SplitEM：一种带有后缀跳过的泛基因组分析图形算法

1.2问题定义

序列的de Bruijn图表示包含每个不同长度的节点k个子字符串，称为k个-梅尔。两个节点通过定向边连接u个 → v（v）对于每个实例k个-mer表示为v（v）发生在k个-mer表示为u个在序列中的任何位置。换句话说，如果u个发生在位置我和v（v）发生在位置我+ 1. 通过构造，相邻节点将重叠k个–1个字符，图形可以包括连接同一对节点的多条边或表示重叠串联重复的自循环。de Bruijn图的这种定义不同于数学文献中描述的传统定义，后者要求图包含所有长度-k个可以由字母组成的字符串，而不仅仅是序列中的字符串。本文中使用的de Bruijn图的公式在序列组装文献中常用，我们遵循相同的约定(金斯福德等。, 2010). 值得注意的是，在将其分解为k个-图的mers对应于通过de Bruijn图的欧拉路径，每个边只访问一次。在泛基因组的情况下，我们首先将由末端字符分隔的单个基因组连接在一起，并丢弃跨越末端字符的任何节点或边。节点被着色以指示节点起源于哪个基因组，这样每个单独的基因组都可以用颜色一致的节点来表示。

通过将节点的非分支链合并为具有较长序列的单个节点，可以“压缩”de Bruijn图。假设节点u个是节点的唯一前身v（v）和v（v）是的唯一继承人u个因此，通过合并u个按照以下顺序v（v）到具有前身的单个节点中u个及其继承人v（v）.最大化压缩图后，每个节点将在一个“分支点”处终止，这意味着每个节点的入度≥2或其单个前置节点的出度≥2，每个节点的出级≥2或它的单个后继节点的入级≥2。压缩deBruijn图中的节点数最少，压缩图中的路径标签与未压缩图中相同(金斯福德等。, 2010). 这样，泛基因组的压缩de Bruijn图将在序列之间的边界处自然分支，这些序列在种群中的共享量不同。

压缩的deBruijn图通常是从未压缩的对应图构建的，因此需要初始构造和存储更大的图。在极限情况下，基本构造算法可能需要构造和压缩n个节点，而我们将直接输出单个节点。实际上，实际基因组数据的压缩图通常比未压缩图小几个数量级，尽管确切的节省取决于数据。

在本文中，我们提出了一种创新的算法，该算法通过利用压缩de Bruijn图和序列后缀树之间的关系直接构造压缩de Bruijn图。我们的算法总体上实现了O（运行）(n个日志⁡克)全长输入序列的时间和空间复杂度n个基因组长度最长克因此，对于将splitMEM应用于一组相似大小的基因组的典型应用，运行时间与基因组总数呈线性关系（第3.1节）。或者，我们也在补充材料从长度≥的精确自对齐集构造压缩de Bruijn图k个在基因组中。基于对齐的算法依次考虑每个对齐，并在发现对齐相互重叠时分解图节点以表示较小的子串。最坏的情况是，基因组中成对比对的数量可能是二次的。这两种算法具有相同的基本直觉，更快的后缀树方法是受基于对齐的算法的启发。

1.3后缀树、后缀数组和最大精确匹配

后缀树是一种数据结构，有助于线性时间解决计算生物学中的许多常见问题，例如基因组比对、寻找基因组中最长的公共子串、全对后缀-前缀匹配和定位所有最大重复(古斯菲尔德，1997). 它是一个紧凑的trie，表示底层文本的所有后缀。的后缀树T型= t吨₁t吨₂ ⋯ t吨_n个是一棵有根的定向树n个叶子，每个后缀一个。在构造后缀树之前，将一个特殊字符“$”附加到字符串中，以确保每个后缀都以树中的一片叶子结尾。除根节点外，每个内部节点都至少有两个子节点。每个边都标记有一个非空的子字符串T型节点的两条边都不能以相同的字符开头。从根到叶的路径我拼写后缀T型[我…n个].

后缀树可以相对于它所表示的字符串在线性时间和空间中构造(Ukkonen，1995年). 后缀链接是一种实现技术，它支持线性时间和空间后缀树构造算法。后缀链接有助于快速导航到树中较远但相关的部分。后缀链接是来自表示字符串的内部节点的指针x秒到另一个表示字符串的内部节点S公司，其中x个是单个字符，并且S公司可能是空字符串。

一种密切相关的数据结构，称为后缀数组，是1到范围内的整数数组n个指定的词典顺序n个字符串后缀T型。它可以在线性时间内从后缀树中获得T型通过执行深度优先遍历，按照边缘标签的词汇顺序遍历兄弟姐妹。(古斯菲尔德，1997)对于任何节点u个在后缀树中，子树的根位于u个在后缀数组中以连续的间隔为每个后缀包含一个叶。该间隔是从根到节点的路径标签开始的后缀集u个(卡赛等。, 2001).

最大精确匹配（MEM）是序列中的精确匹配，如果不引入不匹配，则无法将其扩展到左侧或右侧。根据构造，MEM是后缀树中的内部节点，具有左向后代，即表示后缀的叶子，这些后缀在序列中前面有不同的字符。因此，MEM节点可以通过树的自下而上遍历在线性时间内进行标识，跟踪每个节点处植根的子树叶之前的字符集。因为每个MEM都是后缀树中的内部节点，所以最多有n个长度字符串中的最大重复次数n个(古斯菲尔德，1997). 我们的算法通过分解MEM并提取长度≥k个。

2.1算法

splitMEM算法使用基因组的后缀树来高效计算repeatNodes（重复节点）它按照Ukkonen算法在线性时间内构建泛基因组的后缀树(Ukkonen，1995年). 然后标记后缀树的内部节点，表示长度≥的MEM（或最大重复）k个，在后缀树中使用MUMmer的线性时间技术(库尔茨等。, 2004)并对线性时间内的恒定时间最低标记祖先（LMA）查询的后缀树进行预处理。然后它构造了一组repeatNodes（重复节点）通过迭代MEM集合_≥k个在后缀树中。

挑战在于确定MEM共享的区域_≥k个s和分解MEM_≥k个s转换为正确的repeatNodes（重复节点）.如果米₁和米₂是MEM_≥k个s和米₁发生在米₂，然后米₁是某个后缀的前缀米₂因此，splitMEM可以使用后缀链接迭代米₂与LMA查询一起查找最长的MEM_≥k个s出现在每个后缀的开头。每个MEM细分为repeatNodes（重复节点）一次，提取任何嵌入式MEM而不进行检查。因此，在多个MEM之间共享的子序列只分解一次。我们描述了一种构造repeatNodes（重复节点）第2.2节。

例如，图3显示MEM的情况_≥k个包含另一个MEM_≥k个里面。两个新的重复节点为创建x个年z（z）αβ一个是第一个后面的前缀k个–1个字符，共α（显示为“α)另一个是以最后一个开头的后缀k个–1个字符，共α（显示为α’). 较小的MEM_≥k个 α单独处理。

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图3。

基因组后缀树的一部分（左）与压缩de Bruijn图的相应部分（右）。后缀树和后缀链接中的两个MEM，用于将较大的MEM分解为至少三个重复节点，右侧图形中的紫色节点。x、 y和z是字符。α,β和γ是字符串。后缀链接显示为红色

MEM在基因组中出现的位置，以及MEM的起始位置repeatNodes（重复节点），可以通过考虑从内部节点到子树中每个叶子的距离以及它们所代表的基因组间隔来快速计算。为了提高计算效率，我们为pan-genome构建了一个后缀数组，并将其对应的间隔存储在每个后缀树节点的后缀数组中。

一旦算法计算出所有repeatNodes（重复节点），它对每个节点中出现的基因组起始位置集进行排序，以便在一次遍历该列表的过程中在它们之间构建必要的边集。它还创建唯一节点以弥合相邻之间的任何间隙repeatNodes（重复节点）在排序列表中。它通过遍历存储在每个节点中的startPos开始位置的排序列表来实现这一点。假设startPos[我] = 秒.它计算连续的开始位置，succ_我，来自秒以及包含秒.如果成功_我是现有节点的起始位置，它必须位于我+排序列表中的1，并且不能出现在中继器节点.如果启动位置[我+1]是一个不同的值，算法创建一个唯一节点缩小startPos之间的差距[我]和startPos[我+ 1]. 然后创建一条边以连接起始位置秒无论是在repeatNode（重复节点）或a唯一节点。如果唯一节点创建后，它还创建了一条边来连接新的唯一节点致startPos的继任者[我+ 1].

所有MEM的总长度在基因组中可以是二次的。然而，算法1的总时间复杂度取决于所有重复节点的总长度，该长度受基因组大小的限制。算法1运行O（运行）(n个日志⁡克)时间和O（运行）(n个+ |CD类G公司|)空间，其中|CD类G公司|是压缩de Bruijn图的大小。我们在下一小节中描述了一种技术，它使算法1能够实现这种时间复杂性。

作者想感谢史蒂文·斯基纳、阿特·德切尔、亚当·菲利普、科尔·特拉内尔、米海·波普和史蒂文·萨尔茨伯格为这项工作所做的有益讨论。

基金：该项目得到了美国国立卫生研究院奖的部分支持[R01-HG006677型]和国家科学基金会奖[DBI-126383号; 和DBI-1350041号文件致M.C.S。

利益冲突：未声明。