\`x^2+y_1+z_12^34\`
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2022年第1卷, 第4版: 575-610. Doi公司：10.3934/fmf.2022008年开放存取
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局部随机波动下的汽车销售定价

  • 1

    瑞士苏黎世大学银行与金融系

  • 2

    瑞士洛桑EPFL理工学院

  • 三。

    瑞士苏黎世ETH数学系

  • 4

    瑞士金融研究所

  • *通讯作者：Walter Farkas

    *通讯作者：Walter Farkas
收到日期： 2022年9月
提前访问： 2022年12月
发布时间： 2022年12月
摘要 全文（HTML） 图(29)/表(8) 相关论文 引用人
    摘要

  • 本文研究了Heston局部-随机波动率（LSV）模型中单资产自动出售障碍反向可转换债券的定价。尽管它们很复杂，但可自动出售的结构性票据是交易量最大的与股票挂钩的奇异衍生品。自动支付嵌入了提前赎回功能，产生了强大的路径和模型依赖性。因此，对于定价和风险管理，通用的局部波动率（LV）模型过于简化。相比之下，由于LSV模型能够匹配隐含的波动性微笑并再现其现实动态，因此它更适合于汽车债券等奇异衍生品。我们使用准蒙特卡罗方法研究了给定Heston LSV模型的定价，并将其与LV模型进行了比较。特别是，我们建立了两个模型之间的自动售卖品估价差异对支付特征、模型参数、基本特征和波动率机制的敏感性。我们发现，Heston LSV模型捕捉到的改进的现货波动性动态通常会导致价格上涨，这表明汽车销售对正向倾斜和vol-of-vol风险的依赖性。此外，我们还表明，LSV模型随机分量的参数能够控制汽车售价，同时不影响对欧式期权的拟合。

    数学学科分类：一次：91G20、91G60；次要：62P05。

    引文：
    舒

    \开始{方程式}\\结束{方程式{
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  • 图1。 根据截至2020年1月23日所有列出的定期到期日的SPX中期期权价格计算得出的远期货币$K/F（0，T）$space的隐含波动率

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    图2。 截至2020年1月23日，eSSVI微笑着与标准普尔500指数的常规期权相吻合，即对数货币$k$和隐含波动性$hat{sigma}$空间。红色和蓝色圆圈分别表示出价和出价隐含的波动率，橙色线表示eSSVI拟合

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    图3。 截至2020年1月23日，Heston LSV模型中的$T-T=180$和365天IV微笑动力学已校准为SPX选项。在黑色的当前IV微笑。橙色、绿色和红色表示时间$t=1/365时不同级别产生的前视IV微笑$

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    图4。 截至2020年1月23日，Heston本地随机波动率模型（校准为SPX期权）产生的180天和365天即期和远期隐含波动率微笑。$T_1$表示远期开始日期，$T_2-T_1$为剩余到期日

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    图5。 $T^E=12$，$T^O=3$，$K=1.00$，$H=0.80$欧洲，$Y=7.19\%$p.a.，$\mathbf{H^{Y}}=\mathbf{0}$，$\mathbf{Y^{AC}}=\ mathbf}0}$和$\mathbf{H^}}=\fathbf{AC}$

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    图6。 基准ABRC开始时不同$S$在$t=0时的回报图、价格和粘性货币增量$

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    图7。 Vega通过IVS的并行移位计算，以及在$t=0时不同$S$的基准ABRC的存活率$

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    图8。 $\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^}LV}（O）$和$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[T_{i^*}]$适用于不同的观察期限$T^O$和不同的到期期限$T*E$。在右侧面板中，实线表示LV，虚线表示Heston LSV

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    图9。 对于不同的障碍$H$和不同的到期期限$T^E$，$\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^}LV}（O）$和$\mathbb{Q}\left[L\leqS（0）H\right]$。在右侧面板中，实线表示LV，虚线表示Heston LSV

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    图10。 $\hat{U}^{LSV}（0$

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    图11。 $\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^{LV}（O）$对于不同到期期限$\eta$的差异水平的不同波动性。在右侧面板中，相应的Heston LSV预期到期$\mathbb｛E｝^\mathbb｛Q｝[T_｛i ^*｝]$

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    图12。 $T_1=自2020年1月23日起，针对不同水平的Heston参数$\eta$和$\rho，校准为SPX选项的Heston-like LSV模型产生的$3个月远期IV微笑$

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    图13。 $\hat{U}^{LSV}（0）-\hat{U}^{LV}（O）$用于不同到期期限$T^E$中的不同相关性水平$\rho$。在右侧面板中，相应的Heston LSV预期到期$\mathbb｛E｝^\mathbb｛Q｝[T_｛i ^*｝]$

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    图14。 不同股息的$\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^}LV}（O）$和$\mathbb{Q}\left[L\leqS（0）H\right]$的收益率为$Q$，跨不同的$T^E$。在右侧面板中，实线表示LV，虚线表示Heston LSV

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    图15。 到期期限$T^E期间指数SPX、NDX、DJX和RUT的$\hat{U}^{LSV}（0）-$

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    图16。 到期期限为$T^E$的SPX、NDX、DJX和RUT的$\hat{U}^{LSV}（0$

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    图17。 2017年1月3日至2020年12月31日期间，基准ABRC的$\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^[LV}（0]的演变。绿线和红线分别是VIX和$Y$水平的百分比，见右$Y$-轴。蓝色为$Y$的$\Delta^{LSV}$，这样$U^{LV}（0）=1$，黑色为$Y=0$的$\ Delta^}LSV$，以bps为单位，参见左边的$Y$轴

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    图18。 条件期望$\mathbb{E}^\mathbb2{Q}\left[V（t）\mid S（t）=S\right]$的近似，其中$（S（tT_{max}=1057$天，$\ell=100$，$n=2^{14}$，$m=1057$

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    图19。 条件期望$\mathbb{E}^\mathbb2{Q}\left[V（t）\mid-S（t）=S\right]$的近似，其中$（S（t。截至2020年1月23日，获得了LV函数，$T_{max}=1057$days，$\ell=100$，$n=2^{14}$，$m=1057$。赫斯顿参数如下图18

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    图20。 截至2020年1月23日，杠杆函数近似值已校准为SPX选项。近似值的参数为$T_{max}=1057$days、$\ell=200$、$n=2^{18}$和$m=1057$

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    图21。 $\hat｛U｝^｛LSV｝（0）-\hat｛U｝^｛LV｝（0）$不同观察期$T^O$和自动调用优惠券级别$\mathbf｛Y^｛AC｝｝$不同到期期$T^E$

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    图22。 在左侧面板中，$\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^}LV}（O）$用于不同的恒定自动调用屏障级别$\mathbf{H^{AC}}$和不同的$T^E$。在右侧面板中，LV表示$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[T_{i^*}]$

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    图23。 在左侧面板中，$\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^}LV}（O）$用于不同的降压自动调用屏障级别$\mathbf{H^{AC}}$和不同的$T^E$，$H_1^{AC{}=1$。在右侧面板中，LV表示$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[T_{i^*}]$

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    图24。 $\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^{LV}（O）$对于不同到期期限$\eta$的差异水平的不同波动性。在右侧面板中，对应的Heston LSV预期到期日为$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[T_{i^*}]$

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    图25。 $\hat{U}^{LSV}（0）-\hat}U}^{LV}（O）$针对不同到期期限$T^E$的不同平均回复速度$\kappa$。在右侧面板中，对应的LSV预期到期时间为$\mathbb{E}^\mathbb2{Q}[T_{i^*}]$

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    图26。 $T_1=自2020年1月23日起，针对不同的$\kappa$和$\theta水平，校准为SPX选项的Heston-like LSV模型产生的$3个月远期IV微笑$

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    图27。 $\hat｛U｝^｛LSV｝（0）-\hat｛U｝^｛LV｝（0）$针对不同到期期限$T^E$的不同长期方差水平$\theta$。在右侧面板中，对应的LV预期到期时间为$\mathbb{E}^\mathbb2{Q}[T_{i^*}]$

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    图28。 截至2020年1月23日，SPX、NDX、DJX和RUT ATMF总隐含方差和远期期限结构

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    图29。 SPX、NDX、DJX和RUT在到期期限$T^E$中的$\hat{U}^{LSV}（0）-不同息票金额$Y$

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    表1。 确定ABRC的主要特征的描述。$T^E（美元）$,$T^O美元$,千美元$,H美元$、和Y美元$是标量。$\mathbf{H^{Y}}$,$\mathbf{Y^{AC}}$、和$\mathbf{H^{AC}}$是$N\乘以1$向量，其中$N=T^E/T^O$是观察日期的数量

    功能 符号 描述
    到期期限 $T^E（美元）$ 与序列号最终估值日期相对应的期限，以月表示，例如12个月。
    观察期限 $T^O美元$ 与观察期长度相对应的期限，以月表示，即观察息票屏障和自动调用屏障的日期之间的时间间隔，例如3个月。
    罢工 千美元$ 卖空期权的行使以当前现货$S（0）$的%表示，例如90%。看跌期权的杠杆比率为1美元/K$。
    敲入式屏障 H美元$ D&I屏障水平以$S（0）$的%表示，例如80%。如果击中，它将敲入卖空期权。只能在最终估价日（欧洲）或连续估价日（美国）观察到。
    优惠券 Y美元$ 如果未达到息票屏障，则在每个观察期结束时支付息票水平，例如每年3%。
    优惠券屏障 $\mathbf{H^{Y}}$ D&O屏障水平以$S（0）$的%表示，例如80%。如果被击中，他们将使优惠券支付无效或延迟。它们可以是常量或变量，并在每个观察期结束时进行观察。
    自动呼叫优惠券 $\mathbf{Y^{AC}}$ 提前赎回时支付的息票水平以名义百分比表示，例如3%。它们可以是恒定的，也可以是“滚雪球”。
    自动呼叫屏障 $\mathbf{H^{AC}}$ U/O屏障水平以$S（0）$的%表示，例如100%。如果被击中，它们会触发SN的早期赎回。它们可以是恒定的或“逐步下降”的，并在每个周期结束时都会被观察到（百慕大语）。
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    表2。  Y美元$对于不同的$T^E（美元）$截至2020年1月23日

    ${\粗体符号{T^E}}$ 三 6 9 12 15 18 21 24 30 36 42
    Y美元$ 3.99% 5.94% 6.85% 7.19% 7.18% 7.21% 7.12% 7.01% 6.80% 6.55% 6.31%
    ${\粗体符号{T^E}}$ 48 54 60 66 72 78 84 90 96 108 120
    Y美元$ 6.08% 5.86% 5.73% 5.55% 5.40% 5.26% 5.13% 5.01% 4.87% 4.68% 4.53%
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    表3。  Y美元$用于不同的底层和$T^E（美元）$截至2020年1月23日，基准ABRC

    ${\粗体符号{T^E}}$ 三 6 9 12 15 18 21 24 30 36 42
    NDX公司 Y美元$ 5.15% 7.25% 8.02% 8.31% 8.27% 8.13% 7.93% 7.78% 7.39% 7.06% 6.81%
    DJX公司 Y美元$ 3.56% 5.61% 6.70% 7.18% 7.32% 7.29% 7.20% 7.08% 6.85% 6.55% 6.31%
    RUT（RUT） Y美元$ 4.65% 6.70% 7.56% 7.84% 7.83% 7.71% 7.55% 7.45% 7.15% 6.84% 6.55%
    ${\粗体符号{T^E}}$ 48 54 60 66 72 78 84 90 96 108 120
    NDX公司 Y美元$ 6.48% 6.27% 6.05% 5.82% 5.66% 5.50% 5.34% 5.23% 5.09% 4.86% 4.68%
    DJX公司 Y美元$ 6.09% 5.92% 5.71% 5.56% 5.43% 5.28% 5.14% 5.03% 4.92% 4.71% 4.54%
    RUT（RUT） Y美元$ 6.27% 6.07% 5.87% 5.69% 5.53% 5.36% 5.23% 5.10% 4.98% 4.77% 4.57%
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    表4。  $\bar{Y}^{AC}$对于不同的$T^E（美元）$，截至2020年1月23日计算

    ${\粗体符号{T^E}}$ 三 6 9 12 15 18 21 24 30 36 42
    $\bar｛Y｝^｛AC｝$ 6.24% 9.03% 10.39% 10.96% 11.06% 11.24% 11.23% 11.13% 11.00% 10.8% 10.67%
    ${\粗体符号{T^E}}$ 48 54 60 66 72 78 84 90 96 108 120
    $\bar{Y}^{AC}$ 10.37% 10.15% 10.13% 9.92% 9.74% 9.69% 9.52% 9.37% 9.17% 8.99% 8.96%
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    表5。 截至2020年1月23日，eSSVI参数已校准为SPX、NDX、DJX和RUT传统、每周和月末选项

    $\boldsymbol｛\eta｝$ $\粗体符号{\lambda}$ $\粗体符号{\rho_m}$ $\boldsymbol｛\rho_0｝$ $\粗体符号{a}$
    特殊目的公司 0.6066 0.5929 -0.7564 -0.4245 651.0968
    NDX公司 0.5692 0.5741 -0.7593 -0.3328 724.3588
    DJX公司 0.5752 0.5771 -0.7715 -0.4323 200.0267
    RUT（RUT） 0.5706 0.5971 -0.6823 -0.3437 387.2297
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    表6。 截至2020年1月23日，Heston参数校准为SPX、NDX、DJX和RUT传统选项

    $\粗体符号{\kappa}$ $\粗体符号{\ theta}$ $\boldsymbol{\eta}$ $\粗体符号{\rho}$ $\粗体符号{V_0}$
    特殊目的公司 3.7764 0.0365 0.9555 -0.7946 0.0141
    NDX公司 3.5723 0.0463 0.8791 -0.7784 0.0242
    DJX公司 2.0432 0.0388 0.5728 -0.7919美元 0.0159
    RUT（RUT） 4.6137 0.0409 1.0805 -0.7206 0.0205
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    表7。 波动率水平、ATMF隐含波动率以及远期与不同期限T美元$分别截至2017年11月3日、2020年6月23日、2020日3月31日和2020年3月17日

    VIX指数 $\boldsymbol{\sigma（F（0，T），T）}$ $\粗体符号{F（0，T）/S（0）}$
    T美元$ 1/4 1/2 1 2 三 1/4 1/2 1 2 三
    2017-11-03 特殊目的公司 9.14 0.0923 0.1098 0.1309 0.1525 0.1628 0.9995 0.9993 0.9990 1.0013 1.0052
    NDX公司 0.1350 0.1497 0.1647 0.1755 0.1905 1.0008 1.0028 1.0072 1.0188 1.0317
    DJX公司 0.1009 0.1167 0.1325 0.1436 0.1485 0.9971 0.9957 0.9955 0.9936 0.9933
    RUT（RUT） 0.1397 0.1541 0.1708 0.1827 0.1911 1.0001 1.0006 1.0017 1.0057 1.0118
    2020-06-23 特殊目的公司 31.37 0.2652 0.2717 0.2545 0.2381 0.2298 0.9969 0.9938 0.9876 0.9754 0.9640
    NDX公司 0.2809 0.2848 0.2666 0.2536 0.2485 0.9995 0.9984 0.9967 0.9924 0.9887
    DJX公司 0.2945 0.2914 0.2632 0.2434 0.2378 0.9955 0.9911 0.9839 0.9709 0.9564
    RUT（RUT） 0.3575 0.3445 0.3009 0.2691 0.2543 0.9982 0.9966 0.9940 0.9878 0.9848
    2020-03-31 特殊目的公司 53.54 0.3920 0.3469 0.2974 0.2554 0.2331 0.9942 0.9933 0.9945 0.9853 0.9784
    NDX公司 0.3948 0.3388 0.2921 0.2579 0.2415 0.9969 0.9969 0.9976 1.0003 1.0002
    DJX公司 0.4571 0.3874 0.3301 0.2938 0.2631 0.9919 0.9892 0.9805 0.9595 0.9464
    RUT（RUT） 0.4430 0.3849 0.3273 0.2849 0.2650 0.9909 0.9890 0.9858 0.9837 0.9840
    2020-03-17年 特殊目的公司 75.91 0.5872 0.4779 0.3763 0.2944 0.2875 0.9861 0.9815 0.9771 0.9690 0.9600
    NDX公司 0.5776 0.4679 0.3682 0.3000 0.2696 0.9902 0.9886 0.9835 0.9774 0.9741
    DJX公司 0.6313 0.5026 0.3960 0.3357 0.3340 0.9832 0.9769 0.9659 0.9441 0.9278
    RUT（RUT） 0.5941 0.4874 0.3834 0.3195 0.2931 0.9817 0.9786 0.9716 0.9591 0.9483
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    表8。 eSSVI和Heston参数根据SPX、NDX、DJX和RUT不同波动率制度下的期权数据进行校准

    eSSVI公司 赫斯顿
    $\boldsymbol{\eta}$ $\boldsymbol｛\lambda｝$ $\粗体符号{\rho_m}$ $\粗体符号{\rho_0}$ $\粗体符号{a}$ $\粗体符号{\kappa}$ $\粗体符号{\ theta}$ $\boldsymbol{\eta}$ $\粗体符号{\rho}$ $\粗体符号{V_0}$
    2017-11-03 特殊目的公司 0.7303 0.5981 -0.7126 -0.3635 676.32 2.8555 0.0401 1.0806 -0.7473 0.0046
    NDX公司 0.6122 0.5816 -0.6759 -0.1902 513.85 4.4025 0.0428 1.0791 -0.6989 0.0135
    DJX公司 0.6499 0.6135 -0.6243 -0.0435 589.12 3.9711 0.0325 1.0894 -0.6900 0.0052
    RUT（RUT） 0.6504 0.5918 -0.6141 -0.2397 364.16 4.3905 0.0464 1.2418 -0.6534 0.0173
    2020-06-23 特殊目的公司 0.9664 0.4963 -0.7633 -0.2269 340.68 2.0230 0.0964 1.3275 -0.8176 0.1052
    NDX公司 0.9439 0.4900 -0.6838 -0.2543毫米 306.51 1.7808 0.1040 1.2268 -0.7328 0.1126
    DJX公司 0.7798 0.5500 -0.7816 -0.3627美元 83.62 1.7819 0.0860 1.1351 -0.8111 0.1284
    RUT（RUT） 1.1080 0.4078 -0.7628 -0.3608 120.76 1.7505 0.1032 1.3331 -0.7843 0.1911
    2020-03-31 特殊目的公司 0.7710 0.5231 -0.8321 -0.4816 137.92 4.6048 0.0805 2.2566 -0.8245 0.3137
    NDX公司 0.7687 0.5227 -0.7706美元 -0.2908 212.56 4.2299 0.0766 2.0220 -0.7809 0.2971
    DJX公司 1.1234 0.4049 -0.6938 -0.5099 4854.88 3.8431 0.0882 2.1734 -0.7513 0.4058
    RUT（RUT） 1.1092 0.4148 -0.7463 -0.4252 125.98 4.6056 0.1118 2.8350 -0.7620 0.4234
    2020-03-17 特殊目的公司 1.1246 0.3460 -0.9227 -0.6585 120.92 6.0662 0.0940 3.4464 -0.8911 0.8440
    NDX公司 0.6885 0.4514 -0.9641 -0.9273 3841.28 6.4882 0.0780 2.4367 -0.8998 0.7813
    DJX公司 1.2104 0.2882 -0.8558 -0.8092 1449.55 5.8442 0.0938 3.7716 -0.8190 1.0221
    RUT（RUT） 0.9665 0.3153 -0.9951 -0.9929 1449.54 5.5594 0.1057 2.6639 -0.9176 0.7730
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