基本算法的自动化。
也就是说，能够在没有意识的情况下毫不费力地进行基本算术。
自动化超越了能力、熟练程度甚至流利程度。仅仅回忆信息或执行技能是不够的。它必须是瞬间的、完美的、毫不费力的。
为什么自动化如此重要？
因为它为更高层次的思考腾出了精神资源。
想想一个篮球运动员，他同时在跑步、运球和制定战略。如果他们必须有意识地管理好每一次弹跳和每一步，他们就会不知所措，无法环顾四周制定战略。
数学也是如此，尤其是代数。当基本的算术是自动的时，解方程会感觉很顺利——这就像移动拼图块一样，你只需要确定它们是如何组合在一起的。
但是，如果没有基本算术的自动化，每个拼图块都是一个沉重的负担。你很难移动它们，更不用说弄清楚它们应该去哪里了。
说明自动化重要性的案例研究
假设我们有三个不同的学生——奥托、里加和芬恩，他们的名字被选择来代表他们各自的自动化水平。
这些学生每人上一节关于数字立方的课。在解释了立方体数字的含义并用一个实例进行了演示之后，他们每人都有一个要自己练习的问题：计算$4^3.$
让我们观察每个学生解决问题时的思维过程（包括推理和情绪）。
奥托他非常熟悉乘法和加法运算，因此在脑海中只需10秒钟就能解决问题。他觉得这很容易，很兴奋能尝试另一个，迫不及待地想解决更难的问题，比如负数、十进制和分数的立方。
$4^3$= 4 × 4 × 4. 我知道4×4=16，很简单，然后是16×4=。。。这是10×4=40和6×4=24，加起来是40+24=64。完成，简单！接下来是什么？
哥斯达黎加在2分钟内解决了问题，但她的答案不正确。她又花了2分钟来纠正错误，但她很累，想在继续下一个问题之前休息一下。她并不期待遇到更棘手的问题。
$4^3$= 4 × 4 × 4. 4×4是多少？我不知道，让我们计算一下。
4×4等于4+4+4，也就是……嗯，4+4=8，加4等于12，加4等于16。
我在哪里？哦，对了，4×4=16，然后是16×4=……呃，要经历乘法过程。
把16放在上面，然后把×4放在下面，现在我们执行这个程序。首先4×6=6+6+6+6+6，数到6+6=12，加6等于18，加6就是22。写下2，再携带2。然后4×1=4，将携带的2相加，记下6。
完成。结果是62。哦，等等，老师说这很接近，但不太正确。好的，让我们再试一次。
（Rica重复上面的整个过程，这次得到的结果是64。）
太好了，老师说64分是对的。我知道还有更多的问题要做，但那一个有点难，我很累。老师，我可以休息一下，稍后再做下一个吗？
芬兰解决这个问题需要10分钟，但他的答案不正确。他又试了10分钟，但犯了不同的错误。老师不得不再陪他坐上10分钟，帮他解决这个问题。到芬恩解决这个问题的时候，几乎已经是一整节课了。他筋疲力尽，不知所措，害怕做剩下的作业。
$4^3$= 4 × 4 × 4. 4×4是多少？我不知道，让我们计算一下。
4×4等于4+4+4+4，也就是……呃，要把这一切都算进去。这很烦人。
从4开始，再加4就是5、6、7、8。
从8开始，再加4等于9、10、11、12。
从12开始，再加4等于12、13、14、15。
唷，这花了一段时间，但现在我得到了4+4+4=15。为什么我又这么做了？哦，对了，我真的做了4×4=15。
等等，我们还没做完。我做了4×4=15，但那是因为我想做4×4×4。好的，现在我需要做15×4。呃，那会更难。我不喜欢这样。但好吧，让我们做吧。
15×4等于15+15+15+15，这是一个很大的数字，所以我需要把它排在纸上。
把15个放在上面，然后再放在下面15个，再放15个，然后再加15个。
让我们添加右栏：
从5开始，再加5等于6、7、8、9、10。
从10开始，再加5等于10、11、12、13、14。
从14开始，然后再加5是15、16、17、18、19。
写下9，携带1，然后将左栏加起来：从1开始，然后1再加上2，然后3，然后4，然后5。写下5，我们有59。
答案是59。很高兴结束了。这花了很长时间。哦，等等，老师说那不对。不。。。我必须重新做这件事吗？！这工作太多了。
（芬恩重复了上面的整个过程，这次得到的结果是66分，但仍然不正确。他明显感到沮丧，他的老师坐下来和他一起检查他的作业。他们一起发现并修复了几个错误，得出了正确的结果64分。）
我今天不能再这样了。我太累了。我讨厌数学，我的老师给了我太多的作业。下一道题看起来更难，作业上还有更多！这太可怕了。下课快结束了，所以我要出去玩，直到铃声响起。
大外卖
这个案例研究表明，学生对低水平技能的自动化程度越高，
他们越容易获得新的高级技能，
他们将能够更快、更独立地执行这些技能，
他们对整个学习过程的感觉越好，并且
他们越是兴奋，就会继续学习更高级的材料。
发展自动性的学生会感到被授权，而不这样做的学生则会感到不知所措和挫败。
顺便说一句，这些结果是复合的。如果你不在必备技能上培养自动性，那将阻止你学习和发展新技能的自动性，这将合成一笔巨大的“学习债务”。缺乏自动性就像是一笔高息贷款，随着时间的推移，会合成一笔巨额财务债务。
如何构建自动化？
练习。很多。自动化要求长期定期练习，直到技能成为第二天性。
但不仅仅是任何练习。这是一个三阶段的过程：
从概念理解开始。（这不必太深入——学生只需理解他们正在使用的符号的直观/具体含义。）
一旦确定了概念理解的基线量，就可以在不定时的环境中进行实践活动。
在学生能够在不定时的环境中成功且持续地执行技能后，让他们在定时的环境下练习。（小心：如果你在学生不定时地执行技能之前就给他们计时，你要做的就是给他们压力，让他们讨厌数学。）
数学教育中的许多激烈争论最终导致人们将注意力集中在这条管道中他们个人最喜欢的部分，并认为其余部分没有必要。
但创造力呢？
一些人认为，因为自动化需要反复练习，它会把学生变成无意识的机器人，为了利用人类创造力的力量，人们需要摆脱机器人的思维方式。但这是一种错误的二分法。
事实上，自动化是创造力的必要组成部分。自动化的全部目的是减少大脑必须分配给机器人任务的带宽，从而释放认知资源进行更高层次的思考。如果一个学生没有发展出自动性，那么他们将不得不有意识地思考他们所做的每一个低级动作，这将耗尽他们的认知能力，也不会给高级创造性思维留下空间。
举一个具体的例子，想想通常被认为是最具创造性的活动之一：写作。有效的写作需要一条从脑海中的想法到纸上的文字的无摩擦管道。如果作者必须有意识地思考拼写、语法、单词定义、句子之间的转换、何时创建新段落等问题，他们就会陷入低级机器人任务的泥潭，没有脑力去思考高层次的创造性细节，比如生动的图像、逻辑的凝聚力、，以及各种短语和想法引发的情绪。
进一步阅读：我写了很多关于这方面的文章。请参见第14章：开发自动化和第19章。测试效果（检索实践）在工作草案中在这里以获取更多信息和大量科学引用作为支持。
增编：防止误解
