对流反应算子的有界性
显然，我们必须对系数进行一些假设
b
我
和𝑐 保证算子在常数以下有界的合理下界𝛼.如果两者都有𝑏 和𝑐 收敛到零，然后
α
→
0
也。稳定性必须来自对流或反应.
反应稳定性
可以通过测试快速访问𝑢.我们得到了
∫
Ω
b
我
∂
u个
∂
x个
我
u个
+
c（c）
u个
2
=
∫
Ω
（f）
u个
.
将第一项按部分进行整合，
∫
Ω
b
我
∂
u个
∂
x个
我
u个
=
∫
Ω
b
我
∂
∂
x个
我
(
u个
2
2
)
=
-
∫
Ω
div公司
b
u个
2
2
+
∫
Γ
+
b
n个
u个
2
2
,
我们获得
∫
Γ
+
b
n个
u个
2
2
+
∫
Ω
(
c（c）
-
1
2
div公司
b
)
u个
2
=
∫
Ω
（f）
u个
.
假设
c（c）
-
1
2
div公司
b
≥
β
>
0
,
我们获得
β
∥
u个
∥
2
≤
∥
（f）
∥
∥
u个
∥
⟹
β
∥
u个
∥
≤
∥
（f）
∥
.
这个充分条件显然不包括纯平流情况
div公司
b
=
0
.
平流稳定性
这有点难以分析。我们必须根据特征使用更复杂的分析，并将对流反应问题转化为ODE家族。
特点
一阶非线性常微分方程组的解
d日
x个
d日
t吨
=
b
(
x个
(
t吨
)
)
被称为特点.我们将假设特征族可以扩展到曲线坐标系
(
t吨
,
ξ
)
覆盖整个域Ω；参见图11.
每个特征都源于流入边界
Γ
-
并终止于流出边界
Γ
+
.我们假设参数化
x个
=
x个
(
t吨
,
ξ
)
,
ξ
∈
O（运行）
,
x个
∈
(
t吨
-
(
ξ
)
,
t吨
+
(
ξ
)
)
与相应的雅各布斯
j个
(
x个
)
.如果我们进一步假设系统是正交的，
∂
x个
∂
ξ
我
⋅
∂
x个
∂
ξ
j个
=
δ
我
j个
∂
x个
∂
ξ
我
⋅
∂
x个
∂
t吨
=
0
我
,
j个
=
1
,
2
(
3D版本
)
,
雅可比等于平流矢量的大小，
雅克
(
x个
(
t吨
,
ξ
)
)
=
|
b
(
x个
(
t吨
,
ξ
)
)
)
|
.
假设中隐含的是
b
(
x个
)
≠
0
域Ω中。如果我们假设
b
∈
C类
1
(
Ω
¯
)
，Weierstrass定理意味着我们必须在
|
b
(
x个
)
|
.
均匀BC的对流反应问题
我们有
（A.1）
{
b
⋅
∇
u个
+
c（c）
u个
=
（f）
在里面
Ω
,
u个
=
0
在
Γ
-
.
让
u个
^
(
t吨
)
=
u个
(
x个
(
t吨
)
)
，其中
x个
(
t吨
)
是其特点。然后
u个
(
x个
)
满足(A.1)当且仅当
u个
^
(
t吨
)
解决了初始值ODE问题
（A.2）
{
d日
u个
^
d日
t吨
+
c（c）
^
u个
^
=
（f）
^
,
t吨
∈
(
0
,
t吨
x个
0
)
,
u个
^
(
t吨
-
)
=
0
,
哪里
c（c）
^
(
t吨
)
:=
c（c）
(
x个
(
t吨
)
)
,
（f）
^
(
t吨
)
:=
（f）
(
x个
(
t吨
)
)
.变系数线性常微分方程(A.2款)接受封闭式解决方案
u个
^
(
t吨
)
=
∫
t吨
-
t吨
e（电子）
-
(
C类
^
(
t吨
)
-
C类
^
(
秒
)
)
（f）
^
(
秒
)
d日
秒
,
哪里
C类
^
(
t吨
)
是的原语
c（c）
^
(
t吨
)
即。，
d日
C类
^
d日
t吨
=
c（c）
^
.标准推理和柯西-施瓦兹不等式导致估计
∫
t吨
-
t吨
+
|
u个
^
(
t吨
)
|
2
d日
t吨
=
∫
t吨
-
t吨
+
|
∫
t吨
-
t吨
e（电子）
-
(
C类
^
(
t吨
)
-
C类
^
(
秒
)
)
（f）
^
(
秒
)
d日
秒
|
2
d日
t吨
≤
∫
t吨
-
t吨
+
∫
t吨
-
t吨
|
e（电子）
-
(
C类
^
(
t吨
)
-
C类
^
(
秒
)
)
|
2
d日
秒
∫
t吨
-
t吨
|
（f）
^
(
秒
)
|
2
d日
秒
d日
t吨
≤
∫
t吨
-
t吨
+
∫
t吨
-
t吨
|
e（电子）
-
(
C类
^
(
t吨
)
-
C类
^
(
秒
)
)
|
2
d日
秒
d日
t吨
⏟
稳定常数
∫
t吨
-
t吨
+
|
（f）
^
(
秒
)
|
2
d日
秒
.
我们现在需要求出关于系数的充分条件
b
(
x个
)
,
c（c）
(
x个
)
将此估计转化为低于对流反应算子估计的有界性。
关于反应项的假设
我们假设
c（c）
(
x个
)
≥
0
.根据这种假设，
C类
^
(
t吨
)
-
C类
^
(
秒
)
=
∫
秒
t吨
c（c）
(
x个
(
η
,
ξ
)
)
d日
η
≥
0
⟹
e（电子）
-
(
C类
^
(
t吨
)
-
C类
^
(
秒
)
)
≤
1
,
稳定常数可以通过
∫
t吨
-
t吨
+
∫
t吨
-
t吨
d日
秒
d日
t吨
=
(
t吨
+
-
t吨
-
)
2
2
.
不幸的是，一维估计并没有立即转化为以下条件的有界性，因为我们必须在计算中包含雅可比矩阵，
∫
t吨
-
t吨
+
|
u个
^
(
t吨
)
|
2
雅克
(
x个
(
t吨
,
ξ
)
)
⏟
=
雅克
^
(
t吨
)
d日
t吨
=
∫
t吨
-
t吨
+
|
∫
t吨
-
t吨
e（电子）
-
(
C类
^
(
t吨
)
-
C类
^
(
秒
)
)
（f）
^
(
秒
)
d日
秒
|
2
雅克
^
(
t吨
)
d日
t吨
≤
∫
t吨
-
t吨
+
∫
t吨
-
t吨
|
e（电子）
-
(
C类
^
(
t吨
)
-
C类
^
(
秒
)
)
|
2
d日
秒
∫
t吨
-
t吨
|
（f）
^
(
秒
)
|
2
d日
秒
雅克
^
(
t吨
)
d日
t吨
≤
∫
t吨
-
t吨
+
(
t吨
-
t吨
-
)
∫
t吨
-
t吨
|
（f）
^
(
秒
)
|
2
d日
秒
雅克
^
(
t吨
)
d日
t吨
(
c（c）
≥
0
)
=
∫
t吨
-
t吨
+
∫
秒
t吨
+
(
t吨
-
t吨
-
)
雅克
^
(
t吨
)
d日
t吨
|
（f）
^
(
秒
)
|
2
d日
秒
(
福比尼定理
)
.
这导致了一个相当技术性的假设
∫
秒
t吨
+
(
t吨
-
t吨
-
)
雅克
^
(
t吨
)
d日
t吨
≤
C类
雅克
^
(
秒
)
,
秒
<
t吨
<
t吨
+
,
t吨
-
<
秒
<
t吨
+
,
C类
>
0
.
如果我们假设雅可比函数的上下界，那么这个假设很容易满足，
0
<
b
最小值
≤
雅克
^
=
|
b
^
|
≤
b
最大值
<
∞
.
这意味着
雅克
^
(
t吨
)
≤
b
最大值
b
最小值
雅克
^
(
秒
)
,
由此得出
∫
秒
t吨
+
(
t吨
-
t吨
-
)
雅克
^
(
t吨
)
d日
t吨
≤
b
最大值
b
最小值
雅克
^
(
秒
)
∫
秒
t吨
+
(
t吨
-
t吨
-
)
d日
t吨
≤
b
最大值
b
最小值
(
t吨
+
-
t吨
-
)
2
2
雅克
^
(
秒
)
.
对流反应算子的B有界性。第二种方法
附录中所示分析的缺点A类它不包括稳定性（如下有界性）可能来自域的一部分中的平流，以及域的其余部分中的反应的情况。在平流场具有标量势的情况下，本文提出的方法纠正了这一缺陷，
b
(
x个
)
=
∇
V（V）
(
x个
)
.我们现在还将关注伴随算子
A类
∗
v（v）
=
-
div公司
(
b
v（v）
)
+
c（c）
v（v）
,
D类
(
A类
∗
)
=
{
v（v）
∈
H（H）
A类
∗
(
Ω
)
:
v（v）
=
0
在
∂
Ω
+
}
.
实际上，我们将为任何
v（v）
∈
H（H）
A类
∗
(
Ω
)
.以下[14]，我们从引入辅助未知开始
w个
(
x个
)
:=
e（电子）
V（V）
(
x个
)
v（v）
(
x个
)
,
∇
w个
=
e（电子）
V（V）
b
v（v）
+
e（电子）
V（V）
∇
v（v）
.
让
（f）
:=
A类
∗
v（v）
.我们有
e（电子）
V（V）
（f）
=
e（电子）
V（V）
(
-
b
⋅
∇
v（v）
+
(
c（c）
-
div公司
b
)
v（v）
)
=
-
div公司
(
b
w个
)
+
(
|
b
|
2
+
c（c）
)
w个
.
将两边乘以𝑤对Ω积分，我们得到
-
∫
Ω
div公司
(
b
w个
)
w个
+
∫
Ω
(
|
b
|
2
+
c（c）
)
w个
2
=
∫
Ω
e（电子）
V（V）
（f）
w个
.
第一个术语现在由各个部分组成，
-
∫
Ω
div公司
(
b
w个
)
w个
=
∫
Ω
b
⋅
∇
(
w个
2
2
)
-
∫
Γ
b
n个
w个
2
=
-
1
2
∫
Γ
b
n个
w个
2
-
1
2
∫
Ω
div公司
b
w个
2
.
这给了
-
1
2
∫
Γ
b
n个
w个
2
+
∫
Ω
(
|
b
|
2
+
c（c）
-
1
2
div公司
b
⏟
=
:
一
)
w个
2
=
∫
Ω
e（电子）
V（V）
（f）
w个
.
在附加假设下，系数
一
(
x个
)
是正的，我们可以用杨氏不等式来估计右手边，
（f）
w个
≤
一
2
w个
2
+
e（电子）
2
V（V）
2
一
（f）
2
.
这将导致最终估算
1
2
∫
Γ
-
|
b
n个
|
w个
2
+
1
2
∫
Ω
一
w个
2
≤
∫
Ω
e（电子）
2
V（V）
2
一
（f）
2
+
1
2
∫
Γ
+
b
n个
w个
2
.
特别是，对于
v（v）
=
0
在
Γ
+
，我们获得
∫
Ω
一
e（电子）
2
V（V）
v（v）
2
≤
∫
Ω
e（电子）
2
V（V）
一
（f）
2
.
如果𝑎 承认一个下限
一
最小值
≤
一
和
e（电子）
1
,
e（电子）
2
是的上下限
e（电子）
2
V（V）
，我们获得
一
最小值
e（电子）
1
∫
Ω
v（v）
2
≤
∫
Ω
一
e（电子）
2
V（V）
v（v）
2
≤
e（电子）
2
一
最小值
∫
Ω
（f）
2
.
这给出了低于常数的有界性的最终估计，
e（电子）
1
e（电子）
2
一
最小值
2
∫
Ω
v（v）
2
≤
∫
Ω
（f）
2
.
备注11
（1） 对于不可压缩平流场
div公司
b
=
Δ
V（V）
=
0
,
一
=
|
b
|
2
+
c（c）
.因此，平流项
|
b
|
2
和反应系数𝑐 可以退化为零，只要总和远离零。
（2） 系数假设𝑎 被限制在远离零的下方并不像看上去那样具有限制性。我们可以重新定义
w个
=
e（电子）
k
V（V）
v（v）
并获得一个修正方程𝑤,
-
div公司
(
b
w个
)
+
(
k
2
|
b
|
2
+
c（c）
)
w个
.
只要
div公司
b
是有界的，我们可以选择一个足够大的乘数𝑘 确保系数的正值𝑎.当然，一个更大的𝑘 将导致更大的界限
e（电子）
1
e（电子）
2
.
C局部稳定性结果
让𝐾 是一个元素，其流出边界表示为
∂
K（K）
+
.让
一
(
x个
)
和
w个
(
x个
)
为定义的正权重𝐾.考虑约束最小化问题
最小值
v（v）
小时
∈
P（P）
第页
+
1
(
K（K）
)
1
2
{
∫
K（K）
w个
一
(
A类
∗
(
v（v）
小时
-
v（v）
)
)
2
+
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
(
v（v）
小时
-
v（v）
)
2
}
在约束条件下
∫
K（K）
δ
u个
小时
A类
∗
(
v（v）
小时
-
v（v）
)
=
0
对所有人来说
δ
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
,
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
δ
w个
小时
(
v（v）
小时
-
v（v）
)
=
0
对所有人来说
δ
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
.
第一个约束是一个类似Fortin的条件，可以替换精确的测试功能𝑣 及其近似值
v（v）
小时
在我们的稳定性分析中。第二个约束强制执行全局离散测试函数的弱一致性；参见第节6了解详细信息。最小化问题等价于混合问题
{
v（v）
小时
∈
P（P）
第页
+
1
(
K（K）
)
,
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
,
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
,
∫
K（K）
w个
一
A类
∗
v（v）
小时
A类
∗
δ
v（v）
小时
+
∫
K（K）
u个
小时
A类
∗
δ
v（v）
小时
+
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
(
v（v）
小时
+
w个
小时
)
δ
v（v）
小时
=
∫
K（K）
w个
一
A类
∗
v（v）
A类
∗
δ
v（v）
小时
+
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
v（v）
δ
v（v）
小时
,
δ
v（v）
小时
∈
P（P）
第页
+
1
(
K（K）
)
,
∫
K（K）
δ
u个
小时
A类
∗
v（v）
小时
=
∫
K（K）
δ
u个
小时
A类
∗
v（v）
,
δ
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
,
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
δ
w个
小时
v（v）
小时
=
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
δ
w个
小时
v（v）
,
δ
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
,
或者，同等地，
（C.1）
{
v（v）
小时
∈
P（P）
第页
+
1
(
K（K）
)
,
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
,
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
,
∫
K（K）
w个
一
A类
∗
v（v）
小时
A类
∗
δ
v（v）
小时
+
∫
K（K）
u个
小时
A类
∗
δ
v（v）
小时
+
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
w个
小时
δ
v（v）
小时
=
∫
K（K）
w个
一
A类
∗
v（v）
A类
∗
δ
v（v）
小时
,
δ
v（v）
小时
∈
P（P）
第页
+
1
(
K（K）
)
,
∫
K（K）
δ
u个
小时
A类
∗
v（v）
小时
=
∫
K（K）
δ
u个
小时
A类
∗
v（v）
,
δ
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
,
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
δ
w个
小时
v（v）
小时
=
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
δ
w个
小时
v（v）
,
δ
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
.
让
V（V）
小时
:=
P（P）
第页
+
1
(
K（K）
)
,
V（V）
小时
,
0
:=
{
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
:
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
δ
w个
小时
v（v）
小时
=
0
对所有人来说
δ
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
}
,
V（V）
小时
,
00
:=
{
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
,
0
:
∫
K（K）
δ
u个
小时
A类
∗
v（v）
小时
=
0
对所有人来说
δ
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
}
.
注意，如果𝑣 到
∂
K（K）
+
本身就在太空中
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
，然后
V（V）
小时
,
0
=
{
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
:
v（v）
小时
=
0
在
∂
K（K）
+
}
.考虑相应的分解
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
,
v（v）
小时
=
v（v）
小时
,
00
+
v（v）
小时
,
0
⟂
+
v（v）
小时
⟂
,
v（v）
小时
,
00
∈
V（V）
小时
,
00
,
v（v）
小时
,
0
⟂
∈
V（V）
小时
,
0
⟂
,
v（v）
小时
⟂
∈
V（V）
小时
⟂
,
哪里
V（V）
小时
,
0
⟂
:=
{
v（v）
小时
,
0
∈
V（V）
小时
,
0
:
(
v（v）
小时
,
0
⟂
,
δ
v（v）
小时
)
V（V）
=
0
对所有人来说
δ
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
,
00
}
,
V（V）
小时
⟂
:=
{
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
:
(
v（v）
小时
⟂
,
δ
v（v）
小时
)
V（V）
=
0
对所有人来说
δ
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
,
0
}
,
内部产品
(
v（v）
,
δ
v（v）
)
V（V）
=
∫
K（K）
w个
一
A类
∗
v（v）
A类
∗
δ
v（v）
+
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
v（v）
δ
v（v）
.
引入拉格朗日乘数的范数
u个
小时
∈
P（P）
小时
第页
-
1
(
K（K）
)
,
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
,
∥
u个
小时
∥
K（K）
2
:=
∫
K（K）
u个
小时
2
,
∥
w个
小时
∥
∂
K（K）
+
2
:=
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
w个
2
,
并考虑相应的inf-sup常数
α
小时
:=
inf公司
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
啜饮
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
,
0
∫
Ω
u个
小时
A类
∗
v（v）
小时
∥
u个
小时
∥
K（K）
∥
v（v）
小时
∥
V（V）
,
β
小时
:=
inf公司
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
啜饮
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
w个
小时
v（v）
小时
∥
w个
小时
∥
∂
K（K）
+
∥
v（v）
小时
∥
V（V）
.
引理8
以下估计成立：
∥
v（v）
小时
∥
V（V）
2
≤
(
1
+
α
小时
-
2
)
∥
A类
∗
v（v）
∥
2
+
β
小时
-
2
∥
v（v）
∥
∂
K（K）
+
2
.
证明
在中测试(C.1条款)1具有
δ
v（v）
小时
=
v（v）
小时
,
00
，我们得到
∥
v（v）
小时
,
00
∥
V（V）
=
∥
A类
∗
v（v）
小时
,
00
∥
L（左）
2
(
K（K）
)
≤
∥
A类
∗
v（v）
∥
L（左）
2
(
K（K）
)
.
根据巴拿赫闭区间定理，
α
小时
=
inf公司
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
啜饮
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
,
0
∫
Ω
u个
小时
A类
∗
v（v）
小时
∥
u个
小时
∥
K（K）
∥
v（v）
小时
∥
V（V）
=
inf公司
v（v）
小时
,
0
⟂
∈
V（V）
小时
,
0
⟂
啜饮
u个
小时
∈
P（P）
第页
-
1
(
K（K）
)
∫
Ω
u个
小时
A类
∗
v（v）
小时
∥
u个
小时
∥
K（K）
∥
v（v）
小时
,
0
⟂
∥
V（V）
.
这个，连同(C.1条款)2，生成估计值
∥
v（v）
小时
,
0
⟂
∥
V（V）
=
∥
A类
∗
v（v）
小时
,
0
⟂
∥
K（K）
≤
α
小时
-
1
∥
A类
∗
v（v）
∥
K（K）
.同样，
β
小时
=
inf公司
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
啜饮
v（v）
小时
∈
V（V）
小时
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
w个
小时
v（v）
小时
∥
w个
小时
∥
∂
K（K）
+
∥
v（v）
小时
∥
V（V）
=
inf公司
v（v）
小时
⟂
∈
V（V）
小时
⟂
啜饮
w个
小时
∈
P（P）
c（c）
第页
+
1
(
∂
K（K）
+
)
∫
∂
K（K）
+
w个
b
n个
w个
小时
v（v）
小时
∥
w个
小时
∥
∂
K（K）
+
∥
v（v）
小时
⟂
∥
V（V）
,
以及(C.1条款)三，表示
∥
v（v）
小时
⟂
∥
V（V）
=
≤
β
小时
-
1
∥
v（v）
∥
∂
K（K）
+
.总之，
∥
v（v）
小时
∥
V（V）
2
=
∥
v（v）
小时
,
00
∥
V（V）
2
+
∥
v（v）
小时
,
0
⟂
∥
V（V）
2
+
∥
v（v）
小时
⟂
∥
V（V）
2
≤
(
1
+
α
小时
-
2
)
∥
A类
∗
v（v）
∥
2
+
β
小时
-
2
∥
v（v）
∥
∂
K（K）
+
2
.
∎
