Resonant waves and localization phenomena in lattices

Sagdulla A. Abdukadirov; Mark V. Ayzenberg-Stepanenko; Gregory G. Osharovich

doi:10.1098/rsta.2019.0110

Philos Trans A数学物理工程科学。2019年10月21日；377(2156): 20190110.

2019年9月2日在线发布。数字对象标识：10.1098/rsta.2019.0110

预防性维修识别码：PMC6732368型

PMID：31474206

晶格中的共振波和局部化现象

萨杜拉·阿卜杜卡迪罗夫,¹ Mark V.Ayzenberg Stepanenko公司,²和格雷戈里·奥沙罗维奇^三

作者信息文章注释版权和许可证信息 PMC免责声明

关联数据

数据可用性声明: 本文没有其他数据。

摘要

研究了点振荡源激励下质量弹簧晶格中的瞬态波过程。分析了均匀周期三维（3D）正方形和二维（2D）六角形晶格的色散特性，包括揭示的星形局部化现象。为了确定星形形状对不同类型缺陷的敏感性，对具有预定和随机分布缺陷的非均匀晶格中的类共振波和局部化图案进行了数值检验。

本文是主题“结构化媒体中动态现象的建模和本地化（第一部分）”的一部分。

关键词：晶格动力学、共振波、局部化模式、计算机建模

1 介绍

Slepyan最初发现了在以临界速度移动的载荷激励下无限一维弹性波导中的共振波现象[1]然后在[2]。然后研究了各种细长均匀和复合结构的相关问题（例如[三–5]). 最近，分层弹性半空间中的共振波在[6]。一维振荡随时间的增长制服在中观察到谐波载荷激励的周期性结构[7]在计算机模拟结构主管道中的纵波过程时。相关计算表明，在负载附近，以某些（实验确定的）频率作用的点谐波源传播的扰动幅度随时间增长，并且增长的波从该区域向外围推进的速度相对较慢。然后，从数值上揭示了不断增长的波浪[8]对于一组不同的周期结构。请注意，直到周期结构中的共振波这一现象的数学描述（包括相关的物理后果）在[9].

众所周知，周期性结构固有的独特波现象是，自由波传播仅发生在特定频率的离散带内，这些离散带称为通带，与阻带交替，其中稳态波传播被禁止。这一特征在理论上起到了关键作用[9]，其要点如下：

（a）
在带隙材料的频谱中，存在着共振频率，它划分了通带和阻带，群速度为零。在这些频率下，没有稳态解，与外部非自平衡激励相对应，波能从随时间减速的源中流动，如热而非弹性波。
（b）
在共振激励的情况下，波传播的参数取决于第一个非零导数d的阶数^n个ω/d日k个^n个在色散曲线的共振点ω(k个)，其中ω是频率和k个是波数。获得的渐近解估计共振波的增加 ${t吨}^{(n个 - 1) / n个}$ ( $t吨 \to \infty,$ t吨是时间），在震源附近缓慢扩展t吨^1/n个.

在图1，我们给出了最简单的带隙结构（周期质量）中的波动力学示例-弹簧链MSC（面板一). MSC的色散关系-ω(k个) = 2分钟(k个/2） -布里渊区内部如面板所示b条（质点质量和弹簧刚度是测量单位）。它决定通过和停止带-ω < 2和ω > 分别为2。在频带的交叉频率ω = 2 (k个 = π)，群速度c（c）_克等于零。在那里，稳态谐波解产生了质点位移的空间形式， ${u个}_{米} \sim 经验 (\pm 我 π 米)$ ，通过相邻粒子的反相振荡确定驻波（面板c（c）). 点简谐力激发的共振振荡的幅度ω = 2在原点应用(米 = 0）可按以下方式获得[9]:

{u个}_{米} (t吨) \sim \sqrt{t吨} [F类 (λ) 罪 (2 t吨 - π 米) - Φ (λ) 余弦 (2 t吨 - π 米)], λ = \frac{2 米}{\sqrt{t吨}} (t吨 \to \infty) ,

1.1

其中信封 $F类 (λ)$ 和 $Φ (λ)$ 是瞬变过程理论中众所周知的函数[9].

在单独的窗口中打开

图1。

MSC中的稳态和瞬态振荡：(一)结构方案(b条)色散曲线(c（c）)反相振荡的驻波和(d日)共振模式。（彩色在线版。）

在观测点的主要扰动区域到达后，很快检测到计算机解与渐近线（1.1）的良好对应。面板中显示了瞬态波形的快照d日.

介绍上述众所周知的结果的目的是提醒读者共振波的本质，然后说明它们与下面讨论的二维均匀方细胞晶格（SCL）所表现的特征的相似性和差异性。

在过去二十年中，由于波在振动过滤中的实际应用以及设计具有所需带隙特性的结构的可能性，人们对带隙结构中的波频散进行了深入研究（参见[10–17]以及其中的参考文献）。同时，有限数量的工作致力于时间相关动力学，允许分析带隙结构中共振波的发展。在这些作品中，我们注意到[18]其中计算了2D周期结构对点谐强迫的响应[19]其中，研究了一组周期性1D/2D结构中的共振波。

据作者所知，最初在[20]其中，对块岩体模型结构对谐波激励的响应进行了数值研究。在SCL中检测到一个意外的结果：MSL共振的点简谐力频率的作用导致在某些选定方向上产生越来越大的振荡，而其他方向的振荡实际上锁定在震源附近。尽管对所得结果提出了不正确的解释，但检测到的现象引起了人们对问题的关注，并强烈推动了其进一步研究。

在[21]对SCL和均匀三角网格的平面外动力学进行了全面研究。发现了新的线性局部化原始波形（LPW）。其主要特点如下：

—
LPW是一种“自平衡”的持续反相振荡，严格定位于某些方向的节点线上，而这些线外的节点保持静止。任何正则正弦波都由LPW组成。
—
单个LPW不传导能量，而由两个或多个相邻LPW组成的频带是具有相移依赖于能量通量速度的导体。
—
LPW方向与色散表面中鞍点形成的相应等频轮廓形状相关：LPW和正弦波群速度沿轮廓法线方向。
—
共振频率的点谐波源的作用导致了明显的局域化效应，即恒星形状的空间结构的出现，其中恒星射线与LPW方向一致。
—
谐振波的对数增长是随时间而实现的。

下方，英寸图2，我们展示了SCL中LPW和星形空间配置的一些图示，如[21]。频率的等频共振轮廓ω = 2是正方形 ${k个}_{年} = \pm π \pm {k个}_{x个}$ ，其中 ${k个}_{x个}$ 和 ${k个}_{年}$ 是波矢的投影。LPW沿着晶格对角线定向，并伴有反相振荡（带“+”和“–”的圆圈图2b条)，而黑色方块显示的粒子保持不动。共振频率ω = 2是以单位质量表示的ODF振动系统的固有频率，总刚度等于4。

在单独的窗口中打开

图2。

(一)方形格子；(b条)LPW的对角线带由反相振荡粒子组成（符号“+”和“–”），位于不动粒子的粗虚线对角线之间（黑色实心方块）；(c（c）)液位曲线快照t吨 = 400（轴米包含“星形”顶点的坐标）。

SCL中瞬态问题的渐近解[21]，在相对较大的时间内有效，证明了沿对角线增长的反相共振振荡米 + n个为偶数，而其他对角线中的粒子(米 + n个奇数）趋向于极限值（力载荷）或零（运动载荷）。在图2c（c），星形配置固定在时间t吨 = 图中描绘了400个。在恒星轮廓之外，比率 ${Z轴}_{米 n个} \equiv | 最大值 ({u个}_{米, n个}) | / | 最大值 ({u个}_{0, 0}) |$ 此时小于0.2（轮廓1）、0.1（2）、0.05（3）和0.01（4）。

将SCL中讨论的LPW与下面描述的MSC中的驻波进行比较，我们注意到它们的主要共同特性：相邻粒子的反相振荡。除了位于阻通带交叉点的共振频率（如MSL情况）外，在2D/3D晶格中，这些共振频率也可能存在于通带内。与MSL相反，如上所述，此类频率的群速度为零仅适用于某些特殊的波向.

应该注意的是，等频等高线和相关的局部化现象可以在早期的工作中找到（例如[18,22–24])但值得注意的是，共振频率轮廓被遗漏，共振波仍未被发现。在标量和矢量公式中，随后的一些工作（例如[25–27])其中，对更复杂的晶格结构的分析导致了现有的不同波束模式，而动态各向异性不一定与LPW的存在有关。

上面详述的星形局部化现象是规则结构所固有的；在许多工作中（例如[28–35]). 本主题中的配方、方法和结果可在专著中找到[36].

本文旨在进一步研究均匀晶格中的星形局部化现象和共振波，并揭示含缺陷晶格瞬态动力学中的局部化模式。

本文由五个部分组成。在§2中，我们考虑3D SCL。均匀六边形晶格中的LPW、共振频率和考虑的局部化特征如§3所示。在§4中，我们展示了在具有一些确定性和随机缺陷的非均匀正方形单元晶格中计算时间相关波型的例子，其中我们的目标是检查所考虑的定位模式对此类异常的敏感性。简要结论见§5。

对于本文所考虑的结构，研究了平面外振动模式。

2 3D晶格包

考虑一个多层结构，包括S公司具有单位质量粒子和相同粘结刚度的方形格子。所有格都是均匀连接的m、 n个弹性横向无质量刚度键节点γ（如所示图3).

在单独的窗口中打开

图3。

3D方形格子套装。（彩色在线版。）

系统S公司描述包裹的时间相关横向运动的微分方程为

\begin{array}{l} {\ddot{u个}}_{米, n个, 1} = {V（V）}_{米, n个, 1} + γ ({u个}_{米, n个, 2} - {u个}_{米, n个, 1}) + 问_{米, n个, 1} & (秒 = 1) . \\ {\ddot{u个}}_{米, n个, 2} = {V（V）}_{米, n个, 2} + γ ({u个}_{米, n个, 三} - 2 {u个}_{米, n个, 2} + {u个}_{米, n个, 1}) + 问_{米, n个, 2} & (秒 = 2) \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ {\ddot{u个}}_{米, n个, 秒} = {V（V）}_{米, n个, 秒} + γ ({u个}_{米, n个, 秒 + 1} - 2 {u个}_{米, n个, 秒} + {u个}_{米, n个, 秒 - 1}) + 问_{米, n个, 秒} & (2 < 秒 < S公司 - 1) \\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\ {\ddot{u个}}_{米, n个, S公司 - 1} = {V（V）}_{米, n个, S公司 - 1} + γ ({u个}_{米, n个, S公司} - 2 {u个}_{米, n个, S公司 - 1} + {u个}_{米, n个, S公司 - 2}) + 问_{米, n个, S公司 - 1} & (秒 = S公司 - 1) \\ {\ddot{u个}}_{米, n个, S公司} = {V（V）}_{米, n个, S公司} + γ ({u个}_{米, n个, S公司} - {u个}_{米, n个, S公司 - 1}) + 问_{米, n个, S公司} & (秒 = S公司) . \end{array}}

2.1

在这里秒是复制晶格的序列号 $(秒 = \bar{1, S公司})$ , $米, n个 = 0, \pm 1, \pm 2, \dots;$ u个_{m、 n，秒}是位移， ${\ddot{u个}}_{米, n个, 秒}$ 是加速度； ${V（V）}_{米, n个, 秒} = {u个}_{米, n个 + 1, 秒} + {u个}_{米 + 1, n个, 秒} + {u个}_{米 - 1, n个, 秒} + {u个}_{米, n个 - 1, 秒} - 4 {u个}_{米, n个, 秒}$ 是拉普拉斯的差分算子秒th晶格；横向力 $问_{米, n个, 秒}$ 应用于节点(m、 n，秒). 在一般情况下，力的频率可能取决于节点的位置。

让问_{m、 n，秒} = 0.齐次问题（2.1）的色散方程如下：

2.2

哪里 $Ω = \sqrt{4 - 2 余弦 {k个}_{x个} - 2 余弦 {k个}_{年}}$ (k个_x个和k个_年是波矢的投影）。

分析（此处未给出）表明，在考虑的3D软件包中S公司色散面（因此，LPW方向）是相同的正方形 ${k个}_{年} = \pm π \pm {k个}_{x个}$ 在单个SCL中。谐振频率的数量等于层的数量。对于两层和三层封装的简单情况，这些共振频率为

\begin{aligned} S公司 & = 2 以下为： ω_{1}, ω_{2} = 2, \sqrt{4 + 2 γ;} \\ S公司 & = 三 以下为： ω_{1}, ω_{2}, ω_{三} = 2, \sqrt{4 + γ}, \sqrt{4 + 三 γ} . \end{aligned}}

2.3

频率 $ω_{1} = 2$ 不依赖于参数S公司，它对应于没有相互作用的层的同相相互运动的最低振荡模式。晶格内共振轮廓、LPW方向和波在层中的传播模式在质量上与单晶格中的相同。以下为共振频率：

（a）
双层包装(S公司 = 2). 第二个频率 $ω_{2} = \sqrt{4 + 2 γ}$ ，确定了层在静止模式下的均匀反向振动：该系统等效于刚度为2的弹性地基上的单个晶格γ.
（b）
三层包装(S公司 = 3). 在第二频率的站立模式下 $ω_{2} = \sqrt{4 + γ}$ ，内层保持不动，而两个外层以相同（绝对值）的振幅反相振荡：振幅比 ${({u个}_{米, n个, 1} / {u个}_{米, n个, 2} / {u个}_{米, n个, 三})}_{ω_{2}} = 1 / 0 / - 1$ 实现。频率 $ω_{三} = \sqrt{4 + 三 γ}$ 结果如下： ${({u个}_{米, n个, 1} / {u个}_{米, n个, 2} / {u个}_{米, n个, 三})}_{ω_{三}} = - 1 / 2 / - 1$ .

三层封装各向同性晶格中瞬态问题（2.4）的计算机模拟的一些结果(γ = 1）如下所示。这些例子显示了振动和星形结构的发展，这是由位于其中一个晶格原点（0,0）的点力引起的，并且具有共振频率， $ω = ω_{2} = \sqrt{5}$ 或 $ω = ω_{三} = \sqrt{7}$ 节点（20,20,1）（20,20.2）和（20,203）的振荡如所示图4（在那里 $问_{1} = 三罪 ω_{2} t吨$ 和 $问_{2} = 问_{三} = 0,$ 其中系数3设置为问₁便于将定量结果与单晶格的结果进行比较）。

在单独的窗口中打开

图4。

外晶格共振激励下三层晶格包的振动(秒 = 1). （彩色在线版。）

这种情况下形成的波型快照可参见图5（第一季度m、 n个显示了平面；我们记得，正如引言中所定义的那样Z轴_锰是星形图案中振幅的边界比）。外晶格中反相振荡的共振增长(秒 = 1和秒 = 3）检测到，而内晶格中的振荡水平仍然小于上述模态分析预测的 $ω = ω_{2} = \sqrt{5}$ .内格子(秒 = 2）传递来自加载的外部晶格的振荡(秒 = 1）到第二个外格子(秒 = 3），激发后外晶格的振幅相对较大，实现了星形局部化。

在单独的窗口中打开

图5。

快照(t吨 = 200）外晶格载荷下三层晶格中的星形图案(秒 = 1）具有共振频率 $ω_{2} = \sqrt{5}$ 。水平轮廓对应于Z轴_锰 < 0.2（曲线1）、0.1（2）和0.05（3）。晶格原点处的最大振幅秒 = 表示1、2和3U型₁,U型₂和U型_三分别是。

第二个例子是内晶格的共振载荷： $问_{2} = 三罪 ω_{三} t吨 (ω_{三} = \sqrt{7}), 问_{1} = 问_{三} = 0$ 。中显示的快照图6拍摄于t吨 = 200.在这种情况下，外晶格处于同相振荡状态。动力学的定性特性可以通过以下站立模式的分析来预测。注意，外格子中的星形花瓣可以检测到更大的扩张。

在单独的窗口中打开

图6。

快照(t吨 = 200）在谐振频率下加载内晶格时三层晶格中的形状图案 $ω_{三} = \sqrt{7}$ 水平曲线对应于Z轴_锰 < 0.2（曲线1）、0.1（2）和0.05（3）。

三。六角格子

（a）色散图案

考虑节点处材料颗粒的均匀六角格子（HCL）(m、 n个), $米, n个 = 0, \pm 1, \pm 2, \dots,$ 由弹性无质量键连接(图7). 我们使用离散菱形笛卡尔坐标米,n个与连续直角坐标一起x个,年如上所述，我们考虑晶格的平面外振荡。它的生成元素是菱形细胞[m、 n个]，以坐标线为界m、 n，m个 + 1和n个 + 1.它由两个节点组成，表示其位移u个和v（v）. Thev（v）-节点位于坐标线的交点处米和n个，而u个-节点（用黑色圆圈表示）位于相应的v（v）-节点。每个v（v）-节点连接到最近的三个u个-节点，同样，每个节点u个-节点连接到最近的三个v（v）-节点。这种结构导致存在两种振荡模式。

在单独的窗口中打开

图7。

六角形格子。（彩色在线版。）

将相邻两个节点之间的距离、质点质量和连接键的刚度作为测量单位：M（M） = 克 = 一 = 1.然后，考虑到细胞几何形状，六角形晶格中排列的粒子的横向运动由以下系统描述：

\begin{aligned} {\ddot{u个}}_{米, n个} & = {v（v）}_{米, n个} + {v（v）}_{米, n个 - 1} + {v（v）}_{米 - 1, n个} - 三 {u个}_{米, n个} \\ 和 {\ddot{v（v）}}_{米, n个} & = {u个}_{米, n个} + {u个}_{米, n个 + 1} + {u个}_{米 + 1, n个} - 三 {v（v）}_{米, n个} \end{aligned}}

3.1

假设（3.1）的调和解是平面波的传统形式（inxy公司-平面）：

({u个}_{米, n个}, {v（v）}_{米, n个}) = (U型, V（V）) \cdot 经验 [我 (ω t吨 + n个 k个 \cdot 一_{1} + 米 k个 \cdot 一_{2})],

3.2

哪里 $一_{1} = \sqrt{三} / 2 \hat{x个} + 1 / 2 \hat{年}, 一_{2} = \sqrt{三} / 2 \hat{x个} - 1 / 2 \hat{年}$ ( $\hat{x个}$ 和 $\hat{年}$ 是单位向量）。

将（3.2）代入（3.1）后，我们得到了一个线性代数系统，其非平凡解决定了HCL的色散方程：

ω_{一、 二} = \sqrt{三 米 \sqrt{1 + 4 余弦 (\frac{{k个}_{年}}{2}) (余弦 ({k个}_{x个} \frac{\sqrt{三}}{2}) + 余弦 (\frac{{k个}_{年}}{2}))}},

3.3

其中，符号“–”和“+”对应于第一个I（声学）和第二个II（光学）模式图8.

在单独的窗口中打开

图8。

声学模式I的HCL的色散面和等频轮廓(一)和光学模式II(b条). 粗体圆圈是轮廓的角点，其中群速度为零。空圆是连接曲面的CP。面板中的上圆b条( $ω = \sqrt{6}$ )是通过/停止带界面。（彩色在线版。）

注意，方程（3.3）表明模式之间没有完整的止动带：它们的色散面在四个位置连接，即所谓的圆锥点（CP），通过等式得到 $ω_{我} = ω_{二}$ CP的坐标为 $[{k个}_{x个}, {k个}_{年}] = [\pm 2 π / \sqrt{三}, \pm 2 π / 三]$ 、和 $ω_{C类 P（P）} = \sqrt{三}$ 是CP频率。重点 ${k个}_{x个} = {k个}_{年} = 0$ 确定谐振频率 $ω = \sqrt{6}$ （面板中的上部圆圈b条)划定了传递带( $ω < \sqrt{6}$ )和止动带( $ω > \sqrt{6}$ ). 为了根据频率和波矢评估能量流参数，我们从（3.3）中获得了群速度的绝对值x个-和年-投影及其方向β以下为：

\begin{aligned} \begin{aligned} {({c（c）}_{克, x个})}_{一、 二} = \frac{\sqrt{三} 余弦 ({k个}_{年} / 2) 罪 (\sqrt{三} {k个}_{x个} / 2)}{2 ω_{一、 二} 直径 ({k个}_{x个}, {k个}_{年})}, {({c（c）}_{克, 年})}_{I、 二} = \frac{罪 ({k个}_{年} / 2) 余弦 (\sqrt{三} {k个}_{x个} / 2) + 罪 ({k个}_{年})}{2 ω_{一、 二} 直径 ({k个}_{x个}, {k个}_{年})}, \\ (直径 ({k个}_{x个}, {k个}_{年}) = \sqrt{1 + 4 余弦 (\frac{{k个}_{年}}{2}) [余弦 ({k个}_{x个} \frac{\sqrt{三}}{2}) + 余弦 (\frac{{k个}_{年}}{2})]}), | {c（c）}_{克} |_{一、 二} = \sqrt{{({c（c）}_{克, x个})}_{一、 二}^{2} + {({c（c）}_{克, x个})}_{一、 二}^{2}}, \\ β_{一、 二} = 阿尔坦 [三 {余弦}^{2} (\frac{{k个}_{年}}{2}) 罪^{2} (\frac{\sqrt{三} {k个}_{x个}}{2})] / [罪 (\frac{{k个}_{年}}{2}) 余弦 (\frac{\sqrt{三} {k个}_{x个}}{2}) + 罪 ({k个}_{年})] . \end{aligned}} \end{aligned}

3.4

考虑等频率轮廓 $[{k个}_{年} = \pm π \cup {k个}_{年} = \pm 2 π \pm \sqrt{三} {k个}_{x个} (- π \leq {k个}_{x个} \leq π)]$ 在 $ω = \sqrt{2}$ ，这是特别有趣的。相应的群速度为

\begin{aligned} {k个}_{年} = \pm π & \Rightarrow | {c（c）}_{克} |_{一、 二} = \frac{α_{一、 二} | 余弦 (\sqrt{三} {k个}_{x个} / 2) |}{4}, β = \pm \frac{π}{2} \\ {k个}_{年} = \pm 2 π \mp \sqrt{三} {k个}_{x个} & \Rightarrow | {c（c）}_{克} |_{一、 二} = \frac{α_{一、 二} | 罪 \sqrt{三} {k个}_{x个} |}{4}, β = \pm \frac{π}{6} \\ (α_{我} = \sqrt{2,} α_{二} = 1) . \end{aligned}}

3.5

模式II的群速度与模式I的群速度方向相反，而它们的绝对值相差一个因数 $\sqrt{2}$ 如上所述k个_x个-,k个_年-平面与LPW的方向一致。

考虑中所示的频带图9一. The particles of theu个-和v（v）-根据模式I的振荡形式，每个电池族同相振荡（用相同的符号表示）。同相但符号相反的粒子u个和v（v）在邻近的细胞中振荡。两个相邻对对中间黑色粒子的作用是自平衡的，因此后者可以处于静止状态。在所考虑的情况下，细胞的振荡频率为 $ω_{我} = \sqrt{4 克 / 2 M（M）} = \sqrt{2}$ （召回，克和M（M）是测量单位）。

在单独的窗口中打开

图9。

模式I的LPW(一)和模式II(b条); 能量通量方向β(c（c）).

适用于模式II固有反相振荡的类似考虑(图9b条)允许获得相应的LPW频率： $ω_{二} = \sqrt{4 克 / M（M）} = 2$ （在这种情况下，总刚度等于4：连接运动粒子与不运动粒子的两个键的总刚度为2，连接运动粒子的半键的刚度也为2）。LPW方向如所示图9c（c）除LPW外，还存在特殊的振荡形式，其中 $u个 (v（v）)$ -这个家庭是固定的，而邻近的 $v（v） (u个)$ -家族在反相中振荡。此表单具有CP频率。最后，我们注意到相邻粒子发生反相振荡的特殊形式。这种形式的频率是通过/停止带界面： $ω = \sqrt{6}$ 后一种情况是MSC中最简单的反相谐振振荡的模拟，其中频率 $ω = 2$ 划分通过带和停止带。

（b）非稳态动力学

HCL的一些计算机模拟结果如下图所示图1010和和11。11.在强制激励的情况下进行了计算，粒子的位置 ${u个}_{0, 0}$ 与直角坐标原点相关x个 = 年 = 0.的信封 ${u个}_{米, n个}$ – $| {U型}_{米, n个} |$ 和 ${v（v）}_{米, n个}$ – $| {V（V）}_{米, n个} |$ ，如所示图10，对应于编号为1的两个单元格 – (m、 n个) = （23.0）和2 – (m、 n个) = (–15, 26). 它们是在共振频率下获得的 $ω = \sqrt{2}$ 和ω = 2.在直角坐标系中， $(x个, 年) \approx (35, 20)$ 单元格1和 $(x个, 年) \approx (16.5, - 35.5)$ 单元2的距离几乎相同， $d日 \approx 40$ 来源；细胞1位于共振射线中 $(β = π / 6)$ 而细胞2大约位于两条共振射线的中间 $β = π / 6$ 和 $β = π / 2$ .单元格3中粒子振荡的包络线： $(米, n个) = (7, 0)$ 以及单元4： $(米, n个) = (- 5, 8)$ 距离几乎相同， $d日 \approx 12$ ，对应于通带/阻带交叉频率 $ω = \sqrt{6}$ .

共振频率下不同节点的振荡包络。

在共振频率（运动激励）下，HCL中的星形定位模式：(一)模式I( $ω = \sqrt{2}$ )和(b条)模式II( $ω = 2$ )在 $t吨 = 400$ 在等高线外，节点的最大位移保持在原点最大值的10%以下。

注意，上述LPW图案也是在对称方向上实现的（相对于晶格结构）。给出的结果以及其他计算结果可以得出以下结论：

1
相对较长的波没有首选的传播方向（达到接近第一共振的值， $ω = \sqrt{2}$ )则不会出现晶格结构的影响，且波会像在相应的有效均匀固体中一样传播。相对较快地达到稳定状态。
2
在共振频率下，波形发生剧烈变化 $ω = \sqrt{2}$ 与模式I的LPW相关：检测到星瓣内振幅的增长和中间区域的微弱响应。
三。
模式II的LPW谐振频率， $ω = 2$ ，导致与模式I几乎相同的波型。一个不同之处是，根据（3.5）中所示的色散模式，主要扰动以延迟到达观测点（与以下结果相比 $ω = \sqrt{2}$ ) .
4
频率标定通带和阻带激发的长波共振振幅， $ω = \sqrt{6}$ ，相对缓慢地增加，一旦扰动到达参考点，就会检测到共振模式。

在图11给出了波过程的星型局部化模式。有趣的是，在模式II的情况下，波束更明显。我们无法找到这种现象的解释。

4 非均匀格子中的波型计算实例

在本节中，我们将描述对节点中具有确定性或随机块状夹杂物（以下解释为缺陷）的非均匀SCL的局部谐波负载的非稳态波响应的计算机模拟的一些结果。这种结构的色散特性无法通过分析获得，这里不存在LPW，也不可能对波现象进行任何合理的预测。然而，我们可以尝试从数值上研究感兴趣的特定问题，并在此基础上获得所需的估计。考虑到这一点，我们模拟了局部谐波源激发的波过程ω = 2，导致SCL中出现明显的共振放大动力学。

我们的目的是揭示与上述统一格中的图案相比的相似性和差异性。

（a）对称缺陷组

考虑由四个相同质量的粒子组成的对称缺陷组M（M）.让第一组的四个群众(G公司₁)位于节点中 $\pm 米 = 第页, n个 = 0$ 和 $米 = 0, \pm n个 = 第页$ 在坐标轴上（轴上的“缺陷”），以及第二组的四个质量(G公司₂)-在主对角线处： $\pm 米 = \pm n个 = 第页$ （对角线处的“缺陷”）。

考虑到正方形格子中共振波模式的对角线局部化，在考虑到前者的影响最小，而后者的影响最大的情况下，选择了上述组的对称性和位置。当然，结果将取决于问题的自由参数值，即质量M（M）和距离第页如果质量不太大，距离第页如果离震源点不太近，那么共振波的某些痕迹就会显现出来。这些轨迹的寿命及其对后续波过程的影响可能有助于回答一个问题：在实际问题中，什么时候应该考虑共振局部化？

计算表明，如果参数 $M（M） \geq 2$ 和 $第页 \leq 4$ （对于任何一个被考虑的群体），则在该过程的早期阶段，共振放大模式很快被打破，但如果这些不等式中至少有一个不满足，情况发生了巨大的变化：在相对较长的时间内，传播的扰动的空间结构变得像在均匀晶格中看到的那样。中所示的示例图12与具有群缺陷的格有关G公司₁面板(一)和G公司₂面板(b条)具有相同参数M（M） = 3和第页 = 7

在单独的窗口中打开

图12。

快照位于 $t吨 = 400$ 运动源频率激发的缺陷群晶格中的波型 $ω = 2$ 以下为：(一)组G公司₁(M（M） = 三，第页 = 7）轴上有缺陷(b条)组G公司₂具有相同参数的缺陷(M（M） = 三，第页 = 7）位于主对角线。在面板内，左侧的水平轮廓描绘了Z轴_锰 < 0.05; 最大震级的3D图像显示在右侧（图像外的振幅小于原点最大值的5%）。（彩色在线版。）

对于组G公司₁（缺陷位于轴上），与均匀晶格的差异几乎不明显，而这种差异在组中可以检测到G公司₂（缺陷位于对角线上），如上所述。然而，到目前为止，仍存在准共振生长和轻微偏离的星形模式 $t吨 \approx 600$ .

在对角线（组）中存在缺陷时，发现了一个令人惊讶的模式G公司₂)：除了主对角线区域的局部化（同质晶格中）外，还出现了一种三对角局部化模式，如面板中所示，有两条外对角线（相对于主对角线上对称）(b条). 模拟表明，在许多实验中都显示了这种三对角模式，其中参数M（M）和第页在很宽的间隔内变化（外对角线之间的距离取决于这些参数）。何时M（M）随着时间的推移，三对角结构被破坏，而单对角状态仍然存在。

星瓣的三叉结构示例如所示图13其中水平曲线Z轴_锰 < 0.1 (t吨 = 200）的三个值第页(第页 = 5、10和20）和 $M（M） \to \infty$ 这相当于具有“缺陷”的不动节点。因此，对于参数第页，条件u个_聚丙烯 = 0已添加到仿真中。该条件决定了所考虑缺陷对定位效果的最大影响。原点最大振幅U型_最大值图中可以看到快照时探测到的最长恒星射线的坐标。我们可以看到，如果第页 = 20.这里出现的问题——为什么以及如何形成这样的配置，以及如何预测新对角线光束之间的距离——我们留给未来的研究。

在单独的窗口中打开

图13。

描述的水平轮廓快照Z轴_锰 < 0.1 (t吨 = 200）在具有固定节点系统的晶格中第页 = 5、10和20（以黑体圆圈显示）。运动源具有频率 $ω = 2$ .值U型_最大值是原点的最大震级。花瓣末端的坐标显示在每个轮廓的右上角。（彩色在线版。）

图形中水平轮廓的比较图1212和和1313SCL轮廓(图2)可以直观地显示它们的相似性和差异性。

（b）随机缺陷

考虑一个具有随机分布质量的方形质量弹簧晶格。与前面的问题一样，在共振频率的运动谐波激励下，对非稳态问题进行了计算机模拟ω = 2对应于均匀晶格。

伪高斯分布用于设置质量值M（M）在晶格节点中：

M（M） (Δ M（M）, σ) = 1 + σ Φ^{- 1} [Φ (- α) + N个 (Φ (α) - Φ (- α))], α = \frac{Δ M（M）}{σ}

4.1

哪里σ是标准偏差， $[- Δ M（M）, Δ M（M）]$ 是范围， $Φ (x个) = (1 / \sqrt{2 π}) \int_{- \infty}^{x个} {电子}^{- {t吨}^{2} / 2} d日 t吨$ 是分布函数，以及N个是间隔（0,1）内均匀分布的数字。

在中给出的波型示例中图14，使用以下参数：(一)σ = 0.02, ΔM（M） = 0.1和(b条)σ = 0.05, ΔM（M） = 0.2.

在单独的窗口中打开

图14。

节点中质量随机分布的晶格中的空间模式配置。

由于没有对称状态图14对于晶格占据的整个平面，使用以下结果表示代替水平轮廓：打印节点坐标（用点表示），其中扰动振幅大于或等于原点到当前时间最大振幅的10%。

计算表明，在第一种偏差和范围相对较小的情况下，共振星型局部化在很长一段时间内与均匀晶格中的局部化保持相似，而在第二种情况下，这种模式是不稳定的，随着时间的推移不断破坏。

5 结论

1
研究了质量弹簧晶格在简谐激励点处共振波的发展和空间局部化形式的产生。
2
揭示并描述了方形格子三维封装中的振荡模式、共振频率和不同的波形。
三。
详细讨论了六角形晶格的所得结果。描述了生产线LPW。有趣的是，对于声学和光学模式，发现了相同的LPW。在共振情况下，计算非稳态振荡模式，以获得增长扰动的定量特征。
4
对由缺陷组成的非均匀方格点阵中的波过程进行了计算机模拟并进行了讨论。对于某些类型的缺陷，我们发现了一个令人惊讶的结果，即出现了稳定的三对角局部化，而不是在齐次晶格中看到的主对角线局部化。

致谢

作者感谢Slepyan对工作的关注和有益的讨论。作者也非常感谢评论员的评论和建议。

数据可访问性

本文没有其他数据。

竞争性利益

我们声明，我们没有相互竞争的利益。

基金

M.V.A.承认以色列科学基金会（批准号：504/08）的支持。

工具书类

1斯莱皮安·李。1966运动载荷作用下板壳的共振现象1966年1月21日至26日，莫斯科国立大学，第六届全国会议：板壳理论俄罗斯莫斯科：瑙卡。[俄语][谷歌学者]

2斯莱皮安·李。1972非定常弹性波，374便士苏丹：列宁格勒；[俄语][谷歌学者]

三。艾森伯格MV。1969空心圆柱中的共振波.机械。固体 4，84–90。[谷歌学者]

4阿卜杜卡迪罗夫S。1980弹性介质包围圆柱层中的低频共振波.采矿科学杂志。三43–47.[谷歌学者]

5Alexandrova NI、Potashnikov IA、Stepanenko MV。1989移动载荷作用下圆柱壳中的弯曲共振波.J.应用。机械。技术物理。 19132–137. （10.1007/BF00850770）[交叉参考][谷歌学者]

6阿卜杜卡迪罗夫S。2018移动载荷作用下结构弹性半空间的动力学.进行中。第十届国际会议主委。2018年8月20日至24日，以色列阿里尔大学，技术建模（MMT-2018），第三卷第27-39页。以色列：阿里尔。[谷歌学者]

7Abdukadirov公司。1981地震荷载作用下复杂细长结构的波动动力学博士论文，苏联西伯利亚流体动力学研究所。新西伯利亚。[俄语][谷歌学者]

8Tsareva OV公司。1986结构介质对简谐激励的响应.采矿科学杂志。 23, 352–362.[谷歌学者]

9Slepyan LI，Tsareva OV。1987行波零群速度的能量通量. 苏联。物理学。多克拉迪。 32, 522–526.[谷歌学者]

10Sigalas MM，英格兰Economou。1993二维弹性波的能带结构.固态通讯。 86, 141–143. （10.1016/0038-1098（93）90888-T）[交叉参考][谷歌学者]

11Kushwaha理学硕士、Halevi P、Martinez G、Dobrzynski L、Djafari-Rouhani B。1994周期弹性复合材料的声带结构理论.物理学。版本B 49，2313–2322。（10.1103/物理修订版B.49.2313）[公共医学][交叉参考][谷歌学者]

12米德DJ。1996连续周期结构中的波传播：南安普敦1964-1995年的研究贡献.J.声音振动。 190, 495–524. （10.1006/jsvi.1996.0076）[交叉参考][谷歌学者]

13铃木T，Yu PKL。1998三维周期弹性介质中的复杂弹性波带结构.J.机械。物理学。固体 46, 115–138. （10.1016/S0022-5096（97）00023-9）[交叉参考][谷歌学者]

14Poulton CG、Movchan AB、McPhedran RC、Nicorovici NA、Antipov YA。2000双周期结构和声子带隙的特征值问题.程序。R.Soc.伦敦。A类 457, 2561–2568. （10.1098/rspa.2000.0624）[交叉参考][谷歌学者]

15Jensen JS公司。2003一维和二维质量弹簧结构中的声子带隙和振动. J.声音振动。 226, 1053–1078. （10.1016/S0022-460X（02）01629-2）[交叉参考][谷歌学者]

16Martinsson PG，Movchan AB公司。2003晶格结构的振动和声子带隙.夸脱。J.机械。申请。数学。 56, 45–64. （10.1093/qjmam/56.1.45）[交叉参考][谷歌学者]

17碧玉T。2012蜂窝夹芯板中弹性波传播的数值模拟博士论文，其他。巴黎中央学院：(https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01064030/document网站)[谷歌学者]

18兰利RS。1996二维周期结构对点谐强迫的响应.J.声音振动。 197, 447–469. （10.1006/jsvi.1996.0542）[交叉参考][谷歌学者]

19Osharovich G、Ayzenberg-Stepanenko M、Tsareva O。2010受局部谐波载荷作用的弹性晶格中的波传播。I.一个准一维问题.J.连续体力学。热量。 22, 581–597. （10.1007/s00161-010-0152-y）[交叉参考][谷歌学者]

20弗吉尼亚州Saraikin，Stepanenko MV，Tsareva OV。1988块体结构介质中的弹性波.采矿科学杂志。 25, 14–23.[谷歌学者]

21Ayzenberg-Stepanenko MV，Slepyan LI。2008晶格中的共振频率原始波形和星形波.J.声音振动。 313, 812–821. （10.1016/j.jsv.2007.11.047）[交叉参考][谷歌学者]

22Goffaux C、Vigneron JP。2001气泡液体中声波的空间俘获.物理B Condens。物质 296, 195–200. （10.1016/S0921-4526（00）00800-0）[交叉参考][谷歌学者]

23Ruzzene M、Soranna F、Scarpa F。2003二维蜂窝结构中的波束效应.聪明的母亲。结构。 12, 363–372. ( 10.1088/0964-1726/12/3/307) [交叉参考][谷歌学者]

24Chigrin DN、Enoch S、Torres CMS、Tayeb G。2003二维光子晶体中的自导引.选择。快递 11, 1203–1211. （10.1364/OE.11.001203）[公共医学][交叉参考][谷歌学者]

25Osharovich G、Ayzenberg-Stepanenko M、Tsareva O。2010受局部谐波载荷作用的弹性晶格中的波传播。二、。二维问题.J.连续体力学。热力学 22599–616. （10.1007/s00161-010-0164-7）[交叉参考][谷歌学者]

26Colquit DJ、Jones IS、Movchan NV、Movcan AB、McPhedran RC。2012弹性晶格系统的动态各向异性和局部化.波随机复杂介质 22, 143–159. ( 10.1080/17455030.2011.633940) [交叉参考][谷歌学者]

27Movchan AB，Slepyan LI。2014弹性结构介质中的共振波：动态均匀化与格林函数.国际固体结构杂志。 15, 2254–2260. （2016年10月10日/j.ijsolstr.2014.03.015）[交叉参考][谷歌学者]

28Slepyan LI，Ayzenberg-Stepanenko MV。2004双稳态键晶格中的局域跃迁波。 J.机械。物理学。固体 52, 1447–1479. （10.1016/j.jmps.2004.01.008）[交叉参考][谷歌学者]

29Movchan AB、Slepyan LI。2007带隙格林函数与局域振荡.程序。R.Soc.A公司 463, 2709–2727. （10.1098/rspa.2007.007）[交叉参考][谷歌学者]

30Mishuris GS、Movchan AB、Slepyan LI。2007非均匀晶格结构中的波和断裂.波随机复杂介质 17, 409–428. ( 10.1080/17455030701459910) [交叉参考][谷歌学者]

31Mishuris GS、Movchan AB、Slepyan LI。2008从离散晶格中动态提取单链.J.机械。物理学。固体 56, 487–495. （10.1016/j.jmps.2007.05.020）[交叉参考][谷歌学者]

32Mishuris GS、Movchan AB、Slepyan LI。2009结构化界面中的局部刀波，J型 . 机械。物理学。固体 57, 1958–1979. （2016年10月10日/j.jmps.2009.08.004）[交叉参考][谷歌学者]

33Colquitt DJ、Jones IS、Movchan NV、Movchan AB。2011微结构材料中弹性波的色散和局部化.程序。R.Soc.A公司 467, 2874–2895. （10.1098/rspa.2011.0126）[交叉参考][谷歌学者]

34Osharovich G，Ayzenberg-Stepanenko M。2012分层方形格子中的波局部化。反平面问题.J.声音振动。 3311378–1397. （10.1016/j.jsv.2011.11.009）[交叉参考][谷歌学者]

35Colquitt DJ、Craster RV、Makwana M。2015弹性晶格的高频均匀化.Q.J.机械。申请。数学。 68, 203–230. （10.1093/qjmam/hbv005）[交叉参考][谷歌学者]

36Movchan AB、Movchan-NV、Jones IS、Colquit DJ。2017多尺度结构介质中波浪的数学模拟，第248页佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社。[谷歌学者]

文章来自哲学交易。数学、物理和工程科学系列A由以下人员提供英国皇家学会

晶格中的共振波和局部化现象

萨杜拉·阿卜杜卡迪罗夫

Mark V.Ayzenberg-Stepanenko公司

格雷戈里·奥沙罗维奇

关联数据

摘要

1 介绍

2 3D晶格包

三。 六角格子

（a） 色散图案

（b） 非稳态动力学

4 非均匀格子中的波型计算实例

（a） 对称缺陷组

（b） 随机缺陷

5 结论

致谢

数据可访问性

竞争性利益

基金

工具书类

三。六角格子

（a）色散图案

（b）非稳态动力学

（a）对称缺陷组

（b）随机缺陷