中的权和度的极限定理N个-交互随机图模型

我们模型的无标度特性意味着如下（请参见[16]). 设N≥3是固定的。让X(n个,w个)表示n步后权重w的顶点数。让0 <第页< 1,q个>0中，第页>0和（1-第页)(1 –q个) > 0.那么对于所有w=1，2，：：：我们有

几乎可以肯定，如n→ ∞, 哪里x_w个,w个= 1, 2, ...,正数令人满意吗

作为w→ ∞,具有C类0=第页Γ(1+β+1α)/(αΓ(1+βα)).让U(n个,d日)表示n步后d次顶点数.那么，对于任何d≥N个– 1我们有

a.s.表示为n→ ∞,其中u_d日,d日=N个– 1,N个, ...,是正数

作为d→ ∞,哪里C类1=第页αα2−1+1αΓ1+β+1α/α2Γ1+βα.

在我们的模型中，除了顶点之外，团还具有权重。结果表明，M-团的权重分布也是幂律.让N≥ 3固定，并使M固定1 <M（M）≤N并用X表示_M（M）(n个,w个)n步后具有权重w的M-团的数量。如果p> 0和r之一> 0或(1 –第页)q个> 0,然后

几乎可以肯定，如n→ ∞,其中x_M（M）,_w个,w个= 1, 2, ...,数字令人满意吗

作为w→ ∞, 具有μ=第页(N个−1M（M）−1)+第页(1−第页)(N个−1M（M）)+(1−第页)(1−q个)(N个M（M）)。该结果显示于[15]对于M=2，N=3的情况，以及对于任意N>2的M=N的情况。可以获得一般情况通过使用[18]为此，必须考虑对[18]并证明定理2和定理3的适当版本[18].

现在我们讨论固定团和固定顶点的渐近行为。时间n个=0，上的初始完整图N个顶点包含(N个M（M）)M（M）-标记为0、–1、…、。。。，−((N个M（M）)−1)。新的M（M）-派系诞生了，他们被贴上了1，2，…的标签。。。。让j个≥0为固定整数。让我们用表示W公司[n个,M（M）,j个]的重量j个第个M（M）-后集团n个第步。让我们用表示D类(n个,j个)j个后的第个顶点n个第步。（如果n个<j个，然后W公司[n个，1，j个] =D类[n个,j个] = 0.)

首先，我们研究固定M（M）-集团。时间n个=0，上的初始完整图N个顶点是对称的。因此，通过我们图形的演化机制，足以描述W公司[n个,M（M）,j个]和D类[n个,j个]的j个= 0, 1, 2, .... 下面的定理描述了固定M（M）-集团。

让j≥ 0和1 ≤M（M）≤N是固定的。假设α>0。然后

几乎可以肯定为n→ ∞, 哪里γ_{M（M）,j个}是一个正随机变量。

作为特殊情况M（M）=1，固定顶点权重的渐近行为如下。

让j≥ 0固定并设α> 0. 然后

几乎可以肯定为n→ ∞,其中γ_1,j个是正随机变量.

我们转向固定顶点度序列的极限。

让j≥ 0固定并设α> 0.然后

几乎可以肯定为n→ ∞,其中正随机变量γ_1,j个在中给出(8).

现在，我们讨论最大权重和最大度。让我们用表示𝓦_n个之后顶点权重的最大值n个步骤，即

让α> 0.然后

其中μ=供应{γ_1,j个:j个≥ – (N个–1)}是一个带有γ的有限正随机变量_1,j个定义于（8） 。

让我们用表示𝓓_n个之后的最大程度n个步骤，即

让α> 0.然后

其中μ=供应{γ_1,j个:j个≥ – (N个–1)}是定理2.6中定义的有限正随机变量.

推论2.4和定理2.5,2.6和2.7是定理4.1的扩展[13]和定理5.2、5.1、5.3英寸[14]分别是。

我们看到参数α₁和α₂属于模型的优先附件部分，而β₁和β₂连接到制服选择部分。此外，在上面定理2.3-2.7仅α₁和α₂扮演角色。因此，这些定理中的渐近行为不受一致选择参数的影响。这种现象可以解释如下。如果j固定且n较大，则第j个顶点是V中的“旧”顶点_n个np顶点。因此，与“年轻”顶点相比，第j个顶点的阶数和权重相对较高。由于有很多“年轻”顶点，因此统一选择对第j个顶点的度和权重影响很小.

如果我们比较推论2.4和定理2.5，我们看到权重与顶点j阶的渐近比率为

（14）中的最后一个表达式只不过是当选择为PA时，“旧”顶点权重的预期增长与一步中“旧”点度数的预期增长之比。对于最大权重与最大度数的渐近比率，也存在类似的观察结果。那就是，by定理2.6和2.7，我们有𝓦_n个/𝓓_n个~α/α₂.

让τ_n个表示达到最大权重的那些顶点的标签的最大值，即

然后序列τ_n个(ω),n个= 1, 2, ...几乎所有固定初等事件ω都有界.这是一个简单的结果定理2.6及其证明。类似的声明对学位有效.

让j个,k个,我,M（M）, 0 ≤j个≤我，1≤M（M）≤N是固定非负整数，且设

然后(Z轴[n个,M（M）,k个,j个];𝓔_n个)是n的鞅≥我.

证明.在每个步骤中M（M）-当且仅当集团参与互动时，集团增加1。的总重量N个-n步后的团是n个+1。的总重量(N个–1）-之后的派系n个步骤是N个(n个+ 1). 当一个新顶点诞生时，我们选择N个–1个顶点一致，给定的M（M）-选定的集团是

当我们选择N个顶点一致随机，给定顶点的概率M（M）-选择的集团是

因此，如[15]，很容易证明M（M）-集团在步骤中参与互动(n个+1）是

前提是j个第个M（M）-集团存在于我第步。利用这个事实，我们可以看到n个≥l

两边乘以b条(n个+ 1,M（M）,k个，我们看到了

使用它d日[n个+ 1,M（M）,k个,j个]是𝓔_n个-通过测量，我们得到了预期的结果。□

下面的序列是一个非负的上鞅

证明.以与证明中类似的方式引理3.1，我们有n个≥k个

将（24）的两侧乘以e（电子）_{n个+1,M（M）}，我们得到了结果。□

证据包括两部分。首先，我们将证明结果在非负情况下是有效的γ_{M、 j个}。然后我们将展示γ_{M、 j个}是正的，概率为1。

让B类_n个+1个= {W公司[n个+ 1,M（M）,j个] =W公司[n个,M（M）,j个] + 1}. 考虑以下事件：j个第个M（M）-集团存在于n个步骤。在本次事件中，由（21），

序列(B类_n个,n个∈ ℕ) 适应以下顺序σ-代数(𝓔_n个;n个∈ ℕ). 使用的推论VII-2-6[19]（25），我们有

考虑鞅(Z轴[n个,M（M）,k个,j个],𝓔_n个)在中引入引理3.1然后让k个= 1. 然后

根据Marcinkiewicz强大的大数定律，我们有

几乎可以肯定，对于任何人ɛ> 0. 根据这个事实和(18)，我们得到

使用它α'>0和M（M）>0，我们看到了d日[n个,M（M），1，j个]聚合为n个→ ∞. 因此鞅Z轴[n个,M（M）,1,j个]从下方限定。现在，我们将看到鞅Z轴[n个,M（M），1，j个]差异有限。序列b条[n个,M（M），1]正在减少，因此

这也很容易计算

那么，马提尼大风Z轴[n个,M（M），1，j个]从下面有界，并且有界差。因此，根据[19]，几乎可以肯定它是收敛的n个→ ∞. 根据的定义Z轴[n个,M（M）, 1;j个]，我们看到了b条[n个,M（M）, 1]W公司[n个,M（M）,j个]几乎可以肯定的是，这场比赛{W公司[我,M（M）,j个] > 0}. 这个事实，(26)和(18)暗示(8)非负为trueγ_{M（M）,j个}.

现在我们来展示一下γ_{M（M）,j个}概率为1时为正。考虑一下超人(e（电子）n个,M（M）我[k个,M（M）,j个]W公司[n个,M（M）,j个]−1,F类n个),n个≥j个，在引理3.2中。因此，该上鞅是非负的，根据下鞅收敛定理，它几乎肯定收敛。林_t吨→∞我[我,M（M）,j个]几乎可以肯定=1，因此e（电子）n个,M（M）W公司[n个,M（M）,j个]−1几乎可以肯定的是n个→ ∞. 这个和(19)暗示γ_{M（M）,j个}几乎肯定是积极的。□

与权重相反，固定顶点的度数可以增加0, 1, ...,N个–每个步骤1个。因此0≤D类[n个,j个]≤D类[n个– 1,j个]N个– 1对于所有固定j≥ 0.此外，当我们不添加新顶点并且根据优先附着规则进行选择时，固定顶点的阶数不会在步骤中改变.

让j≥ 0被修复。对于n≥k个,我们有

哪里0≤R（右）n个≤(N个−1)第页βV（V）n个.

证明.考虑条件期望E{D类[n个+ 1,j个] –D类[n个,j个]|𝓔_n个}前提是j个之后存在第个顶点k个步骤。

当模型根据优先附着规则演化时，固定顶点的阶数可以在每一步增加0或1。因此j个中的第个顶点(n个+1） 选择PA时的第个步骤是W公司(n个,1,j个]n个+1。在选择UNI的步骤中，固定顶点的阶数最多可以增加N个– 1. 此外，使用(21), the probability that the growth of the degree of thej个当选择UNI不大于时，第个顶点为正第页βV（V）n个因此j个中的第个顶点(n个+1）选择UNI小于或等于时的第步(N个– 1)第页βV（V）n个. □

的证明定理2.5考虑以下有界随机变量：ξn个=我[k个,1,j个]N个−1(D类[n个,j个]−D类[n个−1,j个]).由备注3.3，我们有0≤ξ_n个≤ 1. 应用适当版本的第VII-2-6号推论[19]（参见第2.4号提案[20])，然后使用引理3.4和(8)，我们有

前提是j个之后存在第个顶点k个步骤。作为lim_k个→∞W公司[k个，1，j个]=∞a.s.，我们得到该语句。□

以下引理将用于研究最大重量。它是引理5.2在[14].

对于所有固定非负整数k≥ 0, 1 ≤米≤n个,让