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得到许可的 未经许可 需要身份验证 发布人:德古意特出版社 2021年6月23日

等变共变代数的相关素理想、Steenrod运算和Krull下降定理

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来自日志数学论坛

摘要

θ:G公司德国劳埃德船级社(n个F类)是有限群的表示𝐺 在田野上𝔽 F类[]F类[]G公司F类[]相关的等变共变代数。这份手稿的目的是确定F类[]F类[]G公司F类[]用于表示𝜃 定义在有限域上。我们证明了唯一可能的嵌入素理想是完成刻画等变共变代数的相关素理想的最大理想文献中已经有关于最小素数的描述。在本手稿的第一部分中,我们开发了一些特定于以下情况的工具:𝔽 是使用Steenrod代数的Galois字段P(P)*伽罗瓦域的𝔽 以W.Krull的下降定理的一个版本达到高潮F类[]F类[]F类[]G公司F类[]然后我们应用这个结果来确定所有P(P)*-中的不变素理想F类[]F类[]G公司F类[].早就知道F类[]F类[]G公司F类[]必须是P(P)*-不变量,我们的主要结果是一个简单的结果。如上所述,我们的主要结果是F类[]F类[]G公司F类[]𝔽 伽罗瓦域要么是极小理想,要么是极大理想,这意味着理想由严格正度的所有形式组成。

附录:派生引理

通常需要验证元素小时1小时n个在交换分次代数中𝐻 在任意字段上𝔽 代数独立于𝔽.以下引理,虽然在性质上是初等的,但似乎并不像它应该的那样广为人知。

引理A.1

引理A.1(导子引理)

𝐻是域上的交换连通分次代数𝔽, 然后让小时1小时n个H(H)1n个:H(H)H(H)是衍生产品。假设

det(探测)[1(小时1)1(小时n个)n个(小时1)n个(小时n个)]0

并且不是零因子。然后小时1小时n个在代数上是独立的。

证明

在不失一般性的情况下,我们可以假设𝔽 通过传递到代数闭包是完美的。

介绍多项式代数F类[X(X)1X(X)n个],其中(X(X))=(小时)对于=1n个,并定义映射ϕ:F类[X(X)1X(X)n个]H(H)根据以下要求ϕ(X(X))=小时对于=1n个.我们需要证明这一点𝜙 是一个单态。所以假设不是这样,然后选择第页(X(X)1X(X)n个)克尔(ϕ)成为最小度的非零元素。然后

第页(小时1小时n个)=0H(H).

如果我们申请对于这个方程,我们根据链式法则得到

0=第页(小时1小时n个)=j个=1n个第页X(X)j个|(X(X)1X(X)n个)=(小时1小时n个)小时j个

对于=1n个.如果我们重新安排术语,并将其写为一个矩阵方程,而不是𝑛 分离方程,我们得到以下结果:

0=[1小时11小时n个n个小时1n个小时n个][第页X(X)1第页X(X)n个]|(X(X)1X(X)n个)=(小时1小时n个).

det(探测)[小时j个]0不是零因子,我们从克拉默规则得出以下等式:

0=第页X(X)1|(X(X)1X(X)n个)=(小时1小时n个)==第页X(X)n个|(X(X)1X(X)n个)=(小时1小时n个).

如果,对于某些人1n个,一个有第页X(X)j个0F类[X(X)1X(X)n个]那么,因为第页X(X)j个克尔(ϕ)(第页X(X)j个)<(第页),我们会有一个矛盾的选择第页克尔(ϕ)作为中的最小次非零元素克尔(ϕ).因此,

0=第页X(X)1==第页X(X)n个F类[X(X)1X(X)n个].

如果𝔽具有零特征,这说明第页=0,而如果𝔽 具有特征第页0,上面写着第页=第页.在这两种情况下,我们再次对选择第页克尔(ϕ)作为最小度的非零元素。

备注

这个引理的逆命题可能在特征上失败第页0.例如,如果F类第页Galois油田有𝑝 元素,然后x个第页第页F类第页[x个]代数独立,但雅可比矩阵为零。

作为一种特殊情况,一个人有P(P)*-使用J的派生引理。米尔诺的原始元素P(P)ΔP(P)*N个0(参见示例[23,第10章]或[16]),来自Galois域的Steenrod代数作为导数。

引理A.2

引理A.2(P(P)*-导子引理)

𝐻 是Galois域Steenrod代数上的不稳定代数𝔽,=第页ν带有𝑝素数,以及νN个.如果

det(探测)[P(P)Δ(小时1)P(P)Δ(小时n个)P(P)Δ+n个(小时1)P(P)Δ+n个(小时n个)]0

它不是零因子𝐻, 然后小时1小时n个代数上是独立的

致谢

作者感谢裁判对手稿进行了大量修改,提高了其可读性。

  1. 沟通人:弗雷德里克·科恩

工具书类

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收到:2020-11-14
修订过的:2020-12-12
认可的:2021-04-25
在线发布:2021-06-23
印刷出版:2021-07-01

©2021 Walter de Gruyter GmbH,柏林/波士顿

于2024年4月27日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/forum-2020-0324/html
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