拟上的一个Ulam稳定性结果-b条-类度量空间

设X为非空集，γ：X×X→ [0, + ∞)是满足以下条件的映射

所有x，y，z的条件∈X:

（ML1)γ(x个,年）=0⇒x个=y；

（ML2)γ(x个,y） =γ(y、 x个);

（ML3)γ(x个,年）≤γ(x、 z（z）) +γ(z（z）,年).

那么映射γ被称为度量类，并且对(十、 γ)称为类韵律空间（错位空间）。

显然，在X与公制的条件一致，但γ(x个,x个)通常不需要为0。因此，度量空间总是类度量空间，但类度量空间一般不是度量空间。Alghamdi等人[10]结合了b条-最近度量空间和类度量空间引入了所谓的b条-类似度量的空间。

[10]).设X是非空集，设γ_b条:X×X（X）→[0, + ∞)成为这样一种功能：

x、 y，z∈X和常数s≥1,满足以下条件:

（BML1) γ_b条(x、 年)=0⇒x个=y；

（BML2）γ_b条(x、 年)= γ_b条(y、 x个);

（BML3）γ_b条(x、 年)⇒秒[γ_b条(x、 z（z）) +γ_b条(z、 年)].

地图γ_b条称为b-metric-like和(十、 γ_b条)称为具有常数s的b-类度量空间。

让(十、 γ_b条)成为b条-格律般的空间。对于任何x个∈X当r>0时，集合B(x、 对) = {y∈X: |γ_b条(x、 y）-γ_b条(x、 x个)|<r}被称为以x个半径r＞0。

也是在最近，Zhu等人[11]定义了拟拟米空间的概念，证明了拟米空间上的一些不动点定理。接下来给出了类准米线的定义。

([11]).设X是非空集。映射ρ:X×X（X）→[0, + ∞)被称为准计量类，如果

对于所有x，y，z∈X,

（QML1）ρ(x、 年)=0⇒x=y；

（QML2）ρ(x、 z（z）)≤ρ(x、 年)+ ρ(y、 z（z）).

这对(X,ρ)称为准度量空间。

由于拟米类空间不需要对称条件，因此每当ρ(x、 年）=0我们可能有ρ(y、 x）≠0.因此，我们不使用（QML1），而是使用[12],

在他们对拟米类空间的结果之后，Zhu等人[13]合并b条-度量空间和拟度量类空间，并引入了拟的概念-b条-类似度量的空间。作者还给出了一些关于拟-b条-类似度量的空间。另一方面，也是最近的Klin eam和Suanoom[12]研究了拟上的循环Banach和Kannan型压缩映射-b条-格律般的。接下来我们给出拟的定义-b条-类似度量的空间。

([12]).非空集X上的拟b-矩阵类是函数ρ_b条:X×X→[0, + ∞)这样的话

对于所有x，y，z∈X和常数s> 1,

（QML1）ρ_b条(x、 年) =ρ_b条(y、 x个) = 0 ⇒x=y；

（QML2）ρ_b条(x、 z（z）)≤秒[ρ_b条(x、 z（z）)+ ρ_b条(z、 年].

这对(Xρ，_b条)称为具有常数s的拟b类米空间。

灵感来自Klin-eam和Suanoom的工作[12]我们给出以下准-b条-类似度量。

例1.6。函数ρ_b条: ℝ × ℝ [0, ∞)定义为

对于所有x，y∈ℝ是一个准b-米级的ℝ常数s=2。

功能:ρ_b条: ℝ x个ℝ → [0, ∞)定义为

对于所有x，y∈ℝ是一个准b-米级的ℝ使用常量秒= 8.

拟上的一些拓扑概念-b条-接下来定义类度量空间。

([13]).让(十、 ρ_b条)是一个拟b类空间。

1A序列{ξ_n个}⊂据说X收敛到一点ξ ∈X当且仅当

2A序列{ξ_n个}⊂如果林_{m、 n个→ ∞}ρ_b条（ξ_n个,ξ_米)和林_{m、 n个→ ∞}ρ_b条(ξ_n个,ξ_米)存在且是有限的。

3. (十、 ρ_b条)被认为是一个完全的拟b-度量类空间，当且仅当对于每个Cauchy序列{ξ_n个}在X中存在一些ξ∈X，这样

4A序列{ξ_η}C类如果X是0-Cauchy序列

5（X，ρ_b条)如果对于每个0-Cauchy序列{ξ_η}在X中存在一个ξ ∈X，这样

6地图ƒ:Χ→X在ξ₀ϵX，如果每个ε>0中，存在δ>0这样f(B(ξ_ο, δ))⊂Β(ξ₀),ε).

上述定义清楚地表明，在-b条-类度量空间(十、 ρ_b条)，每个0-柯西序列都是柯西序列，并且非常完整的拟-b条-类度量空间也是0-完全的。然而，请注意，这些说法的转换可能不是真的。

由于交换对称条件在拟度量型空间上是不必要的，因此我们需要回忆右柯西序列和左柯西序列以及右柯西和左完备定义。

让(十、 ρ_b条)是一个拟b类空间。

（i）A序列{ξ_n个}在X中称为左柯西序列当且仅当每个ε>0存在一个正整数(ε)这样ρ_b条(ξ_n个, ξ_米)<ε（对于所有n）≥m> N；

（ii）A序列{ξ_n个}在X中称为右柯西序列当且仅当每个ε>0存在一个正整数(ε)这样ρ_b条(ξ_n个, ξ_米)<ε，对于所有m≥n>n；

（iii）如果每个左柯西序列都是左完备的，则称拟b-矩阵类空间为左完备空间｛ξ_n个}X是收敛的,

（iv）如果每个右柯西序列都是右完备的，则称拟b-矩阵类空间为右完备的{ξ_n个}X是收敛的,

（五）拟b-矩阵空间是完备的当且仅当X中的每个Cauchy序列是收敛的。

从定义1.9可以明显看出，序列{ξ_n个}在拟b-类空间中是Cauchy当且仅当它同时是左-柯西和右-柯西，而拟b-型空间是完备的当且仅如果它是左完备和右完备。

在下面的讨论中，我们将使用所谓的比较函数及其变体。这些功能由Berinde引入[14]和Rus[15]. 接下来我们给出比较的定义(c（c）)-比较和(b条)-比较函数。应该提到的是贝林德[14]引入了(c（c）)-比较函数，以研究由不动点方法生成的迭代序列的收敛特性，以及(b条)-要在上使用的比较函数b条-度量空间（请参见[16,17]详细信息）。

CF（参见[14, 15]). 比较函数是一个递增的映射φ: [0,+∞) → [0,+∞)满足φ^n个(t吨)→ 0中，n个→ ∞对于任何t∈ [0, ∞).

共因失效（参见[14])A类（c）-比较函数是函数φ_c（c）: [0, +∞) → [0, +∞)令人满意的

(c（c）₁)φ_c（c）正在增加,

(c（c）₂)存在k₀∈ ℕ, a∈（0,1）和一系列收敛的非负项∑k个=1∞v（v）k个这样的人φc（c）k个+1t吨≤一φc（c）k个t吨+v（v）k个对于k≥k个₀和任何t∈ [0, ∞).BCF（参见[16，17]）对于实数s≥ 1（b） -比较函数是函数φ_b条: [0,+∞) → [0,+∞)满足条件

(b条₁)φ_b条，正在增加,

(b条₂)存在k₀∈ ℕ,一∈ (0, 1)和a收敛的非负项级数∑k个=1∞v（v）k个这样的话秒k个+1φb条k个+1t吨≤一秒k个φb条k个t吨+v（v）k个,如果o个第页k个≥k个0和任何t∈ [0, ∞).

在后面，我们用Φ表示比较函数的类(c（c）)-通过Φ比较函数_c（c）以及(b条)-通过Φ比较函数_b条显然(b条)-比较函数减少为(c（c）)-比较函数秒=1.此外(c（c）)-比较函数是一种比较函数。

在进一步的讨论中，我们需要以下基本属性。

（贝林德[14]，俄罗斯[15]).对于比较函数φ: [0, +∞) →[0, +∞)以下保持:

（1）每个迭代φ^k个φk的≥ 1,也是一个比较函数；

(2)φ在0；

(3)φ(t吨)<t，对于任何t>0

([17]).tora（b）-比较函数φ_b条: [0, +∞) → [0, +∞)以下保持:

（1）系列∑k个=0∞秒k个φb条k个t吨(0对任何t收敛∈ [0, +∞);

(2)函数b_秒: [0, +∞) → [0, +∞)由定义b条秒t吨=∑k个=0∞秒k个φb条k个t吨,t吨∈[0,∞)是增加并持续于0

有关比较函数和示例的更多详细信息，请参阅[14,15].

最后，我们回顾一下α-Samet引入的容许映射[5].

A映射T:X→X称为α-可容许ξ，n∈X我们有

其中α:Χ ×X→ [0, ∞)是给定的函数。

有关以下方面的最新结果α-容许映射，请参见[18,19]. 在他们的工作中Samet等人[5]，已研究α — ψ-压缩映射及其不动点。

最近，Gülyaz[8]已定义α — ψ-拟框架下的压缩映射-b条-类似度量的空间。

让(十、 ρ_b条)是一个拟b-度量类空间，并且:X→X是一个给定的映射。我们说，如果存在两个函数a，则T是α-ψ-压缩映射:Χ×X→ [0, ∞)和ψ∈Φ_b条这样所有人ξ、 n∈十、 我们有

古利亚兹[8]还证明了不动点的存在性α — ψ-拟上的压缩映射-b条-类似度量的空间。

让(X、 ρ_b条)是一个具有常数s的0-完备拟b-矩阵空间≥ 1.假设T:X→X是α-ψ-压缩映射。假设也是这样

（i）T是α-可受理；

（ii）存在ξ₀∈X，这样α(T型ξ₀, ξ₀) ≥ 1和α(ξ₀,Τξ₀) ≥ 1;

（iii）T是连续的,

那么T有一个固定点。

让(十、 ρ_b条)是一个具有常数s的0-完备拟b-矩阵空间≥ 1.假设T:X→X是α-ψ-压缩映射。还假设

（i）T为α-容许值；

（ii）存在ξ₀∈X使得α（Tξ₀, ξ₀)≥ 1和α(ξ₀, Τ ξ₀)≥ 1;

（iii）如果{ξ_n个}是中收敛于ξ且满足α的序列(ξ_n个+1, ξ_n个)≥ 1和α(ξ_n个, ξ_n+1个) ≥ 1对于所有n

那么，存在一个子序列{ξ_n个(k个)}属于{ξ_n个}这样α(ξ, ξ_n个(k个)))≥ 1和α (ξ_n个(k个), ξ)≥ 1对于所有k。

那么T有一个固定点。

让(十、 ρ_b条)是一个具有常数s的拟b-度量类空间≥ 1并设α:Χ×X→ [0, ∞)和

φ_b条∈ Φ_b条是两个函数。

（i）α-φ_b条收缩映射T:X→X属于类型(A类)如果

哪里

（ii）α-φ_b条收缩映射T:X→X为类型(B)如果

哪里

（iii）α-φ_b条收缩映射T:X→X为类型(C类)如果

哪里

注意ρ_b条(ξ，个)≤Κ(ξ，个)≤Ν(ξ，η)≤Μ(ξ，个)为所有人ξ，个∈Χ。

我们的第一个定理给出了类（a）中映射存在不动点的条件。

设（X，ρ_b条)是一个具有常数s的0-完备拟b-矩阵空间≥ 1.假设T:X→X是α-φ_b条类型的压缩映射(A类)满足以下要求:

（i）T是α-容许的；

（ii）存在ξ₀∈X使α(Τξ₀,ξ₀)≥ 1和α(ξ₀, Τξ₀)≥ 1;

（iii）T是连续的；

那么T有一个不动点。

像往常一样，我们取ξ₀∈X这样的话α(Τξ₀, ξ₀)≥1和α（ξ₀,T型ξ₀)≥1并构造序列{ξ_n个}作为

请注意，如果对于某些n个₀≥0我们有ξn个0=ξn个0+1然后进行证明，即。，ξn个0是的固定点Τ.假设ξ_n个≠ξ_n个+1为所有人n个≥ 0. 由于准b-类度量空间中缺乏对称条件，我们将证明序列{ξ_n个}既有左也有右——柯西。

从条件来看(我)和(ii（ii）)，我们有

和

或者，一般来说

关于（8），带有ξ的收缩条件（3）=ξ_n个+1和n个=ξ_n个成为

哪里

观察中的最后一个学期Μ(ξ_n个, ξ_n-1个)，根据三角形不等式

因此，要么Μ(ξ_n个，ξ_n-1个)=最大值{ρ_b条(ξ_n+1个,ξ_n个), ρ_b条(ξ_n个, ξ_n-1个)}或收(ξ_n个, ξ_n-1个)≤ρ_b条(ξ_n个, ξ_n+1个). 现在，我们将检查所有三个案例。

案例1。假设Μ(ξ_n个, ξ_n-1个)= ρ_b条(ξ_n+1个,ξ_n个)对一些人来说n个≥1。自ρ_b条(ξ_n+1个,ξ_n个)>0，从（9）开始，我们有

这是一个矛盾。因此，对于所有人来说n个≥1或M（M）(ξ_n个, ξ_n-1个)= ρ_b条(ξ_n个, ξ_n-1个)或M（M）(ξ_n个, ξ_n-1个) ≤ρ_b条（ξ_n个, ξ_n+1个).

案例2。假设Μ(ξ_n个, ξ_n个-1)= ρ_b条(ξ_n个，ξ_n个-1)对一些人来说n个≥ 1. 关于φ_b条∈ Φ_b条和（9），我们得到

对于所有n≥1。归纳起来，我们得到

反复应用三角形不等式(QBML公司₂)关于（11）k个≥1，我们得到

定义

我们获得

由于假设ξ_n个≠ξ_n个+1为所有人n个∈ ℕ和引理1.13，我们得出如下结论：∑第页=0∞秒第页φb条第页(ρb条(ξ1,ξ0))收敛于某些S公司≥ 0. 因此，林n个→∞ρb条(ξn个+k个,ξn个)=0或者，换句话说，为了m>n

案例3。假设Μ(ξ_n个, ξ_n个-1)≤ρ_b条(ξ_n个, ξ_n个+1)对一些人来说n个≥ 1. 利用以下事实φ_b条∈Φ_b条和不等式（9），我们得到

为所有人n个≥ 1. 另一方面，如果我们把ξ=ξ_n个和η =ξ_n个+1在（3）中，考虑到（8），我们发现

哪里

为所有人n个≥ 1. 注意，应用三角形不等式(QBML公司₂)到最后一学期Μ(ξ_n个-1, ξ_n个)我们有