3主要成果
定义分段函数
u个~t吨=1Γq个J型一+1−q个u个t吨k个+t吨−t吨k个q个−1+1Γq个∫t吨k个t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨k个，t吨k个+1w个小时e（电子）第页e（电子）k个=0，1，2，…，米
具有J型一+1−q个u个t吨k个+=J型一+1−q个u个t吨k个−+Δk个u个t吨k个−.由定义2.2, ..., 我们有
D类一q个+u个~t吨=1Γn个−q个Γq个d日d日t吨∫一t吨t吨−η1−q个−1J型一+1−q个u个t吨k个+η−t吨k个q个−1+∫t吨k个n个η−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒d日η=1Γn个−q个Γq个d日d日t吨∫t吨k个t吨t吨−η1−q个−1J型一+1−q个u个t吨k个+η−t吨k个q个−1+∫t吨k个n个η−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒d日η=（f）t吨，u个t吨|t吨∈t吨k个，t吨k个+1
所以，ũ（吨）满足的分数导数条件(1)，它不满足条件(3)因此，我们假设ũ（吨）是求脉冲系统精确解的近似解(1).
定理3.1设ξ为常数。函数u（t）是系统的一般解(1)当且仅当u（t）满足分数阶积分方程
u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈一，t吨1，u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+∑我=1k个Δ我u个t吨我−Γq个t吨−t吨我q个−1−∑我=1k个ξΔ我u个t吨我−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1+（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨我（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨我q个−1−∫t吨我t吨t吨−秒q个−1+（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨k个，t吨k个+1，(6)
前提是(6)存在. 证明.“必要性”。首先，我们可以很容易地验证等式（6）满足隐藏条件(3).
接下来，将Riemann-Liouville分数导数等式（6）对于每个t吨∊ (t吨k个，t吨k个+1]（其中k个= 0, 1, 2, ...,米)，我们有
D类一q个+u个t吨=D类一q个+u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1+（f）秒，u个秒d日秒+∑我=1k个Δ我u个t吨我−Γq个t吨−t吨我q个−1−∑我=1k个ξΔ我u个t吨我−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1+（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨我（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨我q个−1−∫t吨我t吨t吨−秒q个−1+（f）秒，u个秒d日秒=（f）t吨，u个t吨t吨≥一−ξ∑我=1k个Δ我u个t吨我−（f）t吨，u个t吨t吨≥一−（f）t吨，u个t吨t吨≥t吨我t吨∈t吨k个，t吨k个+1=（f）t吨，u个t吨|t吨∈t吨k个，t吨k个+1.
所以，等式（6）满足系统的Riemann-Liouville分数导数(1).使用(6)对于每个t吨k个（此处k个=1,2,…，米），我们得到
J型一+1−q个u个t吨k个+−J型一+1−q个u个t吨k个−=1Γ1−q个∫一t吨t吨−η1−q个−1u个ηd日ηt吨→t吨k个+−1Γ1−q个∫一t吨t吨−η1−q个−1u个ηd日ηt吨=t吨k个=Δk个u个t吨k个−−ξΔk个u个t吨k个−u个一+∫一t吨（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨k个（f）秒，u个秒d日秒−∫t吨k个t吨（f）秒，u个秒d日秒t吨→t吨k个=Δk个u个t吨k个−.
因此，等式（6）满足脉冲条件(1).然后，等式（6）满足系统条件(1).
“充分性”。我们证明了系统的解(1)满足等式（6）通过数学归纳法。由定义2.1，解决方案(1)满足
u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈一，t吨1.(7)
由(7)，我们有J型一+1−q个u个t吨1+=J型一+1−q个u个t吨1−+Δ1u个t吨1−=u个一+Δ1u个t吨1−+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒，和近似解ũ（吨）（用于t∊(t吨1，t吨2])由提供
u个~t吨=1Γq个J型一+1−q个u个t吨1+t吨−t吨1q个−1+1Γq个∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒=u个一+Δ1u个t吨1−+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒，Γq个t吨−t吨1q个−1+1Γq个∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨1，t吨2，(8)
具有e（电子）1(t吨) =u个(t吨) –ũ(t吨)的t吨∊ (t吨1，t吨2]. 由
林Δ1u个t吨1−→0u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨1，t吨2，
我们得到了
林Δ1u个t吨1−→0e（电子）1t吨=林Δ1u个t吨1−→0u个t吨−u个~t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒Γq个t吨−t吨1q个−1−1Γq个∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒.
然后，我们假设
e（电子）1t吨=σΔ1u个t吨1−林Δ1u个t吨1−→0e（电子）1t吨=σΔ1u个t吨1−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨1q个−1−∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒.
其中函数σ（.）是σ（0）=1的待定函数。因此，
u个t吨=u个~t吨+e（电子）1t吨=1Γq个σΔ1u个t吨1−u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+Δ1u个t吨1−t吨−t吨1q个−1+1−σΔ1u个t吨1−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨1q个−1+∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨1，t吨2.(9)
使用(9)，我们得到J型一+1−q个u个t吨2+=J型一+1−q个u个t吨2−+Δ2u个t吨2−=u个一+Δ1u个t吨1−+Δ2u个t吨2−+∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒.因此，近似解ũ（吨）（用于t∊(t吨2，t吨三])由提供
u个~t吨=1Γq个J型一+1−q个u个t吨2+t吨−t吨2q个−1+1Γq个∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒=u个一+Δ2u个t吨1−+Δ2u个t吨2−∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒，Γq个t吨−t吨2q个−1+1Γq个∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨2，t吨三(10)
具有e（电子）2(t吨) =u（t）–ũ(t吨)的t∊(t吨2，t吨三]. 此外，通过(9)，确切的解决方案u（吨）属于(1)满足
林Δ1u个t吨1−→0，Δ2u个t吨2−→0u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒，（f）o（o）第页t吨∈t吨2，t吨三，林Δ1u个t吨1−→0u个t吨=1Γq个σΔ2u个t吨2−u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+Δ2u个t吨2−t吨−t吨2q个−1+1−σΔ2u个t吨2−u个一+∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨2q个−1+∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨2，t吨三，
林Δ2u个t吨2−→0u个t吨=1Γq个σΔ1u个t吨1−u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+Δ1u个t吨1−t吨−t吨1q个−1+1−σΔ1u个t吨1−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨1q个−1+∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨2，t吨三.
因此，
林Δ1u个t吨1−→0，Δ2u个t吨2−→0e（电子）2t吨=林Δ1u个t吨1−→0，Δ2u个t吨2−→0u个t吨−u个~t吨=1Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨2q个−1−∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒，(11)
林Δ1u个t吨1−→0e（电子）2t吨=林Δ1u个t吨1−→0u个t吨−u个~t吨=σΔ2u个t吨2−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨2q个−1−∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒，(12)
林Δ2u个t吨2−→0e（电子）2t吨=林Δ2u个t吨2−→0u个t吨−u个~t吨=1Γq个σΔ1u个t吨1−u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+Δ1u个t吨1−t吨−t吨1q个−1−Δ1u个t吨1−t吨−t吨2q个−1+1−σΔ1u个t吨1−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨1q个−1−∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+Δ1u个t吨1−+∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨2q个−1−∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒.（13）
然后，通过(11)–（13），我们获得
e（电子）2t吨=1Γq个[σ(Δ1(u个(t吨1−)))+σ(Δ2(u个(t吨2−)))−1]u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+Δ1(u个(t吨1−))(t吨−t吨1)q个−1−Δ1(u个(t吨1−))(t吨−t吨2)q个−1+1−σu个t吨1−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨1q个−1+∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−σ(Δ2(u个(t吨2−)))u个一+∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨2q个−1+∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒.(14)
因此，
u个t吨=u个~t吨+e（电子）2t吨=1Γq个[σ(Δ1(u个(t吨1−)))+σ(Δ2(u个(t吨2−)))−1]u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+Δ1(u个(t吨1−))(t吨−t吨1)q个−1−Δ2(u个(t吨2−))(t吨−t吨2)q个−1+1−σu个t吨1−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨1q个−1+∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+1−σ(Δ2(u个(t吨2−)))u个一+∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨2q个−1+∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈(t吨2，t吨三].(15)
此外t吨2→ t吨1，我们有
林t吨2→t吨1D类一q个+u个t吨=（f）t吨，u个t吨，q个∈C类，一n个d日ℜq个∈0，1，t吨∈(一，t吨三]一n个d日t吨≠t吨1一n个d日t吨≠t吨2，ΔJ型一+1−q个u个t吨=t吨k个=J型一+1−q个u个t吨k个+−J型一+1−q个u个t吨k个−=Δk个u个t吨k个−，k个=1，2，J型一+1−q个u个一=u个一，u个一∈C类，(16)
=D类一q个+u个t吨=（f）t吨，u个t吨，q个∈C类，一n个d日ℜq个∈0，1，t吨∈(一，t吨三]一n个d日t吨≠t吨1，ΔJ型一+1−q个u个t吨=t吨1=J型一+1−q个u个t吨1+−J型一+1−q个u个t吨1−+J型一+1−q个u个t吨2+−J型一+1−q个u个t吨2−=Δ1u个t吨1−+Δ2u个t吨2−，J型一+1−q个u个一=u个一，u个一∈C类，(17)
使用(9)和(15)，我们有1个–σ(Δ1+ Δ2) = 1 –σ(Δ1) + 1 –σ(Δ2). 出租ρ(z（z）) = 1 –σ(z（z）)，我们得到ρ(z（z）+w个) =ρ(z（z）) +ρ(w个)用于∀z（z），w个∊ ℂ. 那么，ρ(z（z）)ξz，这里ξ是一个常数。因此，
u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+Δ1u个t吨1−Γq个t吨−t吨1q个−1=ξΔ1u个t吨1−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒t吨−一q个−1−∫t吨1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨1，t吨2.(18)
和
u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+Δ1u个t吨1−Γq个t吨−t吨1q个−1+Δ2u个t吨2−Γq个t吨−t吨2q个−1−ξΔ1u个t吨1−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨1q个−1+∫t吨我t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−ξΔ2u个t吨2−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨2（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨2q个−1+∫t吨2t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨2，t吨三.（19）
接下来，针对t∊(t吨n个，t吨n+1]，假设
u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+∑我=1n个Δ我u个t吨我−Γq个t吨−t吨我q个−1−∑我=1n个ξΔ我u个t吨我−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨我（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨我q个−1−∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨n个，t吨n个+1.(20)
使用(20)，我们有
J型一+1−q个u个t吨n个+1+=J型一+1−q个u个t吨n个+1−+Δn个+1u个t吨n个+1−=u个一+∑我=1n个+1Δ我u个t吨我−+∫一t吨n个+1（f）秒，u个秒d日秒
因此，近似解ũ（吨）对于t∊(t吨n+1，t吨n+2]由提供
u个~t吨=1Γq个J型一+1−q个u个t吨n个+1++t吨−t吨n个+1q个−1+1Γq个∫t吨n个+1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒=u个一+∑我=1n个+1Δ我u个t吨我−+∫一t吨n个+1（f）秒，u个秒d日秒1Γq个t吨−t吨n个+1q个−1+1Γq个∫t吨n个+1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨n个+1，t吨n个+2(21)
具有e（电子）n+1(t吨) =u个(t吨)——ũ(t吨)的t∊(t吨n个+1，t吨n个+2]. 由(20)，精确解u（吨）属于(1)满足
林Δ1u个t吨1−→0，u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨n个+1，t吨n个+2，⋮Δn个+1u个t吨n个+1−→0
林Δj个u个t吨j个−→0，1≤j个≤n个+1u个t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+∑1≤我≤n个+1，一n个d日我≠j个Δ我u个t吨我−Γq个t吨−t吨我q个−1−∑1≤我≤n个+1，一n个d日我≠j个ξΔ我u个t吨我−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨我（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨我q个−1−∫t吨我t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页∈t吨n个+1，t吨n个+2.
因此，
林Δ1u个t吨1−→0，e（电子）n个+1t吨=林Δ1u个t吨1−→0，u个t吨−u个~t吨⋮⋮Δn个+1u个t吨n个+1−→0Δn个+1u个t吨n个+1−→0=1Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨n个+1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨n个+1q个−1−∫t吨n个+1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒，(22)
林Δj个u个t吨j个−→0，1≤j个≤n个+1e（电子）n个+1t吨=林Δj个u个t吨j个−→0，1≤j个≤n个+1u个t吨−u个~t吨=1Γq个1−∑1≤j个≤n个+1一n个d日我≠j个ξΔ我u个t吨我−u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+∑1≤j个≤n个+1一n个d日我≠j个Δ我u个t吨我−t吨−t吨我q个−1+∑1≤j个≤n个+1一n个d日我≠j个ξΔ我u个t吨我−u个一+∫一t吨我（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨我q个−1+∫t吨我t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∑1≤j个≤n个+1一n个d日我≠j个Δ我u个t吨我−+∫一t吨n个+1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨n个+1q个−1−∫t吨n个+1t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒.(23)
由(22)和(23)，我们获得
e（电子）n个+1t吨=1Γq个1−∑1≤我≤n个+1ξΔ我u个t吨我−u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+∑1≤我≤n个+1Δ我u个t吨我−t吨−t吨我q个−1−∑1≤我≤n个+1Δ我u个t吨我−t吨−t吨我q个−1+∑1≤我≤n个+1ξΔ我u个t吨我−u个一+∫一t吨我（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨我q个−1+∫t吨我t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨n个+1（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨n个+1q个−1+∫t吨我t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒.(24)
因此，
u个t吨=u个~t吨+e（电子）n个+1t吨=u个一Γq个t吨−一q个−1+1Γq个∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒+∑我=1n个+1Δ我u个t吨我−Γq个t吨−t吨我q个−1−∑我=1n个+1ξΔ我u个t吨我−Γq个u个一t吨−一q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒−u个一+∫一t吨我（f）秒，u个秒d日秒t吨−t吨我q个−1+∫一t吨t吨−秒q个−1（f）秒，u个秒d日秒（f）o（o）第页t吨∈t吨n个+1，t吨n个+2.
那么，系统的解决方案(1)满足等式（6）所以，脉冲系统(1)等于积分方程（6）。现在完成举证。⏱
