了解高维球体填充

Question

在一个最近的出版物乌克兰数学家玛丽娜·维亚佐夫斯卡（Maryna Viazovska）解决了尺寸为$8$和$24$的开普勒问题，即球体的最密集堆积。

诚然，对于不参与该领域的人来说，掌握这项工作是非常困难的，但如果简单地说，所采用的方法和主要突破可以在概念层面上加以解释，这将是非常有价值的。这样一来，人们就可以大致了解解决方案是如何产生的。

这只是试图获得更多的信息，以便理解其中的一些主要观点，因为这是一个非常令人兴奋的消息，因为不同维度的球体最密集的包装问题由来已久。

Answer 1

有两件事你需要理解。第一个问题是如何通过调和分析证明球面填充界（“线性规划界”）。我的PCMI 2014的课堂讲稿对这一理论进行阐述，该理论涵盖了维亚佐夫斯卡关于八个维度的论文之前的时期，但不包括在内。这将问题简化为寻找具有特定根和符号条件的八维和二十四维径向函数，课堂讲稿讨论了为什么每个人都相信这样的函数存在。函数本身出奇地微妙；看见这篇论文与Steve Miller合作进行数值实验和推测。

维亚佐夫斯卡的突破在于如何构建正确的功能。很容易将它们分解为傅里叶变换的特征函数，这些特征函数必须在特定位置有根。一种方法是，她通过包含生成根的正弦平方因子来强制这些根，然后将其乘以某种基本上是（准）模形式的拉普拉斯变换的东西。要实现这一点，必须回答三个问题：

1. 什么样的模形式能很好地处理正弦平方因子并产生傅里叶变换的径向本征函数？

2. 是否存在这样的模块化形式，能够实际提供所需的功能？

3. 我们如何证明这些函数应该满足的不等式？

维亚佐夫斯卡的方法给出了很好的答案：

1. 这相当于确定正确的级别、权重和深度（对于拟模形式）。

2. 对。可以根据所需属性对其进行反向工程。

3. 以人们所希望的最佳方式，即在模块形式本身的层次上（而不必担心拉普拉斯变换中发生的一些微妙的事情）。

有关详细信息，请参阅八和24立体纸。正如彼得·萨纳克（Peter Sarnak）在埃里卡·克拉里奇（Erica Klarreich）的文章中指出的那样Quanta文章，实际构造出奇地简单。如果你知道线性规划的边界和模块形式的基本事实，那么证明本身就是非常脚踏实地的。

Answer 2

下图描绘了一个内嵌在超立方体中的超球体。尺寸数量从左到右增加（2,3,4和5尺寸）。正如你所见，维数越高，“超冠者”的数量越高它们被一个直径不大于侧面的超球体所覆盖。这些增加为2的幂：4、8、16，依此类推。

通过使用Gamma函数很容易证明，球体与超立方体的相对体积（也称为“密度”）随着维数的增加而减小。在尺寸8中，在8维球体周围有2^8=256个超角点。

以分形方式包装非重叠球体的第一个简单尝试是通过阿波罗（莱布尼茨）垫片-因此，请观察所附的第二张图片。随着维数的增加，需要以指数方式拟合的球体数量也会增加。

当然，有比这种垫圈更有效的方式来包装球体。最简单的近似是考虑单位超球体：即那些超球体具有等幺正体积的。或者在其他一些解释中，具有相等的表面积，因为很容易从一个表面积转换到另一个（通过使用π公式）。

一些更复杂的填料垫圈或方案涉及大小不等的球体而非经典的阿波罗分形，其计算可能涉及线性规划或元/启发式等优化方法。

维亚佐夫斯卡的文章不处理这些问题，只处理单位球，并使用普通经典测试任何打包方法格子填料在8个维度中。其结论是，在密度测量方面，没有比（E8）晶格更有效的了。

Answer 3

为了完整起见，我想添加已发布版本和评论的链接：

玛丽娜·维亚佐夫斯卡。,8维球体堆积问题，安。数学。（2） 185，第3期，991-1015（2017）。兹比尔1373.52025.

科恩，亨利；阿比纳夫·库马尔；斯蒂芬·米勒（Stephen D.Miller）。；Danylo Radchenko；玛丽娜·维亚佐夫斯卡,尺寸（24）中的球体填充问题，安。数学。（2） 185，第3期，1017-1033（2017）。Zbl 1370.52037号.