群范畴中的snake引理

Question

在Wiki中，在“组的类别”项下，它声明snake引理在组的类别中失败，但九个引理是有效的。然而，在《Mal’cev，原模类、同调类和半阿贝尔类》一书的序言中，它说：“范畴理论也无法掌握同调引理的概念基础：九引理，蛇引理，它们在群的范畴Gp中仍然有效且具有强烈的意义，即使这个范畴不属于阿贝尔环境，在这个环境中，这些引理通常以一种重要的范畴方式被证明。”

蛇引理在群的范畴中失败与否？有关于这方面的反例或参考吗？

Answer 1

一般来说，snake引理在群的范畴中没有意义，因为映射并不总是有余核。如果你假设你的snake引理图中的三个垂直映射都有余核，也就是说，它们的图像是目标的正规子群，那么snake的引理是正确的，其证明与abelian范畴的情况相同（正如J.Polak指出的那样，用$1$替换$0$，用反转替换减号）。

Answer 2

我认为可以通过以下方式将蛇引理归入（非阿贝尔）群的范畴。

首先，我提醒一下什么是精确的点集序列（例如，请参阅关于非阿贝尔上同调一章中Serre的“局部域”）：点集只是一个具有基点$x_a$的集合$a$。点集的态射定义为将基点发送到基点的映射。如果$f（A）=g^{-1}（x_C）$，则序列$A\xrightarrow{f}B\xright arrow}C$称为精确序列。

现在让我们回到蛇引理。余核是一个以类$0$为基点的点集（我表示$Coker（f:A\rightarrow B）$是左陪集$B/Im（f）$，但它也适用于右陪集，即使它不是范畴理论中的余核，我也称它为余核）。我们可以检查Snake引理在我上面给出的意义上是否成立（与Alex所说的证据相同）。