非线性脉冲二阶Dirichlet问题解的存在性和多重性

1简介及主要成果

本文研究脉冲微分方程Dirichlet问题解的存在性和多重性

哪里 λ 是一个参数，接近1， （f） ∈ L（左） 2 ( 0 , π ) , 我 j个 : R（右） → R（右） 是连续的， j个 = 1 , 2 , … , 对 , 对 ∈ N个 ，非线性 克 : [ 0 , π ] × R（右） → R（右） 满足Carathéodory条件， δ = δ ( x ) 表示集中在0处的Diracδ脉冲，即。， δ ( x ) = 0 对于 x ≠ 0 , δ ( 0 ) = + ∞ 、和 ∫ 负极 ∞ + ∞ δ ( x ) d日 x = 1 ，狄拉克-德尔塔脉冲 δ 在给定点应用 0 < 年 1 < 年 2 < ⋯ < 年 对 < π .

近年来，问题解的存在性和多样性(1.1)带有 我 j个 ≡ 0 , j个 = 1 , 2 , … , 对 ，已被许多作者广泛研究，参见[1–6]以及其中的参考。特别是Mawhin和Schmitt[1]用参数研究Dirichlet问题 λ 在形式的主特征值附近：

他们利用度理论和分歧理论证明了这个问题(1.2)已接近 λ = 1 至少有一个解决方案 λ ≥ 1 以及至少两种解决方案 λ < 1 前提是

哪里

此外，Chiappinell等人[2]表明存在 ν > 0 这样的问题(1.2)带有 λ near 1至少有一个解决方案 λ ≤ 1 和两种解决方案 1 < λ < 1 + ν 在下面 林 秒 → + ∞ 克 ( x , 秒 ) / 秒 = 0 以及Landesman-Lazer型条件。在这里，我们强调作品中解决方案的存在性和多样性[1,2]没有脉冲效应。

据我们所知，脉冲微分方程模型描述了其状态在特定时刻突然发生变化的演化过程，参见[7,8]. 最近人们对研究脉冲微分方程越来越感兴趣，例如[9–26]. 在[9]，Drábek和Langerová研究了脉冲微分方程的Dirichlet问题

哪里 μ ∈ R（右） 是一个参数， 0 < x 1 < ⋯ < x q个 < π , 克 ˜ ∈ C类 ( R（右） , R（右） ) 、和 我 我 ∈ C类 ( R（右） , R（右） ) 基于拓扑度参数，他们表明了这个问题(1.3)假设非线性，至少有一个解决方案 克 ˜ 和冲动 我 我 满足次线性增长 ± ∞ 注意，问题解决方案的多样性(1.3)英寸[9]未进行研究。

最近，史和陈[10]研究了脉冲微分方程的Dirichlet问题

具有 小时 ∈ C类 ( [ 0 , π ] × R（右） , R（右） ) 。他们展示了这个问题(1.4)至少有三种解决方案 我 我 满足次线性增长 ± ∞ 该方法是将莫尔斯理论与极大极小参数相结合。在[11]，Liu和Zhao考虑了脉冲微分方程的Dirichlet问题。利用变分方法结合三临界点定理，得到了多解的存在性。

尽管论文[10,11]得到了脉冲微分方程Dirichlet问题解的多重性结果，没有考虑该问题对应的近共振问题(1.3)或(1.4). 对于共振附近脉冲微分方程的Dirichlet问题，自然会问是否可能获得一些多重性结果。在本文中，我们展示了可以为以下问题开发此程序(1.1). 具体来说，我们将使用度理论和分岔理论来处理问题(1.1)在以下假设下：

（A1） 我 j个 : R（右） → R（右） 是连续的，并且

（A2） 克 : [ 0 , π ] × R（右） → R（右） 满足Carathé气味条件且存在 Γ ∈ L（左） 1 ( 0 , π ) 具有

（A3）存在限制 林 秒 → ± ∞ 克 ( x , 秒 ) = 克 ( x , ± ∞ ) 对于任何 x ∈ ( 0 , π ) 和 林 秒 → ± ∞ 我 j个 ( 秒 ) = 我 j个 ( ± ∞ ) 对于 j个 = 1 , 2 , … , 对 此外，以下不等式成立：

我们的主要结果如下：

本文的结构如下。第二节致力于证明问题弱解的正则性(1.1). 在第3节中，我们介绍了Mawhin和Schmitt的一些初步结果[6]这对于证明我们的主要结果是有用的。最后，在第4节中，我们给出先验的问题最终解的界(1.1)并完成定理1.1的证明。

2弱解的正则性

表示 小时 ≔ 小时 0 1 ( 0 , π ) 我们这么说 u个 ∈ 小时 是一个弱溶液问题的(1.1)如果积分恒等式

用于任何测试功能 五 ∈ 小时 。为了简单起见，我们使用以下符号：

让 D类 ( ℐ ) , ℐ ⊂ R（右） ，是上所有无限可微函数的集合 ℐ 具有紧凑的支撑 ℐ .

在续集中，我们证明了弱解的正则性 u个 ∈ 小时 .

事实上，我们刚刚证明了每个问题的弱解决方案(1.1)也是一个经典的解决方案。另一方面，很明显，每个经典解也是一个弱解。有了这个结果，我们可以寻找（经典）解，就像由(2.1). 因此，我们定义了标量积和范数 小时 ，分别由

和

此外，我们定义了运算符 J型 , S公司 , G公司 , 我 ∗ : 小时 → 小时 和一个元素 （f） ∗ 如下：

然后是问题(2.2), (2.3)则等价于算子方程

它遵循操作符的定义 J型 , S公司 , G公司 , 我 ∗ 和紧凑的嵌入 小时 ↪ C类 [ 0 , π ] 那个 J型 只是身份， S公司 是线性紧算子，并且 G公司 是一个非线性紧算子。此外，元素 （f） ∗ 定义也很明确，因为 （f） ∈ L（左） 2 ( 0 , π ) .

3分支和延续

让 E类 成为具有规范的真实巴拿赫空间 ‖ ⋅ ‖ E类 然后让 A类 : E类 × R（右） → E类 成为一个完全连续的操作员。考虑算子方程

它来自Mawhin和Schmitt[6]结果如下。