拓扑晶体（下）


k4_晶体

我们正在建造水晶，像钻石一样，纯粹是从拓扑结构中建造的。上次我说怎么做：你画一张图X（X）并将其最大阿贝尔覆盖嵌入到向量空间H_1（X，\mathbb{R}）。现在让我再多谈谈最大阿贝尔覆盖。它远不如通用封面那么有名，但它非常漂亮。

首先我会快速浏览一下基本想法，然后我会给出细节。

基本理念

我所说的“空间”是指局部良好的连通拓扑空间。基本思想是，如果X（X）是一些空间，它万能盖 \宽度{X}是的覆盖空间X（X）覆盖所有其他覆盖空间十、。最大阿贝尔覆盖\上划线｛X｝具有类似的通用属性-但它是阿贝尔的它涵盖了所有阿贝尔的连接盖。封面是阿贝尔的如果它的一组甲板变换是阿贝尔变换。

最酷的部分是，泛覆盖对同伦理论来说就像最大阿贝尔覆盖对同调理论一样。

我这么说是什么意思？对于初学者来说\宽度{X}只是中的同伦类路径X（X）从选定的基点开始。以及其中的要点\上划线{X}只是从基点开始的路径的“同源类”。

但人们很少谈论路径的“同源类”。那么我指的是什么那个？这里有一些范畴理论很有用。中的同伦路径类X（X）是基本群胚中的态射吗十、。路径的同调类是阿贝尔化的基本群胚的版本！

但是等一下-什么是那个意思是？好吧，我们可以使…成为阿贝尔（abelinize）通过施加关系的任何群胚

f g=g f

只要这样做有意义。只要你能组成态射，这样做就有意义f:x\到y 和g:x'到y'以任意顺序，以及生成的形态f克和克/平方英尺具有相同的源和目标。如果你明白了这意味着什么，你就会明白这意味着

x=y=x'=y'

但现在让我慢慢说，对于那些想要更轻松治疗的人来说。

详细信息

数学中有很多稍微不同的东西叫做“图”，但在拓扑结晶学中，使用一个你可能从未见过的东西很方便。这种图形的每条边都有两个副本，一个指向每个方向。

所以，我们会说图表 X=（E、V、s、t、i） 有一套V（V）属于顶点，一套E类属于边缘，个地图s、 t:E\至V为每个边指定其来源和目标，和地图i:E\到E将每个边发送到其反向，服从

s（i（e））=t（e），\四t（i（e））=s（e）

和

i（e）\n一个e

为所有人e中的e。

最后的不平等会让范畴理论家们大吃一惊：定义应该说明什么是真实的，而不是什么是不真的。但范畴理论家应该能够看到这里到底发生了什么，所以我把它当作一个谜。

对于普通人来说，让我用更多的词来重复这个定义。如果s（e）=v和t（e）=w我们写作e:v\到w，然后画e（电子）作为一个区间，其上的箭头指向v（v）到西。我们写作i（e）作为e^{-1}，然后画电子^{-1}间隔时间与e、，但箭头方向相反。遵循的方程式我假设取的是e:v\到w提供优势e^{-1}:w\到v还有那个（e^{-1}）^{-1{=e。没有边可以是它自己的逆边。

A类图的映射，说吧f:X\至X'，是一对函数，一个将顶点发送到顶点，另一个将边发送到边，用于保存源贴图、目标贴图和反向贴图。通过滥用符号，我们将这两个函数都称为f、。

我开始谈论拓扑；现在我用组合的方式来处理图形，但我们可以把拓扑结构带回来。从图形X（X）我们可以建立一个拓扑空间|X（X）|称其为几何实现。我们通过为每个顶点取一个点并粘贴到[0,1]对于每个边缘e:v\到w，用胶水粘点0到v（v）和要点1到w、，然后确定每条边的间隔e（电子）利用映射求逆区间t \mapsto 1-t。

任何图的映射都会在它们的几何实现之间产生一个连续映射，我们说图的映射是盖如果这个连续映射是覆盖映射。为了简单起见，我们表示基本群|X（X）|通过\pi_ 1（X），类似地，对于的其他拓扑不变量|X |。然而，有时我需要区分图形X（X）及其几何实现|X |。

任意连通图X（X）有一个万能盖，表示连接的盖子

p:\widetilde{X}\到X

它覆盖了每一个连接的盖子。的几何实现\宽波浪号｛X｝已连接且仅连接。基本群体\pi_1（X）充当甲板变换属于\宽度{X}，意义可逆映射g:\widetilde{X}\to\widetilde{X}这样的话p\circ g=页。我们可以取\宽度{X}通过任何子组的操作G\subseteq\pi_1（X）找个掩护q:\widetilde{X}/G\到X。

特别是，如果我们G公司成为的换向器子群\像素_1（X），我们称之为图形\宽电极{X}/G这个最大阿贝尔覆盖图表的X、，并表示为\上划线{X}。我们获得了掩护

q:\上划线{X}\到X

其甲板变换组是\图1（X）。这只是第一个同源群H_1（X，\mathbb{Z}）。特别是，如果对应于X（X）有n个holes，这是上的自由阿贝尔群
n个发电机。

我想要一个关于最大阿贝尔覆盖的具体描述！我将从通用覆盖开始构建它，但首先我们需要一些关于图中路径的预备知识。

给定顶点x、 年在里面X、，定义路径从x个到年成为一个边缘词\伽马=e_1\cdots e\ell具有e_i:v{i-1}\到vi对于某些顶点v_0、\点、v_\ell具有v_0=x和v_\ell=y。当且仅当x=y; 这使平凡路径从x个对自身而言。

给定路径\伽马射线从x个到年我们写作\γ：x\到y，然后我们从x个作为自身1_x:x\到x。我们定义了路径的组合\伽马射线：x\到y 和\增量：y到z 通过单词的串联，获得我们调用的路径\伽马\delta:x\到z。我们称之为顶点的路径x个对自己来说环基于x。

我们说两条路x个到年是同伦如果可以通过重复引入或删除表单的子单词从另一个中获得一个eie{i+1}哪里e_{i+1}=e_i^{-1}。如果[\gamma]（伽玛射线）是来自的同伦类路径x个到是的，我们写作[\gamma]：x \到y。我们可以组成同伦类[\gamma]：x\到y和[\增量]：y\到z通过设置[\gamma][\delta]=[\gama\delta]。

如果X（X）是一个连通图，我们可以描述万能覆盖\宽度{X}如下所示。固定顶点x 0属于X、，我们称之为基点.的顶点\宽度{X}被定义为路径的同伦类[\gamma]：x_0\到x哪里x个是任意的。中的边\宽度{X}从顶点开始[\gamma]：x_0\到x到顶点[\增量]：x0\到y定义为边e中的e具有[\gamma e]=[\delta]。事实上，这样的优势最多只能有一个。有一个明显的图表图

p:\widetilde{X}\到X

发送每个顶点[\gamma]：x_0\到x属于\宽度{X}到顶点
x个属于十、。这张地图是封面。

现在我们准备构造最大阿贝尔覆盖\上划线{X}。为此，我们在路径上施加了一个进一步的等价关系，该关系旨在尽可能使组合可交换。然而，我们需要小心。如果\伽玛：x \到y 和\增量：x'到y'，复合材料\伽马\delta 和\德尔塔\伽马都是明确定义的当且仅当x’=y和y’=x。在这种情况下，\伽马\delta和\δ\gamma当且仅当x=x’和y=y’。如果这四个方程都成立\伽马射线和\三角洲循环是否基于x。因此，我们将强加这种关系\伽马\delta=\delta\gamma只有在这种情况下。

我们说有两条路同源的如果一个可以通过以下方式从另一个获得：

•反复引入或删除子单词eie{i+1}哪里
e_{i+1}=e_i^{-1}，和/或

•反复替换表单的子单词

e_i \ cdots e_j e_{j+1}\ cdot e_k

根据表格中的内容

e_{j+1}\cdots e_k e_i \cdot e_j

哪里e_i\cdot e_j 和e_｛j+1｝\cdots e_k 是基于同一顶点的循环。

我在这里使用“同源”这个词有点不规范！

我们表示路径的同调类\伽马射线通过[[\gamma]]。注意，如果有两条路径\γ：x\到y， \增量：x'到y'那么是同源的x=x’和y=y’。因此，同调类路径的起点和终点都是明确定义的，并且给定了任何路径\伽玛：x \到y 我们写作[[\gamma]]：x\到y。如果我们设置

[[\gamma]][[\delta]]=[[\gamma\delta]]

我们构造了连通图的最大阿贝尔覆盖X（X）正如我们构造它的泛覆盖一样，但使用的是同调类而不是同伦类的路。现在我将介绍一些术语，让你开始思考晶体！

固定基点x 0对于十、。的顶点\上划线{X}，或原子，被定义为路径的同源类[[\gamma]]：x0\到x哪里x个是任意的。的任何边缘\上划线{X}，或债券，来自某个原子[[\gamma]]：x0\到x到某个原子[[\增量]]：x0\到y。债券来自[[\gamma]]到[[\增量]] 定义为边e中的e具有[[\gamma e]]=[[\delta]]。任何两个原子之间至多有一个键。我们还有一张覆盖图

q:\上划线{X}\到X。

基于at的同伦循环类x_0个组成一个组，以组合作为组操作。这是基本群 \像素_1（X）图表的十、。这是同构的，作为与十、。通过我们的通用盖结构，\像素_1（X）也是的顶点集\宽波浪号｛X｝映射到的x_0个通过第页。此外，任何元素[\gamma]\in\pi_1（X） 定义的甲板变换\宽度{X}发送每个顶点的[\增量]：x_0\到x 到顶点[\gamma][\delta]：x_0\到x。

类似地，基于x_0个组成一个以合成为组操作的组。由于用于定义同调类的附加关系正是使循环的同调类构成可交换所需的关系，因此该组是\图1（X）。因此它与第一个同源群同构H_1（X，\mathbb{Z}）的几何实现十、。

通过构造最大阿贝尔覆盖，H_1（X，\mathbb{Z}）也是的顶点集\上划线{X}映射到的x 0通过问。此外，任何元素H_1（X，\mathbb{Z}）中的[[\gamma]]\ 定义的甲板变换\上划线{X}发送每个顶点的[[\增量]]：x_0\到x 到顶点[[\gamma]][[\delta]]：x0\到x。

所以，一切都成功了！基本群体\像素_1（X）充当万能覆盖的甲板变换，而第一个同源群H_1（X，\mathbb｛Z｝）充当最大阿贝尔覆盖的甲板变换。

专家困惑：这让你想起伽罗瓦理论中的什么？

我们下次再讨论水晶。

阅读整个系列

•第1部分–基本理念。

•第2部分–图的最大阿贝尔覆盖。

•第3部分–构建拓扑晶体。

•第4部分–拓扑晶体的示例。

此条目于2016年7月27日星期三上午10:14发布，并根据化学，数学，网络。您可以通过RSS 2.0馈送。你可以留下回应，或追踪从你自己的网站。

对的一个响应拓扑晶体（下）

  1. 拓扑晶体（第3部分）|方位角 说：
    2016年8月6日上午10:13

    上次我解释了如何创建连通图的“最大阿贝尔覆盖”。现在我将详细介绍将其嵌入向量空间的系统过程。这将给我们一个拓扑晶体[…]

    答复

您可以在注释中使用标记或HTML。您也可以使用LaTeX，如下所示：$LaTeX E=mc^2$。单词“latex”紧跟在第一个美元符号后面，后面有一个空格。

此网站使用Akismet来减少垃圾邮件。了解如何处理您的评论数据.