在拓扑学中，两个形状何时相同？
当拓扑学家试图对形状进行分类时，其工作取决于如何定义流形以及两个流形相等意味着什么。
- 作者：Kevin Hartnett
- 2021年9月28日
S公司挑选一组形状是孩子们的游戏。这里是圆形，那里是方形，三角形在自己的堆里。
但如果你认真对待这项任务，你会发现它还有很多。事实上，数学中最大的分支学科之一——拓扑学正致力于这种努力，经过几个世纪的共同努力，数学家甚至还没有接近完成。
拓扑学家研究形状的一般形式的属性，称为流形。他们的动画目标是对它们进行分类。在这方面，有几个关键区别。流形到底是什么？当我们比较它们时，我们脑海中有什么相同的概念？
如果你发现自己在一个流形的表面上，你周围的空间就会显得平坦。事实上，这就是我们在地球上的经历。
以下是基本区别。
流形可以是任何维的形状，从零维点到一维线，再到二维表面（如球的表面），再到100维空间（及以上），这些空间很难描绘，但在数学上与其他空间一样真实。数学家研究它们是因为，除其他原因外，三维和四维流形提供了我们生活的背景。
“它们看起来就像我们生活的地方，地球或我们生活的空间。也许宇宙是一个有趣的流形，”他说玛吉·米勒，斯坦福大学博士后研究员。
所有流形的共同点是某种通用平面度。如果你发现自己在一个流形的表面上，你周围的空间就会显得平坦。事实上，这就是我们在地球上的经历。从它的表面——这是一个二维流形——你可以原谅（简单地说！）得出我们的星球是平的结论。
一般来说，流形的全局特征——比如它是像球体一样弯曲，还是像甜甜圈一样包含一个洞——无法从地面的视角来确定。除其他外，该定义排除了诸如两个圆锥体尖端接触的形状，如沙漏。如果你住在这个地方，你就会知道在小费汇合的地方发生了奇怪的事情。
一旦满足此平整度条件，歧管将分为三种基本类型。最简单的是“拓扑”流形。它有一个简单的特性，你可以在不抬起手指的情况下追踪整个事情。这意味着它是连续的，因为它没有从一个点到另一个点的突然跳跃。连续性已经是流形定义的一部分，因此所有流形都自动成为拓扑流形。
最复杂的类型是“平滑”流形。它具有拓扑流形的所有特征——平坦性、连续性——但它也有更多的东西。用手指穿过它，路径总是，嗯，平滑的：你永远不会像在拓扑流形上那样碰到突然的拐角。
这种均匀的平滑度有很大的影响。它允许您将唯一的切平面与平滑流形上的每个点关联，这意味着您可以对平滑流形执行微积分。
第三类流形在光骨拓扑流形和结构更高的光滑流形之间具有复杂性。它被称为分段线性流形，它有助于想象它由多边形瓷砖组成。与拓扑流形一样，分段线性流形也可以有角点，但分段结构限制了这些角点的出现位置：仅限于分片相交的顶点。
米勒说：“在拓扑流形中，角点的分离方式与在分段线性流形中的分离方式不同，我有一个小边来分隔角点。”。
Samuel Velasco/Quanta杂志分段线性流形在复杂性上介于拓扑流形和光滑流形之间，但它们也有点偏颇。拓扑中许多最重要的问题都涉及到拓扑流形和光滑流形之间的区别，而忽略了分段线性流形。它们在研究从5维到5维的高维流形时变得更加重要。
一旦你知道了流形是什么，你就可以开始问什么时候一个流形和另一个相同。
同一性的最基本概念称为同伦等价。当你可以将一个歧管拉伸、压缩和膨胀成另一个歧管的形状而不撕裂它时，这个标准认为两个歧管是相同的。
按照这个松散的标准，许多看起来完全不一样的形状都被认为是相同的：三维球（如棒球）同伦等价于一个点，因为你可以连续地将球变形到一个点而不需要将其撕裂。然而，甜甜圈并不是同伦等价的，因为它的中心有一个洞，无论你把它缩得多么紧，它都无法消除。
除了同伦等价之外，还有另外两个更复杂的相同性概念。每个流形对应不同类型的流形：一个用于拓扑流形，另一个用于光滑流形。每一部小说都有其相应的对等概念，这是有道理的：毕竟，你不会用同样的标准来比较小说中用来比较无脊椎动物的内容。
他说：“当你学习一种新型空间的定义时，你几乎可以猜到等价的定义，因为它应该自然地反映出空间的定义。”莎拉·布莱克威尔，乔治亚大学研究生。
对于拓扑流形，相关的标准称为同胚。这是一种变换（“态射”），它将一个拓扑流形中的每个点与另一个拓扑流中的唯一点配对，以保持点之间的距离感。
布莱克威尔说：“如果你有两个点在这里靠得很近，当你看到它们在那里的图像时，它们应该在一起。”。
对于光滑流形，等价标准更为复杂。这被称为微分同胚。和以前一样，一个流形中的闭合点需要与另一个流态中的闭合点通过配对，只是现在需要以保持两个流形的平滑结构的方式进行配对。换句话说，如果不引入角点就无法对点进行配对，那么这两个流形就互不同构。
这些区别支撑了拓扑学的大分类项目。数学家在这一分类的所有维度上都取得了实质性进展，除了维度4，维度4基本上是开放的。
其中最重要的分类结果是迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）1981年对四维庞加莱猜想（Poincarésuggesture）的证明，该证明确立了与四维球体同伦等价的任何四维拓扑流形也与四维球同胚。作为广达（Quanta） 2021年9月的另一篇文章对此进行了解释，这个证明是如此复杂，而且沟通得如此糟糕，以至于它在数学中逐渐淡出，直到书把它带回来了。
弗里德曼的工作将两种截然不同的对等形式联系在一起。同伦等价，其中一个球等价于一个点，与同胚等价有很大不同，同胚等价需要以非常精确的方式配对点。然而，弗里德曼在他的具体背景下证明了，第一种松散的对等形式总是意味着第二种更强大的对等形式。
但是Freedman的证明打开了“光滑”四维Poincaré猜想的大门，该猜想指出，任何同伦等价于四维球体的四维光滑流形也与四维球体不同。这是一个比弗里德曼证明的更有力的陈述，因为微分同胚是比同胚更强有力的等价形式，而今天的数学家不知道如何解决这个问题。
这使他们处于一种奇怪的境地，无法执行最基本的分类任务之一：识别平滑的四维流形何时是真正的球体。
主要图片：David Parker/科学来源
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Kevin Hartnett是Quanta杂志涵盖数学和计算机科学。他的作品被收录于2013年和2016年的“数学最佳写作”系列。他还写了“Brainiac”，为波士顿环球报的创意部分。
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