多维Lavrentiev-Bitsadze方程主混合问题的适定性

全文

Введение

Основнаясмешанаязадачадл[1–4]. В [5–10] получены явные виды классических решений смешанных задач для многомерных гиперболических уравнений.

Насколько известно автору, эти задачи для многомерных эллиптических уравнений изучены только в [11]。

Смешанная задача с граничными условиями для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе является некорректной.

В данной статье доказана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения основной смешанной задачи с граничными и начальными данными для многомерного уравнения Лав- рентьева — Бицадзе.

1. Постановка задачи и результат

   ПустьΩαβ−цилиндрическая область евклидова пространстваE类米+1точек(x个1, ..., x个米，吨),ограниченная цилиндромΓ ={(x、 t吨) : :|x个|= 1},плоскостямиt吨=α >0иt吨=β <0,где|x个|−длина вектораx个=

   = (x个1, ..., x个米).

   Обозначим черезΩαиΩβчасти областиΩαβ,а черезΓα,Γβ–чаΓ,лежащие в полупространствахt>时间>0иt吨<0;σα−верхнее, аσβ−第二天Ωαβ.

   Пусть далее秒−общая часть границ областиΩα,Ωβ , представляющих собой множество{t吨= 0,0<|x个|<1}точек изE类米.

   В областиΩαβрассмотрим многомерное уравнение Лаврентьева — Бицадзе

   (sgnt公司)∆x个u个−u个tt公司 = 0,（1）

   где∆x个— оператор Лапласа по переменнымx个1, ..., x个米,米�2.

   В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координатx个1, ..., x个米，吨к сферическим

   r、 θ1, ..., θ米−1，t，r�0,0�θ1<2π，0�θ我 �π、 我= 2,三, ..., 米−1, θ= (θ1, ..., θ米−1).

   Рассмотрим следующую основную смешанную задачу с граничными и начальными данными [12]

   Задача1。Найти решение уравнения (1) в областиΩαβ приt吨̸= 0изклаC类(Ω¯ αβ)你好C类1(Ωαβ)你好

   你好C类2(Ωα ∪Ωβ),удовлетворяющее краевым условиям

    

   u个

    

    

   Γα

   =ψ1(t、 θ),(2)

    

   u个

    

    

   Γβ

    

    

   =ψ2(t、 θ)，u

   σβ

    

    

   =τ(r、 θ)，ut吨

   σβ

    

   =ν(r、 θ),(3)

   при этомψ1(0, θ) =ψ2(0, θ), ψ2(β, θ) =τ(1, θ).

   n、 米

    

   Пусть{年k个

   (θ)}−система линейно независимых сферических функций порядкаn个,1�k个�k个n个

   2

    

   (米−2)!n个！k个n个= (n个+米−3)!（2）n个+米−2),W公司我(秒),我= 0,1, ...пространства Соболева.

   Имеет место [13]

   2

    

   Лемма 1.Пусть（f）(r、 θ)∈W公司我(秒).Если我�米−1, то ряд

   ∞k个n个

   （f）(r、 θ) =∑∑（f）k个 (第页)年k个

   (θ),(4)

   n个

   n个=0k个=1

   n、 米

   在第页�我−米+ 1, сходятся абсолютно и равномерно.

   2

    

   Лемма 2.Для того чтобы（f）(r、 θ)∈W公司我(秒),необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4)

   удовлетворяли неравенствам

    

   ∞k个n个

   |（f）1(第页)|�c（c）1,∑∑n个2我|（f）k个 (第页)|2 �c（c）2，c1，c2 =常数。

   0n个

   n个=1k个=1

   Черезψk个(t吨), τ¯k个(第页), ν¯k个(第页)обозначим коэффициенты разложения ряда (4) соответственно функций

   2n个n个

   ψ2(t、 θ), τ(r、 θ), ν(r、 θ).

   Тогда справедлива

   Теорема 1.Еслиψ1(t、 θ)∈W公司我(Γα)，ψ2(t、 θ)∈W公司我(Γβ), τ(r、 θ), ν(r、 θ)∈W公司我(秒)，l>三米,то задача 1

   

   22 2 2

   имеет единственное решение.

   Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2021年，第27页，№ 3. С. 7–13

   萨马拉大学的维斯特尼克。自然科学系列。2021年，第27卷，第3期，第7-13页9

    

2. Доказательство теоремы 1

В сферических координатах уравнение (1) в областиΩβимеет вид [13]

米−1 1

米−1

r（右）2

u个rr（无线电频率）+

(

u个第页 −δu+u个tt公司 = 0,(5)

)

δ≡ −∑

j个=1克j个 罪

1

米−j个−1

∂

θj个 ∂θj个

罪米−j个−1θj个

∂

∂θj个

，克1

= 1，克j个

=（sinθ1。。。罪θ

j个−1

)2，j>1.

Известно [13], что спектр оператораδсостоит из собственных чиселλn个 =n个(n个+米− −2)，个= 0,1。。。，

n、 米

каждому из которых соответствуетk个n个ортонормированных собственных функций年k个

(θ).

Так как искомое решение задачи 1 в областиΩβ принадлежит классуC类(Ω¯ β)你好C类2(Ωβ),то его можно

искать в виде

∞k个n个

u个(r、 θ，t) =∑∑u个¯k个(r、 t吨)年k个

(θ),(6)

n个

n个=0k个=1

n个

гдеu个¯k个(r、 t吨)−функции, подлежащие определению.

n、 米

n、 米

Подставляя (6) в (5), используя ортогональность сферических функций年k个

(θ)[13], будем иметь

u个¯k个

−

k个

米1

+

k个λn个k个

不合格率

第页u个¯数量+u个¯非关税壁垒 −第页2 u个¯n个= 0，k= 1，kn个，个= 0,1, ... ,(7)

при этом краевое условие (3) с учетом леммы 1 запишется в виде

u个¯k个(1，吨) =ψk个(t吨)，u¯k个(r、 β) =τ¯k个(第页)，u¯k个(r、 β) =ν¯k个(t吨)，k= 1，kn个，个= 0,1, ... .(8)

n个2没有

n个n

В формулах (7), (8) произведя заменуυ==================================================================================================================¯k个(r、 t吨) =u个¯k个(r、 t吨)−ψk个(t吨),получим

υ==================================================================================================================¯k个

n个

−

+ 米1k个

n个2n个

λn个k k k

不合格率

n个

第页υ==================================================================================================================¯数量 −第页2 υ==================================================================================================================¯n个+υ==================================================================================================================¯非关税壁垒=（f）¯(r、 t吨),(9)

υ==================================================================================================================¯k个(1，吨) = 0, υ¯k个(r、 β) =τk个(第页), υ¯k个(r、 β) =νk个(第页)，k= 1，kn个，个= 0,1, ... ,(10)

n个

（f）¯k个

n个

λn个k个

n非n

k k k k k k k k

n个(r、 t吨) =第页2 ψ2n个(t吨)−ψ2非关税壁垒, τn个(第页) =τ¯n个(第页)−ψ2n个(β), νn个(第页) =ν¯n个(第页)−ψ2纳特(β).

(1−米)

n个

Произведя заменуυ==================================================================================================================¯k个(r、 t吨) =第页

n个

2υ==================================================================================================================k个 (r、 t吨)задачу (9),(10) приведем к следующей задаче:

L（左）1υ==================================================================================================================k个 ≡υ==================================================================================================================k个

λ¯n个

+

υ==================================================================================================================k个 +υ==================================================================================================================k个

=（f）˜k个(r、 t吨),(11)

n个nrr

υ==================================================================================================================k千

第页2 n个

k个

ntt n个

k千

n个(1，吨) = 0, υn个(r、 β) =τ˜n个(第页), υn个t吨(r、 β) =ν~n个(第页),（12）

λ¯n个 =

[(米−1)(3−米)−4λn个]

，f˜k个 (r、 t吨) =第页

(米−1)2

（f）¯k个(r、 t吨), τ˜k个(第页) =第页

k k

米−1

2τ(第页), ν˜ (第页) =第页

k个

米−1

2ν(第页).

2不，不，不

Решение задачи (11), (12) ищем в видеυ==================================================================================================================k个 (r、 吨) =υ==================================================================================================================k个 (r、 t吨) +υ==================================================================================================================k个 (r、 t吨),гдеυ==================================================================================================================k个 (r、 t吨)−решение задачи

n个1n个2n个1n个

里尔k个

=（f）˜k个(r、 t吨), υk个(1，吨) = 0, υk个(r、 β) =υ==================================================================================================================k个

(r、 β) = 0,(13)

1没有1n个

2n个

аυ==================================================================================================================k个 (r、 t吨)−решение задачи

1n个1纳特

里尔k个

= 0, υk个(1，吨) = 0, υk个(r、 β) =τ˜k个(第页), υk个

(r、 β) =ν˜k个(第页),（14）.

2n个2n个

2没有

2nt个

刺绣

при этом пусть

υ==================================================================================================================k个

n个(r、 t吨) =

∞

∑

秒=1

R（右）秒(第页)T型秒(t吨),(15)

（f）˜k个

n个(r、 t吨) =

∞

∑

秒=1

k个

一s、 n个

k个

R（右）秒(第页), τ˜n个(第页) =

∞

∑

秒=1

k个

b条s、 n个

k个

R（右）秒(第页), ν˜n个(第页) =

∞

∑

秒=1

k个

e（电子）s、 n个

(t吨)R（右）秒(第页).(16)

Подставляя (15) в (13), с учетом (16) получим

R（右）开关磁阻继电器+

(λn个)

第页2 +µ

R（右）秒 = 0,0<r<1，右秒(1) = 0,|R（右）秒(0)|<∞,(17)

s、 n个

T型stt（标准时间） −µT秒(t吨) =一k个

(t吨)，β<t<0，T型秒(β) = 0，T型标准(β) = 0.(18)

Алдашев С.А. Корректность основной смешанной задачи для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе

10Aldashev S.A.多维Lavrentiev-Bitsadze方程主要混合问题的良好性

Ограниченным решением задачи (17) является [14, с. 404]

R（右）秒(第页) =√rJ公司ν (µs、 n个第页),(19)

гдеν=n个+(米−2), µs、 n个−нули функций Бесселя первого родаJ型ν (z（z）), µ=µ2.

2s、 n个

Задача (18) сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительноT型s、 n个(t吨)[12,

c.49]

s、 n个

T型s、 n个(t吨)−µ2

t吨

∫

(t吨−ξ)T型s、 n个(ξ)dξ=

β

t吨

∫

(t吨−ξ)一第页，n个(ξ)dξ，(20)

β

которое имеет решение и притом единственное.

Подставляя (19) в (16), получим

第页− 2（f）˜k个

1

n个(r、 t吨) =

∑∞

秒=1

1

s、 n个

1

一k个 (t吨)J型ν (µs、 n个第页)，第个− 2

∑∞

k个

τ˜n个(第页) =

∑∞

秒=1

k个

b条s、 n个

J型ν (µs、 n个第页),

(21)

n个

e（电子）

第页− 2ν˜k个 (第页) =

秒=1

k秒，n

J型ν (µs、 n个第页),0<r<1.

Рааб（21）-раиатоениерра的ра-ресеаре

1

∫

一k个−2√k个

n个

s、 n个(t吨) = 2[J型ν+1(µs、 n个)]

0

ξf˜(ξ、 t吨)J型ν (µ第页，n个ξ)dξ，（22）

1

b条k个−2¦Β √k个

s、 n个=2[J型ν+1(µs、 n个)]

ξτ˜n个 (ξ)J型ν (µ第页，n个ξ)dξ，

0

(23)

1

e（电子）k个−2∫ √k个

s、 n个=2[J型ν+1(µs、 n个)]

ξν˜n个 (ξ)J型ν (µ第页，n个ξ)dξ，

0

гдеµs、 n个，秒= 1,2, ...−положительные нули функций БесселяJ型ν (z（z）),расположенные в порядке возрастания

их величины.

Из (19),(20) получим решение задачи (13) в виде

∞

s、 n个

где一k个

(t吨)определяются из (22).

υ==================================================================================================================k个

1n个(r、 t吨) =

∑√

rT公司s、 n个(t吨)J型ν (µs、 n个第页),(24)

秒=1

Далее, под%

关于作者

S.A.阿尔达舍夫

通信作者。
电子邮件：aldash51@mail.ru
ORCID标识：0000-0002-8223-6900

物理和数学科学博士，数学和数学建模系教授

工具书类

补充文件