实现雅可比多项式和高斯的库正交相关运算。

在notebooks目录中有两个笔记本，如下所示，显示了库的基本用法。

• 一些正交多项式及其零点的计算
• 高斯型曲面、插值和微分

雅可比多项式$P_n^{a，b}（x）$在函数中实现雅可比（x，n，a，b）哪里x个是要计算次数多项式n个带砝码一和b条.

要计算雅可比多项式的导数，请使用函数djacobi（x，n，a，b）.

在计算高斯量子化的权重时，有必要确定雅可比多项式的零点。功能雅可比零（m，a，b）计算雅可比次多项式的零点米带砝码一和b条。也存在是非分配函数雅各比零！（m、a、b、x）.

勒让德多项式是a和b为零时的特例。功能勒让德（x，n）实现这个更简单的递归关系。

还有切比雪夫多项式及其导数和零点：

• 切比雪夫（x，n）第一类切比雪夫多项式$T_n（x）$.
• 切比雪夫2（x，n）第二类切比雪夫多项式$U_n（x）$.
• 切比雪夫零（n）和切比雪夫2_零（n）切比雪夫多项式的根
• 切比雪夫零！（n，x）和切比雪夫2归零！（n，x）切比雪夫多项式的根

高斯求积通常用于数值计算积分。要评估使用高斯求积的积分，一组节点及其相应的权重必须为人所知。在最基本的算法中，用户不能指定任何节点。它是通常方便地包括域的一端或两端，这提供了不同的求积规则。

实施的不同求积规则如下：

• 高斯-雅可比，其中没有指定节点（扩展吉).
• Gauss-Lobatto-Jacobi，其中包括域的两端（扩展glj公司).
• Gauss-Radau-Jacobi，其中包含节点-1（域的最左端）（延长格拉姆).
• Gauss-Radau-Jacobi，其中包含节点+1（域的最右端）（延长grjp公司).

这些公式实现了$$\整数{-1}^1（1-x）^a（1+x）^bf（x）dx$$

功能zgj公司，zglj公司，zgrjm公司和zgrjp公司计算求积的节点规则。使用函数计算相应的权重wgj公司，wglj公司，wgrjm公司和wgrjp公司当然，在这两种情况下，重量一和b条必须指定。

作为一个例子

fun（x）=sin（x）z=zglj（5，0.0，0.0）w=wglj（z，0.0，0.0）f=乐趣（z）Ix=总和（w.*f）

哪里Ix公司是积分的估计。

高斯求积很有用，因为它允许多项式的精确积分使用少量节点（精确顺序取决于上面引用的求积规则）。

但还有另一个优点：求积规则的节点对于使用高阶多项式的插值函数，通常用于高阶有限元程序，如hp-FEM或谱元法。在这些应用程序中，需要计算导数和插值数据不同的网格。

功能dgj公司，dglj公司，dgrjm公司和drjp（数字参考文件）将导数矩阵计算为如下例所示：

fun（x）=sin（x）z=zglj（5，0.0，0.0）D=dglj（z，0.0，0.0）f=乐趣（z）df=D*f

哪里数据流是正交节点处函数导数的估计。

另一个重要的操作是插值。如果某个函数在某些节点已知，在这种情况下，正交节点，我们如何准确地插值函数其他节点？由于我们知道节点，拉格朗日插值是最好的方法。功能拉格朗日实现了朗格朗日语的标准定义插值。下面的示例绘制了5个节点的高斯-洛巴托-雅可比求积点。

使用PyPlotQ=5z=zglj（Q）nx=201x=-1.0:0.01:1.0y=零（nx，Q）对于k=1:Q，i=1:nxy[i，k]=拉格朗日（k，x[i]，z）结束对于k=1:Q绘图（x，y[：，k]）结束

如果要经常重复上述操作，请预先计算拉格朗日函数插值器很有用，可以计算插值矩阵。这个以下示例说明了插值矩阵的使用，该插值矩阵可以用函数计算插入（_M）.

使用PyPlotQ=5z=zglj（Q）nx=201x=-1.0:0.01:1.0ye=sin（pi*z）ye2=sin（pi*x）Im=interp_mat（x，z）y=我是绘图（z，ye，“o”）绘图（x，ye2，“r-”）图（x，y，“b-”）

增加插值函数的求积点数（蓝线）变得更加准确。

此包是使用以下两个引用实现的。

• CFD的光谱/hp元素方法，第2版，Karniadakis和Sherwin，2005年。
• NIST数学函数手册(http://dlmf.nist.gov/18)