我正在研究一些卷积算子的紧性。让卷积$$\伽马：X\右箭头X；x\mapsto\int_0^t t（t-s）B（s）x\mathrm{d} 第条。 $$在这里$T（\cdot）$是一个C_0美元$-某些Banach空间上的半群X美元$,$B\in\mathcal{L}（X）$是一个面向所有人的紧凑运算符$s\在[0，t]中$和$t\ge 0美元$.
$\星$如果B美元=B$独立于美元$，不难证明$\伽马射线$（我用黎曼求和法）
$\星$如果$s\映射到B$是立即连续的（在范数中是连续的$\mathcal{L}（X）$).
${\颜色{蓝色}\星形}$现在如果$s\映射到B$是强连续的，在这种情况下，我们能说什么紧性？
${\颜色{红色}\星形}$我现在面临的另一个问题是，如果我们考虑$$\伽玛：X\右长箭头X；x\mapsto\int_0^t t_{-1}（t-s）B（s）x\mathrm{d} 第条。 $$这一次十亿美元$到达Favard空间$\mathbb美元{F} _1个$与关联C_0美元-$半群（这样卷积就有意义了）。$T_{-1}$是外推半群。我们还能恢复致密性吗？
非常感谢。
