双曲Coxeter群与四维和五维的最小增长率

摘要

对于小型$n个$，已知的紧致双曲线$n个$-最小体积的圆形与最小秩的Coxeter群密切相关。对于$n个=2$和$三$，这些Coxeter群由三角形群给出$[7，三]$和四面体群$[三，5，三]$，它们的区别还在于，在所有共紧双曲Coxeter群中，它们的增长率最小$\mathrm{Isom公司}{H（H）}^{n个}$，分别是。在这项工作中，我们考虑了协约Coxeter单纯形群${G公司}_4$带Coxeter符号$[5，三，三，三]$在里面$\mathrm{同分异构体}{H（H）}^4$和cocompact Coxeter棱镜组${G公司}_5$基于$[5，三，三，三，三]$在里面$\mathrm{Isom公司}{H（H）}^5$.这两个群都是算术群，并且与最小体积算术紧双曲线的基本群相关$n个$-orbifold用于$n个=4$和$5$，分别是。在这里，我们证明了${G公司}_{n个}$在所有协同作用的Coxeter群中，其增长率最小${H（H）}^{n个}$对于$n个=4$和$5$，分别是。该证明基于紧致双曲Coxeter多面体的组合性质、部分分类结果以及相关Coxeter群增长率的某些单调性。