A Nonconforming Finite Element Method for an Acoustic Fluid-Structure Interaction Problem

Susanne C. Brenner; Ayçıl Çeşmelioğlu; Jintao Cui; Li-Yeng Sung

doi:10.1515/cmam-2017-0050

公开可用发布人：德古意特出版社 2017年12月8日

声-流-结构相互作用问题的非协调有限元方法

苏珊·布伦纳 , AyçılÇeşmelioğlu , 崔锦涛和李Yeng Sung

来自日志应用数学中的计算方法

https://doi.org/10.1515/cmam-2017-0050

摘要

我们研究了振动模式的非协调有限元近似声学流体-结构相互作用。使用位移变量对于流体和固体。数值格式基于无旋流体位移公式，因此它没有虚假的本征模。该方法使用弱连续P（P）1流体的向量场和固体的经典分段线性元素，并且它具有哦⁢(小时2)适当分级网格上特征值的收敛性。理论结果并通过数值实验进行了验证。

关键词：非协调有限元法;流体-结构相互作用;声学流体

MSC 2010年：65N25型;65N30型;74层10

1引言

我们考虑确定包含声学（正压，无粘性和可压缩）流体。

让ΩF类和Ω秒是中的有界多边形域ℝ2分别被流体和固体占据，如图所示1。我们假设ΩF类简单连接但不连接必然是凸的。让Γ我表示固体和流体𝒏是单位法向量指向朝向Ω秒.实体的外部边界是ΓD类和ΓN个：结构沿固定ΓD类和免费应力沿ΓN个.让𝜼表示单位向外法线矢量沿ΓN个.

图1

流体和固体领域。

我们表示

H（H）秒,γ⁢(div公司;ΩF类)={𝒖∈[H（H）秒⁢(ΩF类)]2:∇·𝒖∈H（H）γ⁢(ΩF类)}

和

∥𝒖∥H（H）秒,γ⁢(div公司;ΩF类)2=∥𝒖∥H（H）秒⁢(ΩF类)2+∥∇·𝒖∥H（H）γ⁢(ΩF类)2.

小振幅运动的经典声学模型得出自由振动模态的特征值问题耦合系统（参见[21,8]).

问题。

查找λ≥0和(𝒖,𝒘)∈H（H）0,1⁢(div公司;ΩF类)×[H（H）1⁢(Ω秒)]2,(𝒖,𝒘)≠(𝟎,𝟎)，因此

(1.1)

（1.1a）c（c）2⁢∇⁡(∇·𝒖)+λ⁢𝒖=𝟎英寸ΩF类,

（1.1b）∇·𝝈⁢(𝒘)+λ⁢ρ秒⁢𝒘=𝟎英寸Ω秒,

（1.1c）𝝈⁢(𝒘)⁢𝒏-(c（c）2⁢ρF类⁢∇·𝒖)⁢𝒏=𝟎在Γ我,

（1.1天）𝒘·𝒏-𝒖·𝒏=0上的Γ我,

（1.1e）𝝈⁢(𝒘)⁢𝜼=𝟎上的ΓN个,

（1.1f）𝒘=𝟎上的ΓD类.

方程式中各术语的物理意义(1.1)具体如下：

𝒖（分别为，𝒘)是流体的位移（分别为，固体）颗粒。
λ=ω是频率本征模的。
ρF类（分别为，ρ秒)是的密度流体（分别为固体）。
ϵ⁢(𝒘)=12⁢(∇⁡𝒘+(∇⁡𝒘)T型)是应变张量取代𝒘固体的。
𝝈⁢(𝒘)=2⁢μ秒⁢ϵ⁢(𝒘)+λ秒⁢(∇·𝒘)⁢𝜹是应力张量，其中𝜹是2×2身份矩阵。此处μ秒=M（M）2⁢(1+ν)和λ秒=M（M）⁢ν(1+ν)⁢(1-2⁢ν)是拉美常数，其中M（M）是杨氏模量，ν是固体的泊松比。

备注1.1。

方程式(1.1a条)和(1.1亿)必须理解在分布的意义上。方程式(1.1美分)和(1.1天)在某种意义上保持H（H）-1/2⁢(Γ我).但自从∇·𝒖∈H（H）1⁢(ΩF类)和𝒘·𝒏∈H（H）1/2⁢(Γ我)，两者都可以被视为L（左）2⁢(Γ我).

问题(1.1)是位移公式用于声-流体-结构相互作用。这种配方的优点是当位移变量为用于流体和固体[23,28].另一方面，这是一个非椭圆公式因此，与源问题相关联的解算子不是一个紧凑型运算符。实际上它有一个无限维的内核（参见第节2.1). 无穷维特征空间中的函数λ=0都是纯净的流体中不产生振动的旋转固体。因此，它们在物理上并不相关。但是一个天真的人连续问题的离散化将生成近似这些非物理的虚假本征模本征函数（参见[21]). 这样的正伪特征值污染了物理正特征值的近似(1.1)。

已经提出了几种方法来规避这一缺点。年引入了惩罚方法[21]. 它会受到惩罚无卷曲条件，以便杂散本征模被推向更高的频率，因此可以被分离从物理特征值。另一种方法[6,2]使用实心和最低阶的标准分段线性元素Raviart–流体的Thomas元素。在这种方法中，离散的非物理0特征值被隔离所有的正离散特征值都是谱正确的。建立了拟均匀网格上的最优收敛性英寸[29]. 此方法已用于处理不可压缩流体[29,三]，曲面接口英寸[30]到三维[5]. 相关工作也可以在[18,7,4,26,25].收敛性分析在这些论文中，由于非椭圆，需要复杂的技术配方的性质。

在本文中，我们引入并分析一种非协调有限元方法(1.1)这是基于只使用无旋流体置换的椭圆公式。因为所有的纯旋转运动与物理相关的被排除在变分问题之外离散问题的伪特征值消失。这个方法使用弱连续P（P）1流体的矢量场以及实体的经典分段线性元素。此外，源问题的收敛性是哦⁢(小时)和收敛性特征值的哦⁢(小时2)（众所周知的倍增现象）在一般域上，假设涉及跳跃的三个一致性项流体中元素边界上的向量场流体-固体界面包括在离散化中，并且使用适当分级的网格。数值分析该方案通过与非协调有限元方法研究[9,11,10]的麦克斯韦方程组。此外底层运算符大大简化了该方法的分析作为特征解算器，这与英寸[12]麦克斯韦特征值。

论文的其余部分组织如下。在章节2，我们引入了一个非协调有限元与相关的源问题的方法(1.1)。该方法的最优阶收敛性为在能源规范和L（左）2-规范。在章节三，我们给出了收敛性分析作为特征解的非协调方法(1.1). 一系列数值实验的结果在第节中报告4.我们以第节中的几句结束语5.

2源问题的非协调有限元方法

在本节中，我们介绍并分析了对应于源问题的分级网格(1.1)。

2.1来源问题

让H（H）ΓD类1⁢(Ω秒)是的子空间H（H）1⁢(Ω秒)其成员在ΓD类和

(2.1)𝒱={(𝒗,𝒘):𝒗∈H（H）0,1⁢(div公司;ΩF类),𝒘∈[H（H）ΓD类1⁢(Ω秒)]2,𝒗·𝒏=𝒘·𝒏⁢上的⁢Γ我}.

请注意𝒱是由以下定义的内积下的希尔伯特空间

((𝒗1,𝒘1),(𝒗2,𝒘2))𝒱=¦ΒΩ[𝒗1·𝒗2+(∇·𝒗1)(∇·𝒗2)+𝒘1·𝒘2+∇𝒘1:∇𝒘2]d日x个.

相应的范数表示为∥(𝒗,𝒘)∥。我们还使用|(𝒗,𝒘)|表示标准规范[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2.

鉴于(𝒇,𝒈)∈[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2,源问题的弱形式对应于(1.1)就是要找到(𝒖,𝒘)∈𝒱这样的话

一⁢((𝒖,𝒘),(𝒗,𝒛))=b条⁢((𝒇,𝒈),(𝒗,𝒛)) 为所有人⁢(𝒗,𝒛)∈𝒱,

哪里

(2.2)一((𝒖,𝒘),(𝒗,𝒛))=¦ΒΩF类(ρF类c（c）2)(∇·𝒖)(∇·𝒗)d日x个+¦ΒΩ秒(𝝈(𝒘):ϵ(𝒛))d日x个,

(2.3)b条⁢((𝒇,𝒈),(𝒗,𝒛))=¦ΒΩF类ρF类⁢𝒇·𝒗⁢𝑑x个+¦ΒΩ秒ρ秒⁢𝒈·𝒛⁢𝑑x个.

请注意

一⁢((𝒗1,𝒘1),(𝒗2,𝒘2))=0 为所有人⁢(𝒗1,𝒘1)∈E类0⁢和⁢(𝒗2,𝒘2)∈𝒱,

哪里E类0是的无限维子空间𝒱由提供

E类0=[∇×H（H）01⁢(ΩF类)]×{𝟎}.

因此这是一个非椭圆问题。

这是已知的（参见[2，引理2.3]）正交补码E类0在里面𝒱是空格𝒱̊由定义

𝒱̊={(𝒗,𝒘)∈𝒱:𝒗∈H（H）⁢(卷曲0;ΩF类)},

哪里

H（H）⁢(卷曲0;ΩF类)={𝒖=(u个1u个2)∈[L（左）2⁢(ΩF类)]2:∇×𝒖=∂⁡u个2∂⁡x个-∂⁡u个1∂⁡年=0}.

我们可以通过切换到以下源问题：

问题。

查找(𝒖,𝒘)∈𝒱̊这样的话

(2.4)一⁢((𝒖,𝒘),(𝒗,𝒛))=b条⁢((𝒇,𝒈),(𝒗,𝒛)) 为所有人⁢(𝒗,𝒛)∈𝒱̊.

(2.4)根据Korn的不等式，相容性条件(1.1天)以及以下内容弗里德里希斯不等式[27，第4.4节]：

∥𝒗∥L（左）2⁢(ΩF类)≤C类ΩF类⁢(∥∇·𝒗∥L（左）2⁢(ΩF类)+∥𝒏·𝒗∥L（左）2⁢(Γ我)) 为所有人⁢𝒗∈H（H）⁢(div公司;ΩF类)你好H（H）⁢(卷曲0;ΩF类).

接下来，我们将展示简化问题的强形式(2.4)由提供

(2.5)

（2.5年）-c（c）2⁢∇⁡(∇·𝒖)=问⁢𝒇英寸ΩF类,

（2.5亿）-∇·𝝈⁢(𝒘)=ρ秒⁢𝒈英寸Ω秒,

（2.5摄氏度）𝝈⁢(𝒘)⁢𝒏-(ρF类⁢c（c）2⁢∇·𝒖)⁢𝒏=𝟎上的Γ我,

（2.5天）𝒘·𝒏-𝒖·𝒏=0上的Γ我,

（2.5秒）𝝈⁢(𝒘)⁢𝜼=𝟎在ΓN个,

（2.5倍）𝒘=𝟎上的ΓD类,

哪里问是来自的正交投影[L（左）2⁢(ΩF类)]2到上面H（H）⁢(卷曲0;ΩF类).

事实上，作为(𝒖,𝒘)∈𝒱̊，条件(2.5天)和(2.5英尺)自动满足。让(𝟎,𝒛)具有𝒛∈[D类⁢(Ω秒)]2是一个测试函数。然后

¦ΒΩ秒(𝝈(𝒘):ϵ(𝒛))d日x个=¦ΒΩ秒ρ秒𝒈·𝒛d日x个,

这意味着(25亿)

让𝒗∈[D类⁢(ΩF类)]2是一个测试函数。然后𝒗-问⁢𝒗∈∇×H（H）01⁢(ΩF类)因此(𝒗-问⁢𝒗,𝟎)∈𝒱,这意味着(问⁢𝒗,𝟎)∈𝒱̊。它源自(2.4)那个

¦ΒΩF类(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢(∇·𝒗)⁢𝑑x个=¦ΒΩF类(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢(∇·[问⁢𝒗+(𝒗-问⁢𝒗)])⁢𝑑x个

=¦ΒΩF类(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢(∇·问⁢𝒗)⁢𝑑x个

=¦ΒΩF类ρF类⁢𝒇·(问⁢𝒗)⁢𝑑x个=¦ΒΩF类ρF类⁢(问⁢𝒇)·𝒗⁢𝑑x个,

这意味着(2.5安)。现在，对于任何人(𝒗,𝒛)∈𝒱̊，在中按部件集成(2.4)，连同(2.5安), (25亿), (2.5天)以及(2.5英尺)，给出

(2.6)¦ΒΓ我[(ρF类⁢c（c）2⁢∇·𝒖)⁢𝒏-𝝈⁢(𝒘)⁢𝒏]·𝒛⁢𝑑秒+¦ΒΓN个[𝝈⁢(𝒘)⁢𝜼]·𝒛⁢𝑑秒=0,

这意味着(2.5摄氏度)和(2.5秒)在某种意义上H（H）-1/2⁢(Γ我)和H（H）-1/2⁢(ΓN个),分别是。事实上，我们可以任何𝒛∈[H（H）ΓD类1⁢(Ω秒)]2作为中的测试功能(2.6)因为存在𝒗∈H（H）0,1⁢(div公司;ΩF类)这样的话(𝒗,𝒛)∈𝒱̊。对于例如，我们可以𝒗=∇⁡q个，其中q个∈H（H）1⁢(ΩF类)是一个满足功能∂⁡q个∂⁡𝒏=𝒛·𝒏在Γ我.

2.2源头问题的规律性

主要困难出现在界面上固体，另一边是液体。规律性耦合问题的稳定性与弹性问题，由于无卷曲条件拉普拉斯正则性。离开界面，我们可以思考将问题分开并使用众所周知的规律结果[19,20]用于固体和流体。然而，在界面上双方的解决方案通过接口耦合条件。在下文中，我们将重点讨论流体-固体界面上的角Γ我.

首先考虑同质源问题，定义如下：

-c（c）2⁢∇⁡(∇·𝒖)=0英寸ΩF类,

-∇·𝝈⁢(𝒘)=𝟎英寸Ω秒,

𝝈⁢(𝒘)⁢𝒏-(ρF类⁢c（c）2⁢∇·𝒖)⁢𝒏=𝟎上的Γ我,

𝒘·𝒏-𝒖·𝒏=0上的Γ我,

𝝈⁢(𝒘)⁢𝜼=𝟎上的ΓN个,

𝒘=𝟎上的ΓD类.

对于给定的拐角c（c）属于Γ我，我们切换到极坐标(第页,θ)在c（c）作为起源。我们表示一个向量函数𝒗⁢(第页,θ)在极坐标中为𝒗⁢(第页,θ)=v（v）第页⁢𝒓^+v（v）θ⁢𝜽^，其中

𝒓^=(余弦⁡(θ)罪⁡(θ)) 和 𝜽^=(-罪⁡(θ)余弦⁡(θ)).

换言之，就基础而言𝒓^,𝜽^,

𝒗⁢(第页,θ)=(v（v）第页v（v）θ).

假设c（c）位于的原点和边缘Γ我从……发出c（c）由定义θ=-ω秒和θ=ω秒（参见图2)。

$图2角为2ωs{2\omega_{s}}的角c。$

图2

带角度的角c2⁢ω秒.

我们将分离变量应用于整个耦合问题。对于弹性部分，我们得到了以下一般解（参见[24，第3.1.3节]）：

𝒘⁢(第页,θ)=第页γ⁢(A类⁢余弦⁡((γ+1)⁢θ)+B类⁢罪⁡((γ+1)⁢θ)+C类⁢余弦⁡((γ-1)⁢θ)+D类⁢罪⁡((γ-1)⁢θ)B类⁢余弦⁡((γ+1)⁢θ)-A类⁢罪⁡((γ+1)⁢θ)+θ⁢D类⁢余弦⁡((γ-1)⁢θ)-Θ⁢C类⁢罪⁡((γ-1)⁢θ)),

哪里

Θ:=μ秒λ秒+2⁢μ秒⁢(γ-1)-(γ+1)μ秒λ秒+2⁢μ秒⁢(γ+1)-(γ-1)

和常数A类,B类,C类,D类都是武断的。无卷曲条件意味着流体部分的问题等价于拉普拉斯问题，拉普拉斯方程具有以下形式的一般解：

𝒖⁢(第页,θ)=第页γ⁢(E类⁢余弦⁡((γ+1)⁢θ)+F类⁢罪⁡((γ+1)⁢θ)F类⁢余弦⁡((γ+1)⁢θ)-E类⁢罪⁡((γ+1)⁢θ)),

哪里E类,F类是任意常数。什么时候？γ≠1（一个对我们的目的不重要的值），方程式∇⁡(∇·𝒖)=0对于这种类型的𝒖意味着∇·𝒖=0.因此，第一个界面条件与弹性问题的牵引边界条件相同，即。，

𝝈⁢(𝒘)⁢𝒏=𝟎 上的⁢Γ我.

这相当于以下方程组：

余弦⁡((γ+1)⁢ω秒)⁢B类+(γ-1)⁢(μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒)⁢余弦⁡((γ-1)⁢ω秒)⁢D类=0,

罪⁡((γ+1)⁢ω秒)⁢A类+(γ-1)⁢(μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒)⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)⁢C类=0,

余弦⁡((γ+1)⁢ω秒)⁢A类+(γ+1)⁢(μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒)⁢余弦⁡((γ-1)⁢ω秒)⁢C类=0,

罪⁡((γ+1)⁢ω秒)⁢B类+(γ+1)⁢(μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒)⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)⁢D类=0.

因此，当γ满足

(2.7)γ2⁢罪2⁡(2⁢ω秒)-罪2⁡(2⁢γ⁢ω秒)=0,

哪里ω秒∈(0,π).

第二个界面条件产生

B类⁢余弦⁡((γ+1)⁢ω秒)+Θ⁢D类⁢余弦⁡((γ-1)⁢ω秒)+F类⁢余弦⁡((γ+1)⁢ωF类)=0,

A类⁢罪⁡((γ+1)⁢ω秒)+Θ⁢C类⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)+E类⁢罪⁡((γ+1)⁢ωF类)=0,

哪里ωF类=π-ω秒.

假设B类=D类=F类=0,罪⁡((γ+1)⁢ωF类)≠0并解决A类和E类就C类.此选项对应于γ⁢罪⁡(2⁢ω秒)+罪⁡(2⁢γ⁢ω秒)=0，方程式的两个因子之一(2.7)。我们有

A类=-((γ-1)⁢(μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒))⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)罪⁡((γ+1)⁢ω秒)⁢C类,

E类=-2⁢(2⁢μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒)⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)罪⁡((γ+1)⁢ωF类)⁢C类.

因此，让C类=1，我们有

(2.8)𝒘⁢(第页,θ)=第页γ⁢(-((γ-1)⁢(μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒))⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)罪⁡((γ+1)⁢ω秒)⁢余弦⁡((γ+1)⁢θ)+余弦⁡((γ-1)⁢θ)((γ-1)⁢(μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒))⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)罪⁡((γ+1)⁢ω秒)⁢罪⁡((γ+1)⁢θ)-Θ⁢罪⁡((γ-1)⁢θ))

和

(2.9)𝒖⁢(第页,θ)=-第页γ⁢(2⁢(2⁢μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒)⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)罪⁡((γ+1)⁢ωF类)⁢余弦⁡((γ+1)⁢θ)-2⁢(2⁢μ秒+λ秒)(μ秒+λ秒)⁢γ-(三⁢μ秒+λ秒)⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)罪⁡((γ+1)⁢ωF类)⁢罪⁡((γ+1)⁢θ)).

如果我们假设A类=C类=E类=0,余弦⁡((γ+1)⁢ωF类)≠0并解决B类,F类就D类。此选项对应于γ⁢罪⁡(2⁢ω秒)-罪⁡(2⁢γ⁢ω秒)=0，方程的另一个因子(2.7)。

备注2.1。

方程式(2.7)正是决定奇点的超越方程纯牵引弹性问题边界条件（参见[20，第4.2节]和[24，第4.2节]）。注意，它与拉美常数无关。

考虑超越方程

(2.10)γ2⁢罪2⁡(ω)-罪2⁡(γ⁢ω)=0,ω∈(0,2⁢π).

定义角度ω0∈(π,三⁢π2)通过

ω0=棕褐色的⁡(ω0).

下面的引理定义了实体边的奇点。

引理2.2([20（引理3.3.1，引理3.3.2]）。

在条形图中0<关于⁢(z（z）)<1，方程式(2.10)在以下情况下没有根ω<π，只有一个实根γ1什么时候π<ω<ω0有两个不同的简单实根γ1<γ2什么时候ω0<ω<2⁢π.此外，当ω>π,

12<γ1<πω<γ2.

备注2.3。

一个有趣的观察是(2.4)完全由固体侧决定，它们与固体的拉美常数无关（参见备注2.1)。注意，对于流体-结构相互作用问题，我们采用ω=2⁢ω秒,ω秒∈(0,π)例如，当ω秒=三⁢π4,方程对应的奇异指数γ⁢罪⁡(三⁢π2)+罪⁡(γ⁢三⁢π2)=0是γ=0.544483661651611.

我们通过以下引理来结束这一小节。证据，其中基于泊松问题的先验估计线性弹性问题，类似于[2，定理2.5]。

引理2.4。

解决方案(𝐮,𝐰)第页，共页(2.4)属于H（H）1+γ1,1⁢(div公司;ΩF类)×[H（H）1+γ1⁢(Ω秒)]2和

(2.11){∥𝒖∥H（H）1+γ1,1⁢(div公司;ΩF类)+∥𝒘∥[H（H）1+γ1⁢(Ω秒)]2}≤C类|(𝒇,𝒈)|,

哪里γ1如引理所示2.2.

2.3非一致有限元方法

让𝒯小时是一个三角剖分族ΩF类∪Ω秒这样每个三角形都完全包含在ΩF类或Ω秒。我们表示为小时=最大值T型∈𝒯小时⁡小时T型的网格参数𝒯小时，其中小时T型是三角形的直径T型.三角测量𝒯小时在拐角处分级c（c）1,…,c（c）L（左）在Γ我拥有

(2.12)C类1⁢小时T型≤小时⁢Φμ⁢(T型)≤C类2⁢小时T型,

哪里

(2.13)Φμ⁢(T型)=∏ℓ=1L（左）|c（c）ℓ-c（c）T型|1-μℓ.

在这里c（c）T型是的中心T型和正常数C类1和C类2是独立于小时向量μ包含分级参数μ1,…,μL（左）根据选择

(2.14)

μℓ=1如果⁢ωℓ≤π,

12<μℓ<γ1(<πωℓ)如果⁢ωℓ>π,

哪里ω1,…,ωL（左）拐角处的内角是吗c（c）1,…,c（c）L（左）属于Ω秒.（图中区域的分级网格示例1如图所示4）

请注意

(2.15)小时T型≲小时为所有人⁢T型∈𝒯小时,

(2.16)小时T型≈小时1/μŞ如果在拐角处c（c）ℓ是的顶点T型∈𝒯小时.

让ℰ小时,ΩF类是中的一组边𝒯小时你好ΩF类.让ℰ小时,ΩF类我表示内边缘的集合𝒯小时你好ΩF类然后让ℰ小时Γ我（分别为，ℰ小时ΓN个,ℰ小时ΓD类)表示上的边集Γ我（分别为，ΓN个,ΓD类). 我们定义

N个小时⁢(ΩF类)={𝒗∈[L（左）2⁢(ΩF类)]2:𝒗T型=𝒗|T型∈[P（P）1⁢(T型)]2,𝒗⁢在任何⁢e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我}

和

L（左）小时⁢(Ω秒)={𝒛∈[H（H）1⁢(Ω秒)]2:𝒛T型=𝒛|T型∈[P（P）1⁢(T型)]2⁢为所有人T型∈𝒯小时, T型∈Ω秒、和𝒛=0在任何⁢e（电子）∈ℰ小时ΓD类}.

然后我们定义

V（V）小时={(𝒗,𝒛)∈N个小时⁢(ΩF类)×L（左）小时⁢(Ω秒):¦Βe（电子）(𝒗-𝒛)·𝒏⁢𝑑秒=0⁢在任何⁢e（电子）∈ℰ小时Γ我}.

让∇小时·和∇小时是由定义的分段div和grad运算符

(∇小时·𝒗)T型=∇·(𝒗T型)为所有人⁢T型∈𝒯小时,

(∇小时⁡𝒗)T型=∇⁡(𝒗T型)为所有人⁢T型∈𝒯小时.

让e（电子）∈ℰ小时我由两个三角形共享T型e（电子）,1,T型e（电子）,2∈𝒯小时然后让𝒏1（分别为，𝒏2)是的单位正常值e（电子）指向外部T型e（电子）,1（分别为，T型e（电子）,2)。我们定义e（电子）,

(2.17)

（2.17a）[[𝒏×𝒗]]=𝒏1×(𝒗T型e（电子）,1|e（电子）)+𝒏2×(𝒗T型e（电子）,2|e（电子）),

（2.17亿）[[𝒏·𝒗]]=𝒏1·(𝒗T型e（电子）,1|e（电子）)+𝒏2·(𝒗T型e（电子）,2|e（电子）).

非协调有限元方法(2.4)是：

问题。

查找(𝒖小时,𝒘小时)∈V（V）小时这样的话

(2.18)一小时⁢((𝒖小时,𝒘小时),(𝒗,𝒛))=b条⁢((𝒇,𝒈),(𝒗,𝒛)) 为所有人⁢(𝒗,𝒛)∈V（V）小时,

哪里

一小时⁢((𝒖,𝒘),(𝒗,𝒛))=¦ΒΩF类(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇小时·𝒖)⁢(∇小时·𝒗)⁢𝑑x个+小时-2⁢¦ΒΩF类(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇小时×𝒖)⁢(∇小时×𝒗)⁢𝑑x个

+¦ΒΩ秒(𝝈(𝒘):ϵ(𝒛))d日x个+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|¦Βe（电子）(ρF类c（c）2)[[𝒏·𝒖]][[𝒏·𝒗]]d日秒

+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|⁢¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢[[𝒏×𝒖]]⁢[[𝒏×𝒗]]⁢𝑑秒

(2.19)+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我1|e（电子）|⁢¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(𝒏·(𝒖-𝒘))⁢(𝒏·(𝒗-𝒛))⁢𝑑秒.

在这里ϵ小时⁢(𝒛)=12⁢(∇小时⁡𝒛+(∇小时⁡𝒛)T型)和𝝈小时⁢(𝝍)=2⁢μ秒⁢ϵ小时⁢(𝒘)+λ秒⁢(∇小时·𝒘)⁢𝜹是中定义的应变张量和应力张量的离散形式章节1。从现在起，我们将不再跟踪对常数的依赖性ρF类,ρ秒,c（c）,μ秒和λ秒.

对于任何秒>12，我们定义了弱插值操作人员ΠT型:[H（H）秒⁢(T型)]2→[P（P）1⁢(T型)]2如下：

(2.20)(ΠT型⁢𝜻)⁢(米e（电子）j个)=1|e（电子）j个|⁢¦Βe（电子）j个𝜻⁢𝑑秒的⁢1≤j个≤三,

哪里e（电子）1,e（电子）2和e（电子）三是的边缘T型、和米e（电子）和|e（电子）|表示边缘的中点和长度e（电子）.它紧接着从(2.20)中点规则和格林定理

(2.21)¦ΒT型∇×(ΠT型⁢𝜻)⁢𝑑x个=¦ΒT型∇×𝜻⁢𝑑x个,

(2.22)¦ΒT型∇·(ΠT型⁢𝜻)⁢𝑑x个=¦ΒT型∇·𝜻⁢𝑑x个.

此外，操作员ΠT型满足标准误差估计[16]:

(2.23)∥𝜻-ΠT型⁢𝜻∥L（左）2⁢(T型)+小时T型最小值⁡(秒,1)⁢|𝜻-ΠT型⁢𝜻|H（H）最小值⁡(秒,1)⁢(T型)≤C类T型⁢小时T型秒⁢|𝜻|H（H）秒⁢(T型)

为所有人𝜻∈[H（H）秒⁢(T型)]2和秒∈(12,2],其中正常数C类T型取决于最小角度T型.

我们可以定义一个全局插值算子Π小时,ΩF类:H（H）秒,1⁢(div公司;ΩF类)→N个小时通过拼接局部插值操作符：

(Π小时,ΩF类⁢𝒗)T型=ΠT型⁢𝒗T型为所有人⁢T型∈𝒯小时,ΩF类.

A合适V（V）小时-插值算子𝐈小时:{H（H）1+α,1⁢(div公司;ΩF类)×[H（H）1+α⁢(Ω秒)]2}你好𝒱→V（V）小时(α>12)定义如下：

(2.24)𝐈小时⁢(𝒖,𝒘)|T型={(L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)|T型如果⁢T型⊂Ω秒,(π小时,ΩF类⁢𝒖)|T型如果⁢T型⊂ΩF类⁢和⁢∂⁡T型你好Γ我=∅,(Π小时,ΩF类^⁢𝒖)|T型如果⁢T型⊂ΩF类⁢和⁢∂⁡T型你好Γ我≠∅,

哪里L（左）小时,Ω秒⁢𝒘是的拉格朗日插值𝒘在里面L（左）小时⁢(Ω秒),和(Π小时,ΩF类^⁢𝒖)|T型是中的函数N个小时⁢(ΩF类)这样的话

(2.25)((Π小时,ΩF类^⁢𝒖)×𝒏)|e（电子）=((Π小时,ΩF类⁢𝒖)×𝒏)|e（电子）为所有人⁢e（电子）∈ℰ小时,ΩF类

和

(2.26)(Π小时,ΩF类^⁢𝒖·𝒏)⁢(米e（电子）)={((π小时,ΩF类⁢𝒖)·𝒏)⁢(米e（电子）)如果⁢e（电子）⊄Γ我,1|e（电子）|⁢¦Βe（电子）((L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)·𝒏)|T型e（电子）⁢d日⁢秒如果⁢e（电子）⊂Γ我,

具有T型e（电子）包含在中的三角形Ω秒这样的话∂⁡T型你好∂⁡T型e（电子）=e（电子）、和米e（电子）是的中点e（电子）.

2.4初步误差估计

我们将测量与网格相关的能量范数∥(·,·)∥小时由定义

∥(𝒗,𝒛)∥小时2=∥∇小时·𝒗∥L（左）2⁢(ΩF类)2+小时-2⁢∥∇小时×𝒗∥L（左）2⁢(ΩF类)2+∥∇小时⁡𝒛∥L（左）2⁢(Ω秒)2+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|⁢∥[[𝒏·𝒗]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2

(2.27)+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|⁢∥[[𝒏×𝒗]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我1|e（电子）|⁢∥𝒏·(𝒗-𝒛)∥L（左）2⁢(e（电子）)2.

请注意一小时⁢((·,·),(·,·))受能量范数限制，即。，

(2.28)|一小时⁢((ϕ,𝝍),(𝒗,𝒛))|≤C类⁢∥(ϕ,𝝍)∥小时⁢∥(𝒗,𝒛)∥小时

为所有人(ϕ,𝝍),(𝒗,𝒛)∈{H（H）1+α,1⁢(div公司;ΩF类)×[H（H）1+α⁢(Ω秒)]2}你好𝒱̊+V（V）小时.

由于Korn的不平等，一小时⁢((·,·),(·,·))在以下方面也是强制性的∥(·,·)∥小时即。，

(2.29)一小时⁢((𝒗,𝒛),(𝒗,𝒛))≥γ⁢∥(𝒗,𝒛)∥小时2

为所有人(𝒗,𝒛)∈{H（H）1+α,1⁢(div公司;ΩF类)×[H（H）1+α⁢(Ω秒)]2}你好𝒱̊+V（V）小时.

引理2.5。

让(𝐮,𝐰)∈V（V）̊是…的解决方案(2.4)，并让(𝐮小时,𝐰小时)满足离散问题(2.18). 它认为

∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时≤(1+C类γ)⁢基础设施(𝒗,𝒛)∈V（V）小时⁡∥(𝒖,𝒘)-(𝒗,𝒛)∥小时+1γ⁢支持(ϕ,𝝍)∈V（V）小时∖{(𝟎,𝟎)}⁡一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(ϕ,𝝍))∥(ϕ,𝝍)∥小时.

证明。

让(𝒗,𝒛)∈V（V）小时随心所欲。它源自(2.28)和(2.29)那个

∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时≤∥(𝒖,𝒘)-(𝒗,𝒛)∥小时+∥(𝒗,𝒛)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时

≤∥(𝒖,𝒘)-(𝒗,𝒛)∥小时+1γ⁢支持(ϕ,𝝍)∈V（V）小时∖{(𝟎,𝟎)}⁡一小时⁢((𝒗,𝒛)-(𝒖小时,𝒘小时),(ϕ,𝝍))∥(ϕ,𝝍)∥小时

≤(1+C类γ)⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒗,𝒛)∥小时+1γ⁢支持(ϕ,𝝍)∈V（V）小时∖{(𝟎,𝟎)}⁡一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(ϕ,𝝍))∥(ϕ,𝝍)∥小时,

根据需要。完

以下引理对错误分析很有用。

引理2.6。

对于任何(𝐮,𝐰)∈{H（H）1+α,1⁢(div公司;ΩF类)×[H（H）1+α⁢(Ω秒)]2}你好V（V）,T型∈ΩF类这样的话∂⁡T型你好Γ我≠∅和T型e（电子）∈Ω秒具有∂⁡T型你好∂⁡T型e（电子）=e（电子），存在一个正常数C类（取决于最小角度T型和T型e（电子）)这样的话

(2.30)∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我≠∅∥ΠT型⁢𝒖-(Π小时,ΩF类^⁢𝒖)|T型∥H（H）⁢(div公司;T型)2≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|2.

证明。

让ϕe（电子）,n个是的基本向量𝒩小时⁢(ΩF类)对应于上的法向量e（电子）。它源自(2.1), (2.20)以及(2.26)那个

(2.31)(Π小时,ΩF类⁢𝒖-Π小时,ΩF类^⁢𝒖)|T型=|1|e（电子）|⁢¦Βe（电子）(𝒖-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)·𝒏⁢𝑑秒|⁢ϕe（电子）,n个=|1|e（电子）|⁢¦Βe（电子）(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)·𝒏⁢𝑑秒|⁢ϕe（电子）,n个.

因此，

请注意

¦ΒT型|∇·ϕe（电子）,n个|2⁢𝑑x个=1|T型|⁢|¦ΒT型∇·ϕe（电子）,n个⁢𝑑x个|2=1|T型|⁢|¦Β∂⁡T型ϕe（电子）,n个·𝒏T型⁢𝑑秒|2=|e（电子）|2|T型|.

因此∥ϕe（电子）,n个∥H（H）⁢(div公司;T型)2≤C类对于常量C类那个取决于最小角度T型.

如果T型e（电子）远离凹角Γ我,通过使用(2.11)，迹定理（带缩放）和标准插值结果[15,13]，我们有

|1|e（电子）|⁢¦Βe（电子）(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)·𝒏⁢𝑑秒|2≤1|e（电子）|⁢∥𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘∥[L（左）2⁢(e（电子）)]22

≤C类⁢{小时T型-2⁢∥𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘∥[L（左）2⁢(T型e（电子）)]22+|𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘|[H（H）1⁢(T型e（电子）)]22}

(2.33)≤C类⁢小时T型2⁢|𝒘|[H（H）2⁢(T型e（电子）)]22.

对于三角形T型e（电子）在凹角附近，但不接触拐角，它是从(2.12)那个

|1|e（电子）|¦Βe（电子）[(𝒘-L（左）小时,Ω秒𝒘)·𝒏d日秒|2≤1|e（电子）|∥𝒘-L（左）小时,Ω秒𝒘∥[L（左）2⁢(e（电子）)]22

≤C类⁢{小时T型-2⁢∥𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘∥[L（左）2⁢(T型e（电子）)]22+|𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘|[H（H）1⁢(T型e（电子）)]22}

≤C类⁢小时T型2⁢|𝒘|[H（H）2⁢(T型e（电子）)]22

≤C类⁢小时2⁢[Φμ⁢(T型)]2⁢|𝒘|[H（H）2⁢(T型e（电子）)]22

(2.34)≤C类⁢小时2⁢|𝒘|[H（H）2⁢(T型e（电子）)]22,

我们应用了以下事实

(2.35)¦Β01第页2⁢(1-μℓ)⁢第页2⁢(γ1-2)⁢第页⁢𝑑第页<∞ 如果⁢μℓ<γ1.

对于三角形T型e（电子）接触到一个可重入角点，我们可以对分数阶Sobolev空间应用插值误差估计[17]一起带有(2.11), (2.16), (2.14)与标度跟踪定理

|1|e（电子）|¦Βe（电子）[(𝒘-L（左）小时,Ω秒𝒘)·𝒏d日秒|2≤1|e（电子）|∥𝒘-L（左）小时,Ω秒𝒘∥[L（左）2⁢(e（电子）)]22

≤C类⁢{小时T型-2⁢∥𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘∥[L（左）2⁢(T型e（电子）)]22+|𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘|[H（H）1⁢(T型e（电子）)]22}

(2.36)≤C类⁢小时T型2⁢μℓ⁢|𝒘|[H（H）1+μℓ⁢(T型e（电子）)]22.

估算(2.30)然后从正则性结果(2.11)以及(2.32)–(2.36)超过T型∈ΩF类具有∂⁡T型你好Γ我≠∅.∎

引理2.7。

让(𝐮,𝐰)∈V（V）̊是…的解决方案(2.4). 我们有

(2.37)∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我=∅∥∇·(𝒖-ΠT型𝒖)∥L（左）2⁢(T型)2+∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我≠∅∥∇·(𝒖-(π小时,ΩF类^𝒖)|T型)∥L（左）2⁢(T型)2≤C类小时2|(𝒇,𝒈)|.

证明。

注意(2.22)暗示

∇·(ΠT型⁢𝒖)=ΠT型0⁢(∇·𝒖),

哪里ΠT型0是来自的正交投影L（左）2⁢(Ω)关于分段常数函数的空间T型∈𝒯小时,ΩF类因此，通过使用标准插值误差估计[15,13]，我们有

(2.38)∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我=∅∥∇·(𝒖-ΠT型⁢𝒖)∥L（左）2⁢(T型)2=∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我=∅∥∇·𝒖-Π小时0⁢(∇·𝒖)∥L（左）2⁢(T型)2≤C类⁢小时2⁢|∇·𝒖|H（H）1⁢(ΩF类)2.

然后根据(2.38)，引理2.6和规律性结果(2.11)那个

∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我≠∅∥∇·(𝒖-(Π小时,ΩF类^𝒖)|T型)∥L（左）2⁢(T型)2≤∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我≠∅∥∇·(𝒖-ΠT型𝒖)∥L（左）2⁢(T型)2+∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我≠∅∥∇·(ΠT型𝒖-(Π小时,ΩF类^𝒖)|T型)∥L（左）2⁢(T型)2

(2.39)≤C类⁢{小时2⁢|∇·𝒖|H（H）1⁢(ΩF类)2+小时2⁢|(𝒇,𝒈)|2}.

我们得出以下结论：(2.37)通过合并(2.11), (2.38)和(2.39)。∎

注意，插值运算符Π小时,ΩF类定义于ℰ小时,ΩF类我与受雇于[9]. 可以证明以下结果与中类似[9，引理5.2]：

引理2.8。

让(𝐮,𝐰)∈V（V）̊是…的解决方案(2.4). 我们有

(2.40)∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|⁢∥[[𝒖-Π小时,ΩF类⁢𝒖]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|2.

证明。

让e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我然后让𝒯e（电子）是三角形的集合𝒯小时有e（电子）作为边缘。我们有

(2.41)1|e（电子）|⁢∥[[𝒖-Π小时,ΩF类⁢𝒖]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2≲∑T型∈𝒯e（电子）|e（电子）|-1⁢∥𝒖-ΠT型⁢𝒖∥L（左）2⁢(e（电子）)2.

如果T型∈𝒯e（电子）远离凹角Γ我,然后根据迹定理（带标度）(2.15)和(2.23)（带有秒=2),

(2.42)|e（电子）|-1⁢∥𝒖-πT型⁢𝒖∥L（左）2⁢(e（电子）)2≲小时T型-2⁢∥𝒖-ΠT型⁢𝒖∥L（左）2⁢(T型)2+|𝒖-ΠT型⁢𝒖|H（H）1⁢(T型)2≤C类⁢小时T型2⁢|𝒖|H（H）2⁢(T型)2.

注意，如果T型∈𝒯e（电子）在可重新进入的拐角的邻域内但不接触该拐角，估计(2.42)也认为(2.35)。另一方面，如果T型∈𝒯e（电子）有一个凹角c（c）ℓ作为其顶点之一，我们可以使用(2.16)和(2.23)（带有秒=1+μℓ)以获得

(2.43)|e（电子）|-1⁢∥𝒖-ΠT型⁢𝒖∥L（左）2⁢(e（电子）)2≲小时T型-2⁢∥𝒖-ΠT型⁢𝒖∥L（左）2⁢(T型)2+|𝒖-ΠT型⁢𝒖|H（H）1⁢(T型)2≲小时T型2⁢μŞ⁢|𝒖|H（H）1+μℓ⁢(T型)2.

估算(2.40)根据正则性结果(2.11)以及(2.41)–(2.43)超过e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我。这就完成了引理的证明。完

下面的引理，它与[9，引理5.3]，用于估计项涉及弱连续的跳跃P（P）1向量场穿过边缘。该证明基于轨迹定理（缩放）和标准插值误差估计[15,13].

引理2.9。

它认为

∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类|e（电子）|⁢∥η-η¯T型e（电子）∥L（左）2⁢(e（电子）)2≤C类⁢小时2⁢|η|H（H）1⁢(ΩF类)2 对所有人来说⁢η∈H（H）1⁢(ΩF类),

哪里

(2.44)η¯T型e（电子）=1|T型e（电子）|⁢¦ΒT型e（电子）η⁢𝑑x个

是η的平均值T型e（电子）,中的一个三角形T型小时已经e（电子）作为边缘。

回想一下问是L（左）2-正交投影到H（H）⁢(卷曲0;ΩF类)。以下结果对于解决导致的一致性错误问英寸(2.5个)。

引理2.10。

以下估计成立：

(2.45)∥𝒗-问⁢𝒗∥[L（左）2⁢(ΩF类)]2≤C类⁢小时⁢∥(𝒗,𝒘)∥小时

为所有人(𝐯,𝐰)∈[H（H）1+α,1⁢(div公司;ΩF类)×[H（H）1+α⁢(Ω秒)]2]+V（V）小时.

证明。

对于任何𝒗∈H（H）1+α,1⁢(div公司;ΩF类)，我们有(𝒗-问⁢𝒗)∈∇×H（H）01⁢(ΩF类)，的正交补H（H）⁢(卷曲0;ΩF类)因此，通过二元性，

(2.46)∥𝒗-问⁢𝒗∥[L（左）2⁢(ΩF类)]2=支持η∈H（H）01⁢(ΩF类)∖{0}⁡(𝒗-问⁢𝒗,∇×η)∥∇×η∥L（左）2⁢(ΩF类)=支持η∈H（H）01⁢(ΩF类)∖{0}⁡(𝒗,∇×η)∥∇×η∥L（左）2⁢(ΩF类).

根据部件集成

(𝒗,∇×η)=(∇小时×𝒗,η)+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）η⁢[[𝒏×𝒗]]⁢𝑑秒.

鉴于(2.27)和庞加莱-弗里德里希斯不平等，我们有

(2.47)(∇小时×𝒗,η)≤∥∇小时×𝒗∥L（左）2⁢(ΩF类)⁢∥η∥L（左）2⁢(ΩF类)≤C类⁢小时⁢∥(𝒗,𝒘)∥小时⁢∥∇×η∥L（左）2⁢(ΩF类).

自[[𝒏×𝒗]]在内部边缘，使用中点规则我们可以写

∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）η⁢[[𝒏×𝒗]]⁢𝑑秒=∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(η-η¯T型e（电子）)⁢[[𝒏×𝒗]]⁢𝑑秒

≤C类⁢{∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我|e（电子）|⁢∥η-η¯T型e（电子）∥L（左）2⁢(e（电子）)2}1/2⁢{∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|⁢∥[[𝒏×𝒗]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2}1/2

(2.48)≤C类⁢小时⁢|η|H（H）1⁢(ΩF类)⁢∥(𝒗,𝒘)∥小时,

哪里η¯T型e（电子）由定义(2.44)我们使用的引理2.9最后一个不等式。

估算(2.45)以下为(2.46),(2.47)和(2.48)。完

2.5收敛性分析

我们从的近似性质开始V（V）小时:

引理2.11。

让(𝐮,𝐰)∈V（V）̊是…的解决方案(2.4). 我们有

(2.49)基础设施(𝒗,𝒛)∈V（V）小时⁡∥(𝒖,𝒘)-(𝒗,𝒛)∥小时≤∥(𝒖,𝒘)-𝐈小时⁢(𝒖,𝒘)∥小时≤C类⁢小时⁢|(𝒇,𝒈)|.

证明。

自∇×𝒖=0暗示∇小时×(Π小时,ΩF类⁢𝒖)=0，因为(2.21), (2.24)和(2.25)，我们有

∥(𝒖,𝒘)-𝐈小时(𝒖,𝒘)∥小时2=∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我=∅∥∇·(𝒖-ΠT型𝒖)∥L（左）2⁢(T型)2+∑T型∈ΩF类∂⁡T型你好Γ我≠∅∥∇·(𝒖-(π小时,ΩF类^𝒖)|T型)∥L（左）2⁢(T型)2

+∥∇小时⁡(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)∥L（左）2⁢(Ω秒)2+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|⁢∥[[𝒏·(𝒖-Π小时,ΩF类⁢𝒖)]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2

+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|⁢∥[[𝒏×(𝒖-Π小时,ΩF类⁢𝒖)]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2

(2.50)+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我1|e（电子）|⁢∥𝒏·((𝒖-Π小时,ΩF类^⁢𝒖)-(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘))∥L（左）2⁢(e（电子）)2.

右侧的前两项(2.50)已由估算引理2.7第四和第五项是由引理估计2.8.右侧第三学期的估算如下第页，共页(2.50)可以通过与引理的证明2.6:

(2.51)∥∇小时⁡(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)∥L（左）2⁢(Ω秒)2=∑T型∈Ω秒|𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘|[H（H）1⁢(T型)]2≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|2.

上学期，我们有

∑e（电子）∈ℰ小时Γ我1|e（电子）|⁢∥𝒏·((𝒖-Π小时,ΩF类^⁢𝒖)-(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘))∥L（左）2⁢(e（电子）)2

(2.52)≤C类⁢∑e（电子）∈ℰ小时Γ我{1|e（电子）|⁢∥𝒏·(𝒖-Π小时,ΩF类^⁢𝒖)∥L（左）2⁢(e（电子）)2+1|e（电子）|⁢∥𝒏·(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)∥L（左）2⁢(e（电子）)2}.

右侧的第二项(2.52)可以是由限定C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|2，通过与引理中类似的论点2.6.

只剩下估计右边的第一项了第页，共页(2.52). 请注意

(2.53)1|e（电子）|⁢∥𝒏·(𝒖-Π小时,ΩF类^⁢𝒖)∥[L（左）2⁢(e（电子）)]22≤1|e（电子）|⁢∥𝒏·(𝒖-Π小时,ΩF类⁢𝒖)∥[L（左）2⁢(e（电子）)]22+1|e（电子）|⁢∥𝒏·(Π小时,ΩF类⁢𝒖-Π小时,ΩF类^⁢𝒖)∥[L（左）2⁢(e（电子）)]22.

右侧的第一项(2.53)可以是由引理中的迹定理估计2.8.此外，

(Π小时,ΩF类⁢𝒖-π小时,ΩF类^⁢𝒖)|T型=|1|e（电子）|⁢¦Βe（电子）[(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)·𝒏]⁢𝑑秒|⁢ϕe（电子）,n个,

哪里T型∈ΩF类有e（电子）作为边缘和ϕe（电子）,n个定义为英寸(2.31). 因此，关于的右侧(2.53)成为

(2.54)1|e（电子）|⁢∥𝒏·(Π小时,ΩF类⁢𝒖-Π小时,ΩF类^⁢𝒖)∥[L（左）2⁢(e（电子）)]22=|1|e（电子）|⁢¦Βe（电子）[(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘)·𝒏]⁢𝑑秒|2⁢(1|e（电子）|⁢∥𝒏·ϕe（电子）,n个∥L（左）2⁢(e（电子）)2).

请注意1|e（电子）|⁢∥𝒏·ϕe（电子）,n个∥L（左）2⁢(e（电子）)2≤C类，其中C类是取决于最小角度的常数T型因此，我们可以派生自(2.52)，总和(2.53)–(2.54)超过e（电子）∈Γ我、和与引理中的类似参数2.6和引理2.8那个

(2.55)∑e（电子）∈ℰ小时Γ我1|e（电子）|⁢∥𝒏·((𝒖-Π小时,ΩF类^⁢𝒖)-(𝒘-L（左）小时,Ω秒⁢𝒘))∥L（左）2⁢(e（电子）)2≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|2.

估算(2.49)然后从(2.51), (2.55)和引理2.7–2.8.∎

引理2.12。

让(𝐮,𝐰)∈V（V）̊是…的解决方案(2.4)、和(𝐮小时,𝐰小时)满足离散问题(2.18). 它认为

(2.56)支持(ϕ,𝝍)∈V（V）小时∖{(𝟎,𝟎)}⁡一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(ϕ,𝝍))∥(ϕ,𝝍)∥小时≤C类⁢小时⁢|(𝒇,𝒈)|.

证明。

让(ϕ,𝝍)∈V（V）小时随心所欲。使用(2.5)，按部分集成，事实上∇×𝒖=0⁢在里面⁢ΩF类,和𝝈⁢(𝒘)⁢𝒏=[(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)]⁢𝒏，我们发现

一小时((𝒖,𝒘),(ϕ,𝝍))=∑T型∈ΩF类¦ΒT型(ρF类c（c）2)(∇·𝒖)(∇·ϕ)d日x个+¦ΒΩ秒(𝝈小时(𝒘):ϵ小时(𝝍))d日x个

=b条⁢((问⁢𝒇,𝒈),(ϕ,𝝍))+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[[𝒏·ϕ]]⁢𝑑秒-∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(𝝈小时⁢(𝒘)⁢𝒏)·𝝍⁢𝑑秒

=b条⁢((问⁢𝒇,𝒈),(ϕ,𝝍))+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[[𝒏·ϕ]]⁢𝑑秒

(2.57)+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[𝒏·(ϕ-𝝍)]⁢𝑑秒.

因此，通过(2.18),

一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(ϕ,𝝍))=b条⁢((问⁢𝒇-𝒇,𝟎),(ϕ,𝝍))+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[[𝒏·ϕ]]⁢𝑑秒

+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[𝒏·(ϕ-𝝍)]⁢𝑑秒

=¦ΒΩF类ρF类⁢𝒇·(问⁢ϕ-ϕ)⁢𝑑x个+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[[𝒏·ϕ]]⁢𝑑秒

(2.58)+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[𝒏·(ϕ-𝝍)]⁢𝑑秒.

我们从(2.58)方案一致性误差有三个来源(2.18)，即投影问，的向量场的不连续性V（V）小时里面ΩF类，以及Γ我.

鉴于引理2.10，方程式右侧的第一项(2.58)满足估计

(2.59)¦ΒΩF类𝒇·(问⁢ϕ-ϕ)⁢𝑑x个≤C类⁢∥𝒇∥[L（左）2⁢(ΩF类)]2⁢∥问⁢ϕ-ϕ∥[L（左）2⁢(ΩF类)]2≤C类⁢小时⁢|(𝒇,𝒈)|⁢∥(ϕ,𝝍)∥小时.

根据的定义V（V）小时Cauchy–Schwarz不等式，(2.27)和引理2.9，我们可以估计右边的第二项(2.58)如下：

∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(∇·𝒖)⁢[[𝒏·ϕ]]⁢𝑑秒=∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(∇·𝒖-(∇·𝒖)¯T型e（电子）)⁢[[𝒏·ϕ]]⁢𝑑秒

≤{∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我|e（电子）|⁢∥∇·𝒖-(∇·𝒖)¯T型e（电子）∥L（左）2⁢(e（电子）)2}1/2⁢{∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我1|e（电子）|⁢∥[[𝒏·ϕ]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2}1/2

≤C类⁢小时⁢|∇·𝒖|H（H）1⁢(ΩF类)⁢∥(ϕ,𝝍)∥小时

（2.60）≤C类⁢小时⁢|(𝒇,𝒈)|⁢∥(ϕ,𝝍)∥小时.

现在我们来估计右边的第三项(2.58)。对于任何e（电子）∈ℰ小时Γ我，请注意

¦Βe（电子）(ϕ-𝝍)·𝒏⁢𝑑秒=0.

让T型e（电子）F类∈ΩF类和T型e（电子）秒∈Ω秒是这样的三角形T型e（电子）F类你好T型e（电子）秒=e（电子）通过Cauchy-Schwarz不等式，

|¦Βe（电子）(∇·𝒖)⁢[(ϕ-𝝍)·𝒏]⁢𝑑秒|=|¦Βe（电子）(∇·𝒖-(∇·𝒖)¯T型e（电子）F类)⁢(ϕ·𝒏-𝝍·𝒏)⁢𝑑秒|

(2.61)≤(|e（电子）|1/2⁢∥∇·𝒖-(∇·𝒖)¯T型e（电子）F类∥L（左）2⁢(e（电子）))⁢(|e（电子）|-1/2⁢∥ϕ·𝒏-𝝍·𝒏∥L（左）2⁢(e（电子）)).

鉴于引理2.9，我们有

(2.62)∑e（电子）∈ℰ小时Γ我|e（电子）|⁢∥∇·𝒖-(∇·𝒖)¯T型e（电子）F类∥L（左）2⁢(e（电子）)2≤C类⁢小时2⁢|∇·𝒖|H（H）1⁢(ΩF类)2≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|2.

组合(2.27), (2.5)、和(2.62),我们得到了

(2.63)∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[𝒏·(ϕ-𝝍)]⁢𝑑秒≤C类⁢小时⁢|(𝒇,𝒈)|⁢∥(ϕ,𝝍)∥小时.

最后，估计(2.56)来自(2.58), (2.59),(2.60)和(2.63). 这个完成了引理的证明。∎

以下定理是引理2.5,引理2.11和引理2.12.

定理2.13。

以下离散化解决方案的误差估计(𝐮小时,𝐰小时)∈V（V）小时属于(2.18):

∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时≤C类⁢小时⁢|(𝒇,𝒈)|.

在本节的其余部分中，我们推导了标准L（左）2-规范|(·,·)|在[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2.

定理2.14。

让(𝐮,𝐰)∈V（V）̊是…的解决方案(2.4)和(𝐮小时,𝐰小时)∈V（V）小时满足(2.18). 那么我们有

(2.64)|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|≤C类⁢(小时2⁢|(𝒇,𝒈)|+小时⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时).

证明。

让(𝒑,𝒒)∈𝒱̊满足

（2.65）一⁢((𝒗,𝒛),(𝒑,𝒒))=b条⁢((𝒗,𝒛),(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时))

为所有人(𝒗,𝒛)∈𝒱̊.在这里一⁢(·,·)和b条⁢(·,·)由定义(2.2)和(2.3)。

请注意(2.65)是

(2.66)-c（c）2⁢∇⁡(∇·𝒑)=问⁢(𝒖-𝒖小时)英寸ΩF类,

(2.67)-∇·𝝈⁢(𝒒)=ρ秒⁢(𝒘-𝒘小时)英寸Ω秒,

我们有以下估计：

(2.68)|∇·𝒑|H（H）1⁢(ΩF类)≤C类⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|.

此外，我们可以重写(2.65)作为

(2.69)一小时⁢((𝒗,𝒛),(𝒑,𝒒))=b条⁢((𝒗,𝒛),(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时))

为所有人(𝒗,𝒛)∈𝒱̊.在这里一小时⁢(·,·)由定义(2.19)。

它源自(2.65), (2.66),(2.67)以及以下模拟的部件集成第页，共页(2.57)持有：

一小时((𝒖小时,𝒘小时),(𝒑,𝒒))=∑T型∈ΩF类¦ΒT型(ρF类c（c）2)(∇·𝒒)(∇·𝒖小时)d日x个+¦ΒΩ秒(𝝈小时(𝒒):ϵ小时(𝒘小时))d日x个

=b条⁢((𝒖小时,𝒘小时),(问⁢(𝒖-𝒖小时),(𝒘-𝒘小时)))+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[[𝒏·𝒖小时]]⁢𝑑秒

-∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(𝝈小时⁢(𝒒)⁢𝒏)·𝒘小时⁢𝑑秒

=b条⁢((𝒖小时,𝒘小时),(问⁢(𝒖-𝒖小时),(𝒘-𝒘小时)))+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[[𝒏·𝒖小时]]⁢𝑑秒

(2.70)+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[𝒏·(𝒖小时-𝒘小时)]⁢𝑑秒.

组合(2.69)和(2.70)，我们有

|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|2≈b条⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时))

=b条⁢((𝒖,𝒘),(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时))-b条⁢((𝒖小时,𝒘小时),(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时))

=一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(𝒑,𝒒))-b条⁢((𝒖小时,𝒘小时),((我-问)⁢(𝒖-𝒖小时),𝟎))

(2.71)+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[[𝒏·𝒖小时]]⁢𝑑秒+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[𝒏·(𝒖小时-𝒘小时)]⁢𝑑秒.

我们将估算右侧的四项(2.71)分别进行。

我们可以将第一个术语改写为

(2.72)一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(𝒑,𝒒))=一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(𝒑,𝒒)-𝐈小时⁢(𝒑,𝒒))+一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),𝐈小时⁢(𝒑,𝒒)).

然后从(2.28)和引理2.11（适用于(𝒑,𝒒))我们马上就有了

一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(𝒑,𝒒)-𝐈小时⁢(𝒑,𝒒))≤C类⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时⁢∥(𝒑,𝒒)-𝐈小时⁢(𝒑,𝒒)∥小时

(2.73)≤C类⁢小时⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|.

我们可以重写右边的第二项(2.72)作为

一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),𝐈小时⁢(𝒑,𝒒))=b条⁢((问⁢𝒇-𝒇,𝟎),𝐈小时⁢(𝒑,𝒒))+∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[[𝒏·(Π小时,ΩF类⁢𝒑)]]⁢𝑑秒

(2.74)+∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[𝒏·(Π小时,ΩF类^⁢𝒑-L（左）小时,Ω秒⁢𝒒)]⁢𝑑秒.

自𝒑∈H（H）⁢(卷曲0;ΩF类)，我们有问⁢𝒑=𝒑.签署人引理2.10（适用于𝒑)和引理2.11（适用于(𝒑,𝒒))，我们有

b条⁢((问⁢𝒇-𝒇,𝟎),𝐈小时⁢(𝒑,𝒒))=ρF类⁢(问⁢𝒇-𝒇,Π小时,ΩF类¯⁢𝒑)ΩF类

=ρF类⁢(𝒇,问⁢(Π小时,ΩF类¯⁢𝒑)-Π小时,ΩF类¯⁢𝒑)ΩF类

=ρF类⁢(𝒇,问⁢(Π小时,ΩF类¯⁢𝒑-𝒑)-(π小时,ΩF类¯⁢𝒑-𝒑))ΩF类

≤C类⁢小时⁢∥𝒇∥L（左）2⁢(ΩF类)⁢∥(𝒑,𝒒)-𝐈小时⁢(𝒑,𝒒)∥小时

(2.75)≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|.

在这里

Π小时,ΩF类¯⁢𝒑|T型={(Π小时,ΩF类⁢𝒑)|T型如果⁢T型⊂ΩF类⁢和⁢∂⁡T型你好Γ我=∅,(Π小时,ΩF类^⁢𝒑)|T型如果⁢T型⊂ΩF类⁢和⁢∂⁡T型你好Γ我≠∅.

我们可以重写右边的第二项(2.74)使用中介绍的符号(2.44)作为

∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[[𝒏·(Π小时,ΩF类⁢𝒑)]]⁢𝑑秒=∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖-(∇·𝒖)T型e（电子）¯)⁢[[𝒏·(Π小时,ΩF类⁢𝒑)]]⁢𝑑秒

(2.76)=∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖-(∇·𝒖)T型e（电子）¯)⁢[[𝒏·(Π小时,ΩF类⁢𝒑-𝒑)]]⁢𝑑秒,

自从𝒏·𝒑在任何边的中点连续e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我然后它继承了柯西-施瓦兹不平等(2.11)，引理2.8（适用于(𝒑,𝒒))和引理2.9那个

∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[[𝒏·(Π小时,ΩF类⁢𝒑)]]⁢𝑑秒≤C类⁢[∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我|e（电子）|⁢∥∇·𝒖-(∇·𝒖)T型e（电子）¯∥L（左）2⁢(e（电子）)2]1/2

×[∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我|e（电子）|-1⁢∥[[𝒏·(Π小时,ΩF类⁢𝒑-𝒑)]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2]1/2

≤C类⁢(小时⁢|∇·𝒖|H（H）1⁢(ΩF类))⁢(小时⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|)

(2.77)≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|.

使用的定义Π小时,ΩF类^事实上𝒏·𝒑=𝒏·𝒒在Γ我，我们可以改写第三个学期在的右侧(2.74)作为

∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[𝒏·(π小时,ΩF类^⁢𝒑-L（左）小时,Ω秒⁢𝒒)]⁢𝑑秒

=∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖-(∇·𝒖)T型e（电子）¯)⁢[𝒏·(Π小时,ΩF类^⁢𝒑-L（左）小时,Ω秒⁢𝒒)]⁢𝑑秒

（2.78）=∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖-(∇·𝒖)T型e（电子）¯)⁢[𝒏·(𝒑-Π小时,ΩF类^⁢𝒑)-𝒏·(𝒒-L（左）小时,Ω秒⁢𝒒)]⁢𝑑秒.

它源自柯西-施瓦兹不等式，(2.11)，引理2.9和类似的引理中的参数2.11那个

∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒖)⁢[𝒏·(Π小时,ΩF类^⁢𝒑-L（左）小时,Ω秒⁢𝒒)]⁢𝑑秒≤C类⁢[∑e（电子）∈ℰ小时Γ我|e（电子）|⁢∥∇·𝒖-(∇·𝒖)T型e（电子）¯∥L（左）2⁢(e（电子）)2]1/2

×[∑e（电子）∈ℰ小时Γ我|e（电子）|-1⁢∥𝒏·(𝒑-Π小时,ΩF类^⁢𝒑)-𝒏·(𝒒-L（左）小时,Ω秒⁢𝒒)∥L（左）2⁢(e（电子）)2]1/2

≤C类⁢(小时⁢|∇·𝒖|H（H）1⁢(ΩF类))⁢(小时⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|)

(2.79)≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|.

组合(2.72)–(2.79)，我们获得

(2.80)一小时⁢((𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时),(𝒑,𝒒))≤C类⁢(小时2⁢|(𝒇,𝒈)|+小时⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时)⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|.

接下来，我们估计的第二项位于(2.71). 按引理2.10和事实那个(我-问)⁢𝒖=0，我们有

-b条⁢((𝒖小时,𝒘小时),((我-问)⁢(𝒖-𝒖小时),𝟎))=b条⁢((𝒖-𝒖小时,𝒘-𝒘小时),((我-问)⁢(𝒖-𝒖小时),𝟎))

(2.81)≤C类⁢小时⁢|(𝒖-𝒖小时,𝒘-𝒘小时)|⁢∥(𝒖-𝒖小时,𝒘-𝒘小时)∥小时.

然后，我们估计右侧的第三项(2.71). 自𝒏·𝒖小时在内边缘的中点和[[𝒏·𝒖]]=0，我们get，使用中引入的符号(2.44),

∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[[𝒏·𝒖小时]]⁢𝑑秒=∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑-(∇·𝒑)T型e（电子）¯)⁢[[𝒏·𝒖小时]]⁢𝑑秒

(2.82)=∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑-(∇·𝒑)T型e（电子）¯)⁢[[𝒏·(𝒖小时-𝒖)]]⁢𝑑秒.

使用Cauchy–Schwarz不等式(2.27),引理2.9（适用于𝒑)和(2.68)，我们可以得到

∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[[𝒏·𝒖小时]]⁢𝑑秒≤C类⁢[∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类我|e（电子）|⁢∥∇·𝒑-(∇·𝒑)T型e（电子）¯∥L（左）2⁢(e（电子）)2]1/2⁢[∑e（电子）∈ℰ小时我|e（电子）|-1⁢∥[[𝒖小时-𝒖]]∥L（左）2⁢(e（电子）)2]1/2

≤C类⁢小时⁢|∇·𝒑|H（H）1⁢(ΩF类)⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时

(2.83)≤C类⁢小时⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时.

最后，我们估计了(2.71). 使用中介绍的符号(2.44)事实上e（电子）∈Γ我,𝒏·𝒖=𝒏·𝒘和¦Βe（电子）𝒏·(𝒖小时-𝒘小时)⁢𝑑秒=0，我们有

∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[𝒏·(𝒖小时-𝒘小时)]⁢𝑑秒=∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑-(∇·𝒑)T型e（电子）¯)⁢[𝒏·(𝒖小时-𝒘小时)]⁢𝑑秒

(2.84)=∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑-(∇·𝒑)T型e（电子）¯)⁢[𝒏·(𝒖小时-𝒖)-𝒏·(𝒘小时-𝒘)]⁢𝑑秒.

使用Cauchy–Schwarz不等式(2.27),引理2.9（适用于𝒑)和(2.68)，我们可以得到

∑e（电子）∈ℰ小时Γ我¦Βe（电子）(ρF类⁢c（c）2)⁢(∇·𝒑)⁢[𝒏·(𝒖小时-𝒘小时)]⁢𝑑秒≤C类⁢[∑e（电子）∈ℰ小时,ΩF类Γ我|e（电子）|⁢∥∇·𝒑-(∇·𝒑)T型e（电子）¯∥L（左）2⁢(e（电子）)2]1/2

×[∑e（电子）∈ℰ小时Γ我|e（电子）|-1⁢∥𝒏·(𝒖小时-𝒖)-𝒏·(𝒘小时-𝒘)∥L（左）2⁢(e（电子）)2]1/2

≤C类⁢小时⁢|∇·𝒑|H（H）1⁢(ΩF类)⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时

(2.85)≤C类⁢小时⁢|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|⁢∥(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时.

估算(2.64)以下为(2.71),(2.80), (2.81)——(2.85)。∎

组合定理2.13和定理2.14，我们有以下推论L（左）2-误差估计。

推论2.15。

以下估计适用于该解决方案(𝐮小时,𝐰小时)∈V（V）小时第页，共页(2.18):

|(𝒖,𝒘)-(𝒖小时,𝒘小时)|≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|.

3特征问题的非协调有限元方法

第节研究的不合格方法2可以适用于(1.1)作为特征解算器。在这个第节，我们总结了非协调特征解算器章节2.

我们考虑以下薄弱问题：

问题。

查找λ∈ℝ和(𝒖,𝒘)∈𝒱̊这样的话

(3.1)一⁢((𝒖,𝒘),(𝒗,𝒛))=λ⁢b条⁢((𝒖,𝒘),(𝒗,𝒛)) 为所有人⁢(𝒗,𝒛)∈𝒱̊,

哪里一⁢(·,·)和b条⁢(·,·)由定义(2.2)和(2.3)。

鉴于(𝒇,𝒈)∈[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2，我们定义T型⁢(𝒇,𝒈)∈𝒱̊通过

一⁢(T型⁢(𝒇,𝒈),(𝒗,𝒛))=b条⁢((𝒇,𝒈),(𝒗,𝒛)) 为所有人⁢(𝒗,𝒛)∈𝒱̊.

很明显(λ,(𝒖,𝒘))是的解决方案(3.1)当且仅当(1λ,(𝒖,𝒘))是一个特征对T型即。，

T型⁢(𝒖,𝒘)=1λ⁢(𝒖,𝒘).

按引理2.4,T型是有界的线性运算符来自[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2到H（H）1+γ,1⁢(div公司;ΩF类)×[H（H）1+γ⁢(Ω秒)]2具有γ>12因此，操作员T型:[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2→[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2是对称的、正的和契约。因此T型由以下序列组成有限重特征值μn个>0,n个∈ℕ，正在聚合到0。

它显示在[4]λ是的正特征值(1.1)当且仅当μ=1λ是积极的算子的特征值T型，以及相应的关联特征函数一致。

接下来，我们考虑一个非协调近似T型. The非协调特征解算器(3.1)定义为跟随：

问题。

查找λ小时∈ℝ和(𝒖小时,𝒘小时)∈V（V）小时这样的话

(3.2)一小时⁢((𝒖小时,𝒘小时),(𝒗,𝒛))=λ小时⁢b条⁢((𝒖小时,𝒘小时),(𝒗,𝒛)) 为所有人⁢(𝒗,𝒛)∈V（V）小时,

哪里一小时⁢(·,·)由定义(2.19)。

的离散模拟T型是操作员T型小时:[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2→V（V）小时⊂[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2由定义

一小时⁢(T型小时⁢(𝒇,𝒈),(𝒗,𝒛))=b条⁢((𝒇,𝒈),(𝒗,𝒛)) 为所有人⁢(𝒗,𝒛)∈V（V）小时.

换句话说T型小时⁢(𝒇,𝒈)∈V（V）小时是非协调有限解的元素近似T型⁢(𝒇,𝒈)源的问题。此外，

T型小时⁢(𝒖,𝒘)=1λ小时⁢(𝒖,𝒘)

等于(3.2)。

源的以下离散化误差估计问题已在推论2.15:

(3.3)|(T型-T型小时)⁢(𝒇,𝒈)|≤C类⁢小时2⁢|(𝒇,𝒈)|

为所有人(𝒇,𝒈)∈[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2.应用经典的谱近似理论[22,14,1]到非协调特征解算器(3.2). 证据，这是基于估计(3.3)，相同使用的[12，定理3.1]麦克斯韦特征值。

定理3.1。

让0≤λ1≤λ2≤⋯是特征值第页，共页(3.1)，并让λ=λj个=λj个+1=λj个+米-1是特征值具有多重性米.让0≤λ小时,1≤λ小时,2≤⋯是通过以下方法获得的特征值(3.2). 然后作为小时↓0，我们有

|λ小时,ℓ-λ|≤C类λ⁢小时2 ℓ=j个,j个+1,…,j个+米-1.

此外，如果V（V）λ是λ的本征空间V（V）小时,λ是跨越的空间吗通过对应于λ小时,1,…,λ小时,j个+米-1，然后是间隙之间V（V）小时,λ和V（V）λ是哦⁢(小时2)在中L（左）2-规范和哦⁢(小时)在正常情况下∥·∥小时.

4数值实验

在本节中，我们报告了一系列数值计算的结果验证第节中获得的理论结果的实验2和截面三.

4.1源问题的数值结果

我们首先检查数值格式的收敛行为(2.18)针对源问题(2.4)在分级网格上。计算域如图所示三，其中ΩF类=(1,三)2和Ω秒=(0,4)2∖Ω¯F类.我们接受ρ秒,ρF类,c（c）,μ秒和λ秒在实验中都是1。

请注意，在拐角处c（c）=(三,三)属于ΩF类,ωF类=π4和ω秒=三⁢π4相应的奇异性指数为γ=0.544483661651611.

图3

流体和固体领域。

让(第页,θ)是拐角处的极坐标c（c）=(三,三)的接口Γ我.鉴于(2.8)和(2.9)，我们采取

𝒘^⁢(第页,θ)=第页γ⁢(-A类⁢余弦⁡((γ+1)⁢θ)+余弦⁡((γ-1)⁢θ)A类⁢罪⁡((γ+1)⁢θ)-Θ⁢罪⁡((γ-1)⁢θ)) 和 𝒖~⁢(第页,θ)=第页γ⁢(E类⁢余弦⁡((γ+1)⁢θ)-E类⁢罪⁡((γ+1)⁢θ)),

哪里

A类:=-((γ-1)⁢(μ+λ)(μ+λ)⁢γ-(三⁢μ+λ))⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)罪⁡((γ+1)⁢ω秒),

E类:=2⁢(2⁢μ+λ)(μ+λ)⁢γ-(三⁢μ+λ)⁢罪⁡((γ-1)⁢ω秒)罪⁡((γ+1)⁢ωF类),

Θ:=μλ+2⁢μ⁢(γ-1)-(γ+1)μλ+2⁢μ⁢(γ+1)-(γ-1).

可以很容易地检查到𝒘^和𝒖~满足兼容性条件(2.5摄氏度)和(2.5天)。此外，我们𝒖~=∇⁡第页，其中第页⁢(第页,θ)=E类⁢第页γ+1γ+1⁢余弦⁡(γ+1)⁢θ.

定义拐角处的截断函数c（c）=(三,三)通过

ϕ⁢(第页)={1,第页≤0.25,-16⁢(第页-0.75)三⁢[5+15⁢(第页-0.75)+12⁢(第页-0.75)2],0.25≤第页≤0.75,0,第页≥0.75.

我们接受𝒘~=𝒘^⁢ϕ⁢(第页)和𝒖=∇⁡(第页⁢(第页,θ)⁢ϕ⁢(第页))很明显𝝈⁢(𝒘~)⁢𝜼=𝟎⁢上的ΓN个,𝒘~=𝟎⁢上的ΓD类和∇×𝒖=0⁢英寸ΩF类.自[∇⁡ϕ⁢(第页)]·𝒏=0，我们还有𝒘~·𝒏=𝒖·𝒏⁢上的Γ我.然而，𝝈⁢(𝒘~)⁢𝒏≠(ρF类⁢c（c）2⁢∇·𝒖)⁢𝒏就…而言Γ我哪里0<ϕ⁢(第页)<1。为了解决这个问题，我们引入了一个向量场𝒛~在里面Ω秒并定义𝒘=𝒘~+𝒛~.

我们采取𝒛~=𝒛~一+𝒛~b条，其中𝒛~一（分别为，𝒛~b条)与边关联Γ一（分别为，Γb条)那个有(三,1)和(三,三)（分别为，(1,三)和(三,三))作为端点。向量场𝒛~一由提供

𝒛~一=(v（v）1⁢(x个2)⁢(x个1-三)2⁢μ+λv（v）2⁢(x个2)⁢(x个1-三)μ)⁢ρ⁢(x个),

哪里

𝒗⁢(x个2)=(v（v）1⁢(x个2)v（v）2⁢(x个2))=(ρF类⁢c（c）2⁢∇·𝒖)⁢𝒏-𝝈⁢(𝒘~)⁢𝒏 上的Γ一

和ρ⁢(x个)以下是C类2-间隔上定义的函数[三,4]:

ρ⁢(x个)={-192⁢x个5+3120⁢x个4-20240⁢x个三+65520⁢x个2-105840⁢x个+68257,三≤x个≤3.5,0,x个≥3.5.

请注意ρ⁢(三)=1.

向量场𝒛~b条在Ω秒由对称性定义。然后(𝒖,𝒘)满足所有边界条件和相容性条件英寸(2.4)我们可以认为它是源问题的精确解决方案(2.4)。

我们通过数值格式(2.18)在分级网格，其中分级参数μ=γ≈0.54448366在拐角处(1,1),(1,三),(三,1)和(三,三).第一个三角剖分的三个级别如所示图4.中的错误L（左）2-规范|(·,·)|在[L（左）2⁢(ΩF类)]2×[L（左）2⁢(Ω秒)]2和能量定额∥(·,·)∥小时在中列出表1观察到分级网格的优点。

图4

前三级三角测量带有分级网格。

表1

分级网格格式的收敛性。

小时	∥(𝒖~,𝒘^)-(𝒖小时,𝒘小时)∥小时\|(𝒇,𝒈)\|	订单	\|(𝒖~,𝒘^)-(𝒖小时,𝒘小时)\|\|(𝒇,𝒈)\|	订单
18	1.82电子1	–	6.86电子2	–
116	9.56电子2	0.93	1.36电子2	2.32
132	5.16电子2	0.88	3.71电子3	1.88
164	3.37电子2	0.81	1.02电子3	1.86

4.2特征问题的数值结果

在本小节中，我们将研究数值格式(3.2)对于特征值问题(3.1). 前三个数值实验在图中所示的域上进行1，其中ΩF类=(0.25,1.25)2和Ω秒=(0,1.5)2∖Ω¯F类.相同的设置用于[6].

在第一个数值实验中，我们考虑了这种情况哪里Ω秒由钢和ΩF类充满了空气。在在这种情况下(1.1)被占领了成为ρF类=1⁢公斤/米三,ρ秒=7700⁢公斤/米三,c（c）=340⁢米/秒,M（M）=1.44×1011⁢帕和ν=0.35.它们与第三个数字中的参数相同中的实验[6].我们使用均匀网格并通过以下公式计算本征频率(3.2)。计算的特征值如表所示2.因为我们没有知道解析特征值后，根据通过外推获得的“精确”特征值的近似解小时=1128和1256.结果与中报告的结果非常接近[6，表3]。由于空气密度远小于钢的密度是一个非耦合问题的小扰动特征函数光滑的刚性腔（参见[6]).因此，在均匀网格下，特征值的收敛阶接近于2。

表2

矩形钢腔中的空气：用均匀网格计算特征值。

模式	小时=164	小时=1128	小时=1256	订单		“完全正确”
1	695.115	675.990	669.280	1.58	1.65	2	667.044
2	1067.768	1068.055	1068.118	2.07	2.13	2	1068.139
三	1068.188	1068.168	1068.162	1.88	1.91	2	1068.160
4	1509.982	1510.439	1510.549	2.11	2.04	2	1510.585
5	2134.651	2135.673	2135.911	2.13	2.07	2	2135.991
6	2134.843	2135.927	2136.186	2.08	2.03	2	2136.274
7	2350.401	2304.084	2290.394	0.44	1.82	2	2285.831
8	2384.996	2387.605	2388.235	1.52	2.04	2	2388.445
9	2387.387	2388.197	2388.388	1.52	2.07	2	2388.451

在第二个实验中，我们用水代替空气对应于以下选项ρF类=1000⁢公斤/米三和c（c）=1430⁢米/秒。它们与中的选项相同中的第四个实验[6].均匀网格上获得的结果列于表三，其中中梯度网格上的外推特征值表4用作“精确”解决。在这种情况下固体和流体密度的大小相似，因此互动性更强。因此计算出的特征值的收敛性低于钢-空气相互作用的情况表2。他们再次非常接近报告的结果[6，表4]。

表3

矩形钢腔中的水：用均匀网格计算特征值。

模式	小时=164	小时=1128	小时=1256	订单		“完全正确”
1	671.958	653.327	646.805	1.46	1.38	642.733
2	2203.156	2159.534	2146.480	1.72	1.66	2140.444
三	3511.318	3439.433	3413.737	1.45	1.38	3397.769
4	3951.314	3900.298	3880.075	1.31	1.27	3865.819
5	4239.285	4219.354	4213.419	1.77	1.81	4211.056
6	4726.272	4705.872	4697.966	1.34	1.30	4692.539
7	5189.372	5165.067	5157.320	1.60	1.50	5153.047
8	5522.207	5449.036	5426.561	1.67	1.61	5415.586
9	6291.773	6275.419	6268.471	1.25	1.28	6263.591

在第三个实验中，我们调查了水的情况在第二组实验中的钢腔中，但是分级网格。网格已分级在拐角处(0.25,0.25),(0.25,1.25),(1.25,0.25),(1.25,1.25)带分级参数μ=γ≈0.54448366.结果见表表4，其中“精确”特征值通过外推得到的近似解小时=1128和1256.可以观察到分级网格的优点，但在定理3.1尚未联系到。

表4

矩形钢腔中的水：用分级网格计算特征值。

模式	小时=164	小时=1128	小时=1256	订单		“完全正确”
1	664.078	648.593	644.198	1.74	1.86	2	642.733
2	2199.476	2156.226	2144.390	1.78	1.90	2	2140.444
三	3479.186	3420.264	3403.393	1.67	1.86	2	3397.769
4	3919.545	3880.839	3869.574	1.68	1.84	2	3865.819
5	4242.217	4219.668	4213.209	1.74	1.86	2	4211.056
6	4713.047	4698.381	4693.999	1.62	1.81	2	4692.539
7	5182.508	5160.915	5155.014	1.85	1.90	2	5153.047
8	5505.496	5439.868	5421.657	1.80	1.89	2	5415.586
9	6283.721	6269.711	6265.121	1.30	1.72	2	6263.591

备注4.1。

由于外推特征值是通过使用对应于的近似解小时=1128和1256,收敛的最后一阶在表中2和4正好是2。

最后两个实验的设置如所示图5，其中ΩF类是一个L（左）-带顶点的形状域(0.25,0.25),(1.25,0.25),(0.75,0.75),(1.25,0.75),(0.25,1.25),(0.75,1.25)和Ω秒=[0,1.5]2∖ΩF类.

$图5流体-结构相互作用的领域。外部尺寸为1.5×1.5m2{1.5乘以1.5，text{m}^{2}}，内畴为L形。$

图5

流体-结构相互作用的领域。外部尺寸为1.5×1.5⁢米2内部域是L（左）-形状。

在第四个实验中，固体是由钢和ΩF类充满了水，所以ρF类=1000⁢公斤/米三,ρ秒=7700⁢公斤/米三,c（c）=1430⁢米/秒,M（M）=1.44×1011⁢帕和ν=0.35.表中列出了在均匀网格上获得的结果5表中分级网格上获得的外推特征值6用作“精确”表中的解决方案5.

表5

水中的水L（左）-型钢腔：用均匀网格计算的特征值。

模式	小时=164	小时=1128	小时=1256	订单		“完全正确”
1	860.551	806.439	786.546	1.47	1.52	775.913
2	2284.585	2185.225	2152.371	1.62	1.66	2137.153
三	3816.121	3685.666	3639.322	1.50	1.52	3614.502
4	4125.524	3974.467	3924.566	1.63	1.61	3900.743
5	4811.590	4732.613	4707.209	1.70	1.66	4695.887
6	4533.367	5027.816	5264.461	1.19	1.36	5413.846
7	6899.529	6795.979	6744.889	1.13	1.28	6709.262
8	7657.389	7348.713	7241.233	1.52	1.51	7183.215
9	8283.759	8148.368	8098.794	1.45	1.47	8070.865

在最后的实验中，我们将第四个实验中的均匀网格替换为网格在角落周围分级(0.25,0.25),(0.25,1.25),(1.25,0.25),(0.75,1.25),(1.25,0.75)带放坡参数μ=γ≈0.54448366.结果见表6.再次观察到分级网格的优点。

表6

水中的水L（左）-型钢腔：用分级网格计算的特征值。

模式	小时=164	小时=1128	小时=1256	订单		“完全正确”
1	796.096	781.464	777.301	1.73	1.86	2	775.913
2	2179.638	2147.821	2139.820	1.75	1.99	2	2137.153
三	3657.074	3623.638	3616.786	1.89	2.22	2	3614.502
4	3961.971	3917.148	3904.844	1.84	1.90	2	3900.743
5	4730.336	4705.406	4698.267	1.71	1.86	2	4695.887
6	5345.490	5396.282	5409.456	1.83	1.96	2	5413.846
7	5779.461	6447.883	6643.917	1.33	1.83	2	6709.262
8	7334.446	7222.159	7192.952	1.60	1.95	2	7183.215
9	8131.221	8086.949	8074.885	1.76	1.90	2	8070.865

5结论

本文介绍了一种求解声-流-结构相互作用问题的非协调有限元方法。近似空间是弱连续的P（P）1流体的向量场和固体的标准分段线性多项式。能源和L（左）2-通过数值实验得到并验证了范数。通过从问题的弱形式中排除纯旋转运动，我们保证我们的离散解不具有任何虚假特征值。此外，这种排除简化了我们的分析。

我们注意到，也可以使用局部无卷曲向量流体侧有限元空间构造中的字段，在这种情况下流体位移旋度的罚项(2.19)不需要。这样的方法是在[9,10].

本文的方法也可以应用于声流体结构三维交互问题。拟均匀网格的收敛性分析可按章节进行2.4和2.5.另一方面，在具有所需属性的三维空间将更具挑战性。

资金来源：国家科学基金会

奖励标识/授予编号：DMS-10-16332

奖励标识/授予编号：DMS-16-20273

资金报表：S。 C.Brenner和L.-Y.Sung在一定程度上得到了美国国家科学基金会的支持批准号DMS-10-16332和批准号DMS-16-20273。

致谢

我们要感谢两位匿名的推荐人，他们给了我们很多帮助评论。

工具书类

[1]I.Babuška和J.Osborn，特征值问题，数值分析手册。第二卷，荷兰北部，阿姆斯特丹（1991），641-787。10.1016/S1570-8659（05）80042-0在谷歌学者中搜索

[2]A.Bermüdez、R.Durán、M.A.Muschietti、R.Rodríguez和J.Solomin，无伪模态流固系统的有限元振动分析，SIAM J.数字。分析。32（1995），第4期，1280–1295。10.1137/0732059在谷歌学者中搜索

[3]A.Bermüdez、R.Durán和R.Rodríguez，可压缩和不可压缩流固系统的有限元分析，数学。公司。67（1998），第221、111–136号。10.1090/S0025-5718-98-00901-6在谷歌学者中搜索

[4]A.Bermüdez、P.Gamallo、M.R.Nogueiras和R.Rodríguez，用六面体有限元逼近结构声振动问题，IMA J.数字。分析。26（2006），第2期，391-421。10.1093/imanum/dri032在谷歌学者中搜索

[5]A.Bermüdez、L.Hervella-Neeto和R.Rodríguez，三维弹性声学振动的有限元计算，《声音振动杂志》219（1999），279–306。2006年10月10日/jsvi.1998.1873在谷歌学者中搜索

[6]A.Bermüdez和R.Rodríguez，流体-固体系统的振动模式的有限元计算，计算。方法应用。机械。工程119（1994），编号3-4，355-370。10.1016/0045-7825(94)90095-7在谷歌学者中搜索

[7]A.Bermüdez和R.Rodríguez，弹性声学谱问题压力/势公式的有限元分析，数学。公司。71（2002），第238、537–552号。10.1090/S0025-5718-01-01335-7在谷歌学者中搜索

[8]J.Boujot，流体-结构相互作用问题的数学公式，RAIRO模式。数学。分析。编号。21（1987），第2期，239–260。10.1051平方米/1987210202391在谷歌学者中搜索

[9]S.C.Brenner、F.Li和L.Y.Sung，求解时谐Maxwell方程的无局部发散非协调有限元方法，数学。公司。76（2007），第258、573–595号。10.1090/S0025-5718-06-01950-8在谷歌学者中搜索

[10]S.C.Brenner、F.Li和L.Y.Sung，二维卷曲问题的无局部发散内罚方法，SIAM J.数字。分析。46（2008），第3期，1190–1211。10.1137/060671760在谷歌学者中搜索

[11]S.C.Brenner、F.Li和L.Y.Sung，二维卷曲问题的非协调罚函数法，数学。模型方法应用。科学。19（2009），第4期，651-668。10.1142/S02182020509003565在谷歌学者中搜索

[12]S.C.Brenner、F.Li和L.Y.Sung，非一致麦克斯韦特征解算器，科学杂志。计算。40（2009年），第1-3期，第51-85页。2007年10月10日/10915-008-9266-9在谷歌学者中搜索

[13]S.C.Brenner和L.R.Scott，有限元方法的数学理论，第3版。，文本应用程序。数学。15,施普林格，纽约，2008年。10.1007/978-0-387-75934-0在谷歌学者中搜索

[14]F.Chatelin，线性算子的谱逼近，计算机科学。申请。数学。，纽约学术出版社，1983年。在谷歌学者中搜索

[15]P.G.Ciarlet，椭圆问题的有限元方法，学生数学。申请。4,荷兰北部，阿姆斯特丹，1978年。10.1115/1.3424474在谷歌学者中搜索

[16]M.Crouzeix和P.-A.Raviart，求解定常Stokes方程的协调和非协调有限元方法。我，Française Automat版本。Informat公司。Recherche Opérationnelle Sér。Rouge 7（1973），编号R-3，33–75。10.1051平方米/197307R300331在谷歌学者中搜索

[17]T.Dupont和R.Scott，Sobolev空间中函数的多项式逼近，数学。公司。34（1980），编号150，441-463。10.1090/S0025-5718-1980-0559195-7在谷歌学者中搜索

[18]R.G.Durán、L.Hervella-Neeto、E.Liberman、R.Rodríguez和J.Solomin，流体耦合板振动问题的有限元分析，数字。数学。86（2000），第4期，591–616。2007年10月10日/PL00005411在谷歌学者中搜索

[19]P.Grisvard，非光滑区域中的椭圆问题，单声道。学生数学。24,皮特曼，波士顿，1985年。在谷歌学者中搜索

[20]P.Grisvard，边值问题中的奇异性，里奇。数学。申请。22,巴黎马森，1992年。在谷歌学者中搜索

[21]M.A.Hamdi、Y.Ousset和G.Verchery，流体-结构耦合系统振动分析的位移法，国际。J.数字。方法工程13（1978），139-150。10.1002/nme.1620130110在谷歌学者中搜索

[22]加藤，线性算子的摄动理论，Grundlehren数学。威斯。132中，施普林格，纽约，1966年。10.1007/978-3-642-53393-8在谷歌学者中搜索

[23]L.Kiefling和G.C.Feng，流体结构有限元振动分析，AIAA J.14（1976），第2期，199-203。10.2514/3.61357在谷歌学者中搜索

[24]V.A.Kozlov、V.G.Maz'ya和J.Rossmann，与椭圆问题解的角奇异性相关的谱问题，美国数学学会，普罗维登斯，2001年。10.1090/surv/085在谷歌学者中搜索

[25]S.Meddahi和D.Mora，流体-结构相互作用谱问题的非协调混合有限元近似，离散连续。动态。系统。序列号。S 9（2016），第1期，269–287。10.3934/dcdss.2016.9.269在谷歌学者中搜索

[26]S.Meddahi、D.Mora和R.Rodríguez，流体-结构相互作用谱问题压力-应力公式的有限元分析，计算。数学。申请。68（2014），第12期，1733-1750。2016年10月10日/j.camwa.2014.10.016在谷歌学者中搜索

[27]P.Monk，麦克斯韦方程的有限元方法，数字。数学。科学。计算。，牛津大学出版社，纽约，2003年。10.1093/acprof:oso/978198508885.001.0001在谷歌学者中搜索

[28]H.J.-P.Morand和R.Ohayon，流体-结构相互作用，里奇。数学。申请。23,巴黎马森，1992年。在谷歌学者中搜索

[29]R.Rodríguez和J.E.Solomin，流体-结构相互作用问题有限元近似中特征频率的收敛阶，数学。公司。65（1996），第2161463-1475号。10.1090/S0025-5718-96-00739-9在谷歌学者中搜索

[30]A.D.Russo和A.Alonso，曲界面耦合流固耦合系统的混合有限元分析，IMA J.数字。分析。31（2011），第4期，1636–1682。10.1093/imanum/drq051在谷歌学者中搜索

收到：2017-05-01

认可的：2017-10-25

在线发布：2017-12-08

印刷出版：2018-07-01

声-流-结构相互作用问题的非协调有限元方法

摘要

1引言

问题。

备注1.1。

2源问题的非协调有限元方法

2.1来源问题

问题。

2.2源头问题的规律性

备注2.1。

引理2.2([20（引理3.3.1，引理3.3.2]）。

备注2.3。

引理2.4。

2.3非一致有限元方法

问题。

2.4初步误差估计

引理2.5。

证明。

引理2.6。

证明。

引理2.7。

证明。

引理2.8。

证明。

引理2.9。

引理2.10。

证明。

2.5收敛性分析

引理2.11。

证明。

引理2.12。

证明。

定理2.13。

定理2.14。

证明。

推论2.15。

3特征问题的非协调有限元方法

问题。

问题。

定理3.1。

4数值实验

4.1源问题的数值结果

4.2特征问题的数值结果

备注4.1。

5结论

致谢

工具书类

期刊和发行

同一期中的文章