极小极大比问题的一种新的分枝定界算法

1引言

本文研究的极小极大分式规划（MFP）问题可以表示为以下非线性优化问题

哪里n个_我(x个)，−d日_我(x个),我= 1, 2, ⋯,第页,克_j个(x个),j个= 1, 2, ⋯,米，都是凸函数，并且我们假设目标函数中的每个分子和分母满足以下条件：

MFP问题，我们称之为广义极小极大凸凹比问题，是分式规划问题中最热门和最有用的领域之一，多年来吸引了实践者和研究者的兴趣[1——4]. 研究MFP问题的原因是两方面的。第一个是，从实际角度来看，MFP问题在同时优化多个速率的各个领域有着相当多的应用，例如电子电路的设计[5]生物计算麦芽有效DNA[6]、农村耕作制度[7]，神经网络[8]、管理和财务[9]和系统标识[10——12]仅举几个例子。另一个原因是，从研究的角度来看，MFP问题推广了极大极小线性比问题[13——15]并且它既不是拟凹的也不是拟凸的，因此它可能具有多个局部最优，其中大多数都不是全局最优(例8.和图1)因此，它带来了重大的理论和计算挑战。由于这些原因，为MFP问题开发新的解决方法仍然是非常必要和有意义的。

图1

[0,2；0,2]英寸以上目标函数的三维图像例7.

多年来，已有几种全局优化方法可用于解决特殊情况下的问题（MFP），包括参数规划方法[16]，内部点算法[17]，单调优化方法[18]以及那些类型的dinkelbach算法[19,20]. 当（MFP）的目标函数中的分子和分母都是仿射的时，Feng提出了两种确定性算法来解决MFP问题的特殊情况[14,15]. 最近，焦和刘使用两步松弛技术提出了一种新的全局优化算法，用于求解具有线性比率和约束的MFP[13]当目标和约束中的数据都是不确定性时，Jeyakumar等人提出了鲁棒极小极大分式规划问题的强对偶[21].Lai和Huang为一个涉及的极大极小规划问题建立了充分的最优性条件第页分数的n个–广义凸性下的集函数[22]。MFP问题的进展远比上面提到的要先进——还有许多关于（MFP）及其特殊情况的其他研究。尽管有这些不同的贡献，但最近的工作中提出的大多数MFP知识只关注MFP问题的最优性条件或特殊情况下的对偶理论，现有算法只能找到其局部最优解，或只能求解线性形式的MFP问题。就我们所知，对于本文所研究的一般（MFP），很少开发出全局优化算法。

本文提出了一种全局求解（MFP）的一维结果整数分枝定界算法。首先，建立了等价问题的简明凸松弛规划（EMFP）。然后描述了结果分支定界算法中的一些关键操作，特别是区间约简技巧可以显著提高该算法的计算效率。第三，将加速技术和自适应划分规则结合到分支定界方案中，开发了该算法。数值实验结果表明，该算法比Refs算法具有更高的计算效率和更强的鲁棒性。[13]和[14,15].

本研究的其余部分按以下方式组织。在第2节通过引入辅助变量，将MFP问题转化为等价问题（EMFP）。然后在中建立了（EMFP）的凸松弛规划问题第3节本节还介绍了线性松弛规划的特殊情况，即目标函数中的分子和分母以及约束都是线性的。第4节给出了全局求解（MFP）的分枝定界算法中的一些关键操作。在中引入了（MFP）的一维结果区间分枝定界算法第4节。中报告了最近使用该算法的一些测试示例的数值结果第5节，最后一节给出了一些结论。

2等效问题

为了解决这个问题，我们将首先通过将目标函数中的所有比率与辅助变量关联起来，将问题（MFP）转换为等价问题（EMFP）。为此，我们首先将一些符号表示如下：

哪里n个_我,d日_我可以利用n个_我(x个)和d日_我(x个)分别是。通过引入正辅助变量x个_n个+1，我们可以导出MFP问题的以下等效问题（EMFP0）。

通过使用变量等价替换策略并更改符号，可以将（EMFP0）重新格式化为以下形式

注意，我们将（EMFP0）转换为形式（EMFP）的原因是通过从凹函数中分离线性部分d日_我(x个)我们可以使凸松弛规划更接近初始问题（MFP），此操作将显著提高算法的效率，数值实验证明了这一点。此外，在EMFP问题中，只有第一组约束中的中间部分是非凸的。这为我们建立初始问题的凸松弛问题带来了极大的便利。问题（MFP）和（EMFP）之间的等价性可以从以下定理的意义上获得。

3凸松弛规划问题

在本节中，我们构造了（EMFP）的一个凸规划松弛D类。为了便于演示，我们假设D类= [我_n个+1,u个_n个+1]表示初始结果间隔D类⁰（EMFP），或由算法中的分支操作生成的修改间隔。接下来，我们描述了对应于D类.

为此，我们只需要考虑（EMFP）中的非凸约束。为了方便起见，我们用符号表示这些约束函数，并将其编号如下：

假设v（v）,v（v）表示到目前为止已知的目标值的最佳上界和下界（如果没有找到这样的值，则设置v（v）:= +∞,v（v）：=-∞），并让M（M）=最小值{v（v）,u个_n个+1}，然后我们可以得到一个低估函数小时_我(x个)其可以公式化为：

基于以下定义M（M）以及n个_我(x个)和d日_我(x个)，这不难看出 小时~我(x个) 是凸的，为小时_我(x个),我= 1, 2, ⋯,第页因此，根据上述讨论，对于任意区域X（X）^k个×D类^k个⊆X（X）⁰×D类⁰，我们可以描述对应于结果区间的凸松弛规划问题D类如下：

4算法及其收敛性

在本节中，我们将首先介绍分支定界算法的一些关键操作，然后将提出基于前一个凸松弛规划的全局优化算法，最后，我们将从理论上证明当前算法的全局收敛性。

5数值实验和结果

本节的目的是演示我们算法对MFP问题的计算性能。为此，在包含2.40 GHz Intel Core i5处理器和4GB RAM的个人计算机上进行了近期工作中的一些数值实验。代码库用Matlab2014a编写，并为线性松弛问题接口LINPROG。比较结果列于表1此外，为了评估所提算法的可行性和稳定性，本部分最后给出了一个随机生成的测试问题，并在中演示了随机实验结果表2,表3、和图2,图3。在本节中，所有问题均以1×10的相对/绝对最优容差解决⁻⁶，我们使用Iter、Nods和Time分别表示迭代次数、内存中存储的最大节点数和求解过程中所需的CPU时间。

图2

随机实验结果8与参考文献的比较。[13].

图3

随机实验结果8与参考文献的比较。[15].