摘要
A类有符号图$（G，\sigma）$是一个图形$G$以及赋值$\sigma:E（G）\rightarrow\{+，-\}$。符号图的同态概念是一个相对较新的发展，它可以加强图的子图理论和着色之间的联系。按照这一思路，我们通过有符号图的扩展双覆盖概念来研究这种联系，这一概念最近由Naserasr、Sopena和Zaslavsky提出。
更准确地说，如果有符号平面图$（G，\sigma）$验证了关于$（B，\pi）$的基本非自同态引理的条件允许与$（B、\pi。我们的猜想是：如果$（B，\pi）$是一个没有正奇闭走的连通有符号图，它是平面完备的，那么它的扩展双覆盖$｛\rm-EDC｝（B，\pi）$也是平面完备的。我们注意到，这个猜想在很大程度上扩展了四色定理，并且在这个著名定理的扩展中与许多猜想紧密相连。
给定（有符号）图$（B，\pi）$边界如果类中的每个（有符号）图都承认$（B，\pi）$的同态，则为一类（有符号的）图。
在这项工作中，为了支持我们的猜想，我们对符号$K_4$-次自由图的子类进行了证明。受这一发展的启发，我们随后研究了有符号$K_4$-无子图的子类在其周长受到限制的情况下寻找最优同态界的问题，并给出了近似最优解。我们的工作进一步导致了加权有符号图的发展。
