Polyconvex functionals and maximum principle

Menita Carozza; Luca Esposito; Raffaella Giova; Francesco Leonetti; Menita Carozza; Luca Esposito; Raffaella Giova; Francesco Leonetti

doi:10.3934/mine.2023077

工程数学

2023,第5卷, 第4版以下为： 1-10。数字对象标识：10.3934/人2023077

研究文章特殊问题

多凸泛函与极大值原理

1
意大利贝内文托Corso Garibaldi 107，82100 Sannio大学工程系
2
意大利萨勒诺大学数学系，Via Ponte don Mellillo Stecca 8，84084 Fisciano（SA）
三。
意大利那不勒斯，80132，Via Generale Parisi 13，Napoli，University Parthenope of Napoli经济与法律系
4
意大利拉奎拉大学信息工程、计算机科学和数学系，Via Vetoio 67100 l'Aquila

收到：2022年8月1日 修订日期：2023年1月27日 认可的：2023年2月14日 出版：2023年3月9日

让我们考虑连续极小元$u:\bar\Omega\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$

$\mathcal{F}（v）=\int_{\Omega}[|Dv|^p\，+\，|{\rm det}\，Dv |^r]dx$

$p>1$和$r>0$；然后，我们知道$u=（u^1，…，u^n）$的每个组件$u^\alpha$都具有最大值原理：值$u^\ alpha（x）$大于边界上的上确界的内点$x$的集合具有空测度，即$\mathcal{L}^n（{x\in\Omega:u^\alpha（x）>\sup_{partial\Omega}u^\阿尔法}）=0$。如果我们改变函数的结构，可能会发生最大值原理失败的情况，如本例所示

$\mathcal{F}（v）=\int_{\Omega}[\max\{（|Dv|^p-1）；0\}\，+\，|{\rm det}\，Dv||^r]dx$

其中$p>1$和$r>0$。事实上，对于一个合适的边界值，值$u^\alpha（x）$大于边界上的上确界的内部点$x$的集合具有正测度，即$\mathcal{L}^n（{x\in\Omega:u^\alpha（x）>\sup_{partial\Omega}u^\阿尔法}）>0$。在本文中，我们证明了这些坏点的图像测度为零，即$p>n$时，$mathcal{L}^n（u（{x\In\Omega:u^\alpha（x）>\sup_{\partial\Omega}u^\alpha\}））=0$。这是一个更一般的定理的特殊情况。
- 多凸泛函,
- 最小化器,
- 规律性
引用：梅尼塔·卡洛扎（Menita Carozza）、卢卡·埃斯波西托（Luca Esposito）、拉斐拉·乔娃（Raffaella Giova）、弗朗西斯科·莱昂内蒂（Francesco Leonetti）。多凸泛函与极大值原理[J]。工程数学，2023，5（4）：1-10。doi:10.3934/个人2023077

相关论文：

摘要

让我们考虑连续极小元$u:\bar\Omega\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$

$\mathcal｛F｝（v）=\int_｛\Omega｝[|Dv|^p\，+\，|｛\rm det｝\，Dv|^r]dx$

$p>1$和$r>0$；然后，我们知道$u=（u^1，…，u^n）$的每个组件$u^\alpha$都具有最大值原理：值$u^\ alpha（x）$大于边界上的上确界的内点$x$的集合具有空测度，即$\mathcal{L}^n（{x\in\Omega:u^\alpha（x）>\sup_{partial\Omega}u^\阿尔法}）=0$。如果我们改变函数的结构，可能会发生最大值原理失败的情况，如本例所示

$\mathcal{F}（v）=\int_{\Omega}[\max\{（|Dv|^p-1）；0\}\，+\，|{\rm det}\，Dv||^r]dx$

$p>1$和$r>0$。事实上，对于一个合适的边界值，值$u^\alpha（x）$大于边界上的上确界的内部点$x$的集合具有正测度，即$\mathcal{L}^n（{x\in\Omega:u^\alpha（x）>\sup_{partial\Omega}u^\阿尔法}）>0$。在本文中，我们证明了这些坏点的图像测度为零，即$p>n$时，$mathcal{L}^n（u（{x\In\Omega:u^\alpha（x）>\sup_{\partial\Omega}u^\alpha\}））=0$。这是一个更一般的定理的特殊情况。

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