虑分数阶α我,我 = 0, 1, …,n个、和系数d日我,我 = 0, 1, …,n个,天,C类秒。我们选择一些区间来搜索MGAM算法中的参数。在下一节中，我们将根据两组不同的实验数据引入两个示例。本文中的算法在3.40 GHz 4核Windows 7桌面上用Matlab实现，该桌面具有16 GB RAM。

7 模型验证和应用

这里，我们有两组实验数据来验证我们的当前模型，我们将它们分别作为示例7.1和7.2。我们使用MGAM来估计参数。

示例7.1-

考虑三项时间分数模型

d日1∂α1u个(x个,t吨)∂t吨α1+d日2∂α2u个(x个,t吨)∂t吨α2+d日0∂u个(x个,t吨)∂t吨=天∂2u个(x个,t吨)∂x个2,
7.1

初始和边界条件：

u个(x个,0)=δ(x个),u个(+∞,0)=0, x个≥0,

u个(0,t吨)=C类秒,∂u个(+∞,t吨)∂x个=0, t吨>0

在本例中，普通硅酸盐水泥（OPC）有六个采样数据年龄。MGAM用于估计模型的参数。虽然我们收集的数据越多，参数就越准确，但实验数据不足以获得准确的参数。我们在参数间隔内搜索最佳参数：0<α1 ≤ 1, 0<α2 ≤ 1, 0<d日0 ≤ 2, 0<d日1 ≤ 2, 0<d日2 ≤ 2, 0<天 ≤ 2, 0.3<C类秒 ≤ 0.5, ε = 0.09,δ = 0.02. 因此，我们获得了该模型中未知参数的估计值：α1 = 0.95,α2 = 0.90,d日0 = 0.4,d日1 = 0.7,d日2 = 0.5,C类秒 = 固定0.35天 = 1.2. 从中可以清楚地看到图1氯离子在水泥基体中的扩散主要分为两个阶段。当穿透深度小于40时，氯离子的穿透速率急剧下降，第一阶段曲线陡峭 但当穿透深度超过40时，氯离子的穿透率在第二阶段几乎为零 mm.由于水泥基体是一种长空间介质，具有较大的比表面积，氯离子在第一阶段主要依赖于强物理吸附，吸附驱动力随着吸附深度的增加而减小。当穿透深度达到40左右时 mm，物理吸附达到平衡。此时，物理吸附深度很难增加。然而，由于氯离子对水泥基体的强烈化学腐蚀，所以随着时间的推移，化学腐蚀是主要因素。可以看出，当时间超过一年时，氯离子的化学渗透深度逐渐增加，伴随着物理吸附和化学渗透，但化学渗透是主要因素。

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MTC-TFDEs模型数值结果的拟合效果天用于实验数据[37]OPC混凝土试样暴露在海洋环境中六种不同的持续时间。（彩色在线版本。）

接下来，我们选择不同的天对于不同的年龄，随着年龄的增长而减少。数值结果与实验数据进行了比较图1分别为1.55、1.48、1.45、1.42、1.20、1.10。拟合效果如所示图2.图2显示了用可变扩散系数法模拟的氯离子扩散曲线。从数字的比较来看​图11和​和2，2变系数扩散法模拟的曲线更接近实验值。这可以用以下理论来解释。氯离子在水泥基体中的扩散机制非常复杂，涉及物理吸附和电荷作用。在氯离子扩散过程中，水泥多孔介质被吸附并充满氯离子化合物。随着堆积密度的逐渐增加，扩散系数必然会发生变化。同时，在氯离子渗透和扩散过程中，带负电的氯离子被吸附到水泥基体内部，导致水泥基体内颗粒或胶束的“斯特恩”层不可避免地带电。因此电荷的排斥或吸引必然会导致氯离子扩散系数的变化。因此，采用变扩散系数法进行模拟将更接近于实验值。为了比较我们模型与PL模型和TFD模型的拟合效果，图3从均方误差（MSE）来看，我们模型的误差最小。根据数字​图22和​和3，三可以看出，我们的模型可以更好地预测八年期间的氯化物分布，并且还研究了氯化物含量随暴露时间（15年、20年和25年）的变化趋势图4.

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MTC-TFDEs模型数值结果的递减拟合效应天用于实验数据[37]暴露于海洋环境六种不同持续时间的OPC混凝土试样。（彩色在线版本。）

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三种不同模型与OPC混凝土试件暴露于海洋环境六种不同持续时间的实验数据之间的均方误差。（彩色在线版本。）

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不同时间MTC-TFDEs模型的预测(t吨=15 年、20年、25年）。（彩色在线版本。）

例7.2-

我们还选择了三项时间分数模型，如示例7.1所示。

在本例中，粉煤灰混凝土的取样数据有六个龄期。MGAM还用于估计模型的参数。我们在参数间隔内搜索最佳参数：0<α1 ≤ 1, 0<α2 ≤ 1，0<d日0 ≤ 2, 0<d日1 ≤ 2, 0<d日2 ≤ 2, 0<天 ≤ 2, 0.3<C类秒 ≤ 0.5, ε = 0.09,δ = 0.02. 为了获得更好的拟合效果，我们选择不同的天不同年龄组随年龄增长而下降。因此，我们获得了该模型中未知参数的估计值：α1 = 0.95,α2 = 0.85,d日0 = 0.16,d日1 = 0.17,d日2 = 0.18,C类秒 = 0.35（不同）天随着年龄的增长。数值结果与实验数据进行了比较图5其中2.2 × 10−7, 1.8 × 10−7, 1.2 × 10−7，1.0 × 10−7, 0.6 × 10−7，0.4 × 10−7分别是。图5显示了氯离子在粉煤灰水泥基质中的渗透曲线。不难发现，氯离子在粉煤灰水泥基体中的渗透速度明显慢于图1在最初的6个月里，氯离子在粉煤灰水泥基体中迅速扩散，然后渗透速度和扩散深度逐渐变慢。扩散深度超过0.04mm后几乎停滞。这是因为粉煤灰是一种微纳米颗粒，颗粒极细，表面留有大量负电荷，具有较高的吸附能。因此，粉煤灰水泥基质的物理吸附使初始氯离子迅速饱和。然而，飞灰本身的表面携带大量负电荷，氯离子也是负离子。随着氯离子的扩散，粉煤灰对氯离子的物理吸附等于粉煤灰负电荷对氯离子所产生的排斥力。氯离子的扩散达到动态平衡，扩散深度变得缓慢，直到停滞。为了比较我们模型与PL模型和TFD模型的拟合效果，图6MSE表明，我们模型的误差也是最小的。

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MTC-TFDEs模型数值结果的递减拟合效应天用于实验数据[37]粉煤灰混凝土试件暴露于海洋环境六种不同的时间。（彩色在线版本。）

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三种不同模型与OPC混凝土试件暴露于海洋环境六种不同持续时间的实验数据之间的均方误差。（彩色在线版本。）

8 结论

本文基于卡普托分数阶导数，建立了一个多项时间分数阶氯离子亚扩散系统，以寻求一个更好的氯离子次扩散系统。然后，我们证明了模型的稳定性和收敛性。此外，还提出了分数阶氯离子亚扩散系统参数估计的反问题。

首先，我们提出了一个多项时间分数导数扩散模型，用于描述氯离子在暴露于氯离子环境下的钢筋混凝土结构中的时间相关氯离子渗透。

其次，该系统存在一个分数阶逆问题，需要估计分数阶和氯离子扩散系数。我们使用改进的网格近似方法（MGAM）来估计这些参数，并最终获得最优参数估计。

第三，为了验证所提方法处理分数阶反问题的效率和准确性，利用水泥基和粉煤灰水泥基的实际数据，研究了两个数值例子。我们使用固定氯离子扩散系数和随扩散深度变化的扩散系数两种方法来模拟氯离子亚扩散系统。结果表明，使用新的分数阶和参数，我们的系统能够提供比其他模型更符合实际数据的数值结果。

研究还发现，氯离子在钢筋混凝土中的扩散系数应随着扩散深度的增加而减小，这与理论完全一致。此外，本文提出的模型可用于预测具有时间依赖性的氯化物分布。

致谢

第一作者（R.C.）感谢中国奖学金委员会的资助。本研究得到了澳大利亚研究委员会（ARC）通过发现项目（DP180103858和DP190101889）以及中国四川省科学技术厅（批准号：2019YFG0256）的支持。

数据可访问性

本文不包含任何其他数据。

作者的贡献

R.C.：模拟，求解模型，编制程序，估计参数，撰写论文。X.W.：对数据和论文的部分内容进行分析。F.L.：指导、检查和校准。V.A.：检查和校准。

竞争性利益

我们声明我们没有竞争性利益。

基金

这项工作得到了澳大利亚研究委员会DP160101366号拨款的部分支持。

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文章来自哲学交易。数学、物理和工程科学系列A由以下人员提供英国皇家学会