我们建立了数域上交换变种的Mordell--Weil群中点的线性依赖的局部-全局原理。根据秩与维数之间的关系，我们给出了自同态环等于$\mathbb{Z}$的阿贝尔变种的一个完整刻划，该刻划对其成立。在椭圆曲线的情况下，我们完全通用地证明了这个结果，即不需要对自同态环进行假设。