通过近似证明多项式的给定根为零

Question

让$\阿尔法$是多项式的根$a_nx^n+\ldots+a_1x$具有积分系数。

我想确定$\varepsilon>0$取决于$a_1，\ldot，a_n$以便$|\alpha|<\varepsilon$暗示$\alpha=0$.

有可能给出这样一个“公式”吗$\varepsilon美元$不参考根的完整列表？

Answer 1

当然我们必须假设$a_j\ne 0$.说$a_j（美元）$是索引最少的那个。那么你想要$\varepsilon美元$这样的话$p（x）=a_n x^{n-j}+\ldots+a_j\ne 0$对于$|x|<\varepsilon$.您可以使用不等式，例如$|p（x）|\ge|a_j|-\sum_{k=j+1}^{n}|a_k||x|^{k-j}\ge|a_j|-m\sum_}k=j+1}^n|a_k|$

哪里$m=最大值（|x|^{n-j}，|x|）$.因此$p（x）\ne 0$如果$m<|a_j|/\sum_{k=j+1}^n|a_k|$.

Answer 2

你想知道的一切（还有更多）都在约翰·阿伯特的这篇论文中

约翰·阿伯特,中因子的界限$\Bbb Z[x]$，J.Symb。计算。50, 532-563 (2013).ZBL1295.12010年.: