基于评论中表达的兴趣前一篇文章，我现在正式提议发起“Polymath项目“关于获取新上界的主题德布鲁因-纽曼常数 {\Lambda}该职位的目的是描述提案并讨论项目的范围和参数。

德布鲁因介绍了一个家庭｛H_t:｛\bf C｝\右箭头｛\bf C｝｝每个实数的整个函数{t}（t），由公式定义

\显示样式H_t（z）：=\int_0^\infty e^{tu^2}\Phi（u）\cos（zu）\du

哪里{\Phi}是超指数衰减函数

\显示样式\Phi（u）：=\sum_{n=1}^\infty（2\pi^2n^4e^{9u}-3\pin^2e^{5u}）\exp（-\pin_2e^{4u}。

如中所述前一篇文章，黎曼假设等价于断言{H_0}都是真实的。

De Bruijn和纽曼表明存在一个真正的常数{\Lambda}–德布鲁因-纽曼常数–这样{高温}每当{t\geq\Lambda}，并且当{t<\Lambda}特别是，黎曼假设等价于上限{\Lambda\leq 0}。在相反的方向上{\Lambda}多年来获得的，最近一次是在我和Brad Rodgers的论文我们在那里展示的{\Lambda\geq 0}，一个猜想纽曼的.

至于上限，de Bruijn表示早在1950年{\Lambda\leq 1/2}自那时以来，唯一的进展是Ki、Kim和Lee2009年，世卫组织对此略有改善｛\Lambda＜1/2｝本Polymath项目的主要拟定目标是进一步明确改进{\Lambda}当然，如果我们可以将上限一直降到零，这将解决黎曼假设，但我认为这不是该项目的现实结果；相反，人们可以通过已知方法和数值方法合理地获得的上界在成就上与文献中存在的各种黎曼假设的数值验证相当（例如，第一个{无}对于各种较大的显式值，zeta函数的非平凡零点位于临界线上{无}).

除了主要目标外，还可以设想项目的一些相关次要目标，例如更好地理解（分析和数值）功能{高温}（或类似函数），以及这些函数零点的动力学。也许在这篇文章的讨论中会出现更多的潜在目标。

我认为对这个项目有一个合理的攻击计划，其进展如下。首先，有一些结果可以追溯到de Bruijn的原始工作，它们证明了{高温}被真正的路线所吸引{t}（t）增加；特别是，如果有人定义{\sigma{max}（t）}成为所有零的虚部的最高点{高温}，那么就知道这个量符合微分不等式

\显示样式\分形{d}{dt}\σ{max}（t）\leq-\分形{1}{σ{max}（t）}\\\\（1）

 

无论何时{\sigma{max}（t）}为正；此外，一次{\sigma{max}（t）=0}对一些人来说{t}（t），然后{\sigma_{max}（t'）=0}为所有人{t'>t}。我希望在未来的文章中解释这一点（这基本上是由于偏离实轴的零点对其复共轭的吸引力）。作为这个不等式的推论，我们有上限

\显示样式\Lambda\leq t+\frac{1}{2}\sigma{max}（t）^2\\\（2）

 

对于任何实数{t}（t）例如，因为黎曼-泽塔函数的所有非平凡零点都位于临界带中{{s:0\leq\mathrm{Re}s\leq1\}}，一个有{\sigma{max}（0）\leq 1}，插入时(2)给予{\Lambda\leq 1/2}.不平等(1)还提供{\sigma{max}（t）\leq\sqrt{1-2t}}为所有人｛0\leq t\leq 1/2｝如果我们能找到一些明确的{t}（t）之间{0}和{1/2}我们可以改进这个上限{\sigma{max}（t）}通过显式常量，这将导致上的新上界{\Lambda}.

第二Ki、Kim和Lee（基于对表达式中出现的各种术语的分析{高温})表明对于任何积极的{t}（t），几乎所有的零都是有限的{高温}是真实的（与{t=0}在这种情况下，关于临界线上zeta函数的非平凡零点的比例是否渐近等于{1}). 作为分析的关键一步，Ki、Kim和Lee表明{t>0}和{\varepsilon>0}，存在一个{T>0}这样所有的零{高温}至少包含实部{T}（T），最多有虚构部分{\varepsilon}Ki、Kim和Lee没有明确计算{T}（T）取决于{t}（t）和{\varepsilon}，但看起来这个界限可以生效。

如果是这样的话，这就表明了一种可能的策略，以获得一个新的上限{\Lambda}:

  • 选择好的参数{t，\varepsilon>0}.
  • 通过改进Ki-Kim-Lee分析，找到一个明确的{T}（T）这样所有的零{高温}至少包含实部{T}（T）最多有虚部｛\varepsilon｝.
  • 通过数值计算（例如使用变元原理），还可以验证{高温}实数部分介于{0}和{T}（T）最多有想象的部分{\varepsilon}.
  • 结合这些事实，我们得出{σ{最大}（t）\leq\varepsilon}; 希望能把这个插入(2)并获得新的上限{\Lambda}.

当然，也可能有其他策略达到上限{\Lambda}，我想这也是这个项目的一个合理讨论主题。

就博学项目而言，上述策略的一个吸引人之处在于，它自然地将项目划分为几个相互作用但合理独立的部分：一个分析部分，在该部分中，人们试图完善Ki-Kim-Lee分析（基于特定系列扩展中明确的上下边界各种术语{高温}–我可能会在稍后的帖子中详细说明这一点）；一个控制零的数字部分{高温}在一定的有限范围内；也许也是一个动态的部分，人们可以看到是否有办法改善不平等(2)例如，随着时间的推移，数字“团队”可能会为{高温}价值越来越大{T}（T）同时，分析“团队”可能会产生越来越小的价值{T}（T）除此之外，它们可以控制零，最终这两个边界会相遇，我们在上获得一个新的边界｛\Lambda｝将问题分解为较小的部分也是成功的一个特点Polymath8项目素数之间的有界间隙。

该项目在另一个方面也与Polymath8类似：有一种明显的方法可以用数字来衡量进度，方法是观察{\Lambda}随着时间的推移而减少（大概还有另一个衡量进展的指标，即我们可以控制的程度{T}（T）就{t}（t）和{\varepsilon}). 然而，在Polymath8中，进度的最终度量（上限{高}是一个自然数，因此不能无限期地减少。这里，界限将是一个实数，有可能最终会出现无限下降，随着时间的推移，进度会放慢，随着项目的进展，界限的数字会越来越小。正因为如此，我认为遵循最近的Polymath项目并为该项目设定一个截止日期是有意义的，例如在启动日期后一年，在此期间，我们将同意结束该项目，并（如果该项目足够成功）写下结果，除非当时达成一致意见延长该项目。（回想起来，我们可能应该对旧的Polymath项目设定类似的日落日期，其中一些项目多年来一直处于闲置状态，但这可能是另一次的讨论。）

一些Polymath项目以惊人的速度著称，这使得一些参与者很难跟上。很难控制这些事情，但我设想在这里有一个相对悠闲的项目，可能要花上上面提到的整整一年时间。例如，很可能随着项目的成熟，我们将在很大程度上等待冗长的数值计算结果的到来。当然，与之前的项目一样，我们将维护一些wiki页面（可能还有一些其他资源，例如代码库），以跟踪进度，并总结我们迄今为止所学的内容。例如，与之前的一些Polymath项目一样，我们可以从一些“在线阅读研讨会”开始其中，我们浏览了一些相关的文献（最明显的是Ki-Kim-Lee论文，但可能还有其他相关资源，例如可以想象关于相对湿度数值验证的文献是有价值的）。

人们还可以想象这个项目的一些附带结果，例如一种更有效的方法，为各种感兴趣的分析函数在数值上建立零自由区；特别是，除了这里提出的具体问题外，这个项目很可能会专注于数学的其他方面。

无论如何，我很想听听其他可能有兴趣参与或至少观察该项目的人的评论，特别是如果他们对项目的范围和方向有建议的话，以及组织结构（例如，是否应该从阅读研讨会开始，或对功能进行一些初步的数字探索{高温}人们也可以开始对项目本身的实际数学进行一些初步讨论，尽管（按照我希望的悠闲节奏），我预计数学活动的主要爆发将在稍后发生，项目正式启动后（使用wiki页面资源、专门针对项目特定方面的博客帖子等）。