Galton–Watson树停车的相变

Galton–Watson分支过程（实际上是由Bienaymé首先研究的）是概率论中的一个核心概念，通常在该学科的第一门大学课程中讲授。一个是给出概率分布$p$定义在正整数上，其中一个定义了随机变量序列$X_0,X_1,\dots$如下：$X_0$等于1，对于每个$n>0$， $X_n$是以下各项的总和$X_{n-1}$独立随机变量，每个变量的分布$p$.这为种群增长提供了一个简单的模型，每个个体都会产生一些后代，这些后代根据$p$.关于这个过程的一个基本事实是，如果$p$小于1，则进程消失的概率为1（即存在$n$这样的话$X_n=0$),然而，如果它大于1，则该过程永远不会消失的概率为正。如果期望值为1，则调用该过程批评的在这种情况下，它仍然以1的概率消亡（除了在小情况下$p(1)=1$)，但其行为有所不同：例如$X_n$是1，所以它不会趋向于零。

对于许多目的来说，重要的是不仅要研究种群的大小，还要研究由这个过程产生的随机家谱结构的更详细的问题，这被称为Galton-Watson树。它可以被正式定义如下。让$\mathcal U$是所有有限正整数序列的集合（包括作为序列的空序列）。定义一个树在里面$\mathcal U$成为子集$T$属于$\mathcal U$在获取初始段时关闭：即，如果$(n_1,\dots,n_s)\in T$和$r<s$，然后$(n_1,\dots,n_r)\in T$.

我们现在为每个人选择$u\in\mathcal U$一个数字$c(u)$按分配分配$p$，所有这些选择都是独立的。对应的Galton–Watson树$T$然后归纳定义如下：空序列属于$T$，如果$u=(n_1,\dots,n_k)$属于$T$和$n_{k+1}\leq c(u)$，然后$(n_1,\dots,n_{k+1})$属于$T$.正如人们所料，这棵树被称为批评的如果相应的分支过程是关键的，也就是说，如果$p$平均值为1。

作者考虑了以下问题。他们首先使用关键的Galton–Watson树进行分发$p$有差异$\Sigma$，然后在每个顶点放置随机数目的汽车，这些汽车的数量是独立的，并且与平均值相同分布$m$和方差$\sigma^2$.然后，所有的汽车都朝着树的路线行驶，一到达空旷的顶点就停下来。如果它们永远不会到达一个空顶点，那么它们就会通过根“逃逸”。

为了方便起见，我们假设两辆或多辆车不会同时到达顶点（或者，如果它们到达了顶点并且顶点是空的，那么其中一辆停下来，其余的停下来）。很容易看出，最终占据的顶点集以及逃逸的汽车数量并不取决于汽车到达顶点的顺序。（作者称之为模型的阿贝尔性质。）

很明显，有一个积极的可能性，一些汽车逃跑，因为可能会有很多汽车附近的根。因此，有人提出了一个粗略的问题：在什么情况下，几乎所有的汽车都会停下来（概率很高）？

Goldschmidt和Przykucki推测，令人惊讶的是，相变只取决于$m, \sigma$和$\Sigma$也就是说，基于汽车数量的平均值和方差，以及基于Galton–Watson树的子代分布的方差（其平均值为假设1）。本文的主要结果是对这个猜想的证明。更准确地说，作者表明，如果数量$(1-m)^2- \Sigma^2 (\sigma^2+m^2-m)$是正的，而如果是负的，则有正比例的汽车无法停车。