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得到许可的 未经许可 需要身份验证 发布人:德古意特出版社 2017年9月2日

非光滑数据分数阶扩散问题的时间步长法

  • 燕阳 , 阎玉斌 电子邮件徽标 内维尔·J·福特

摘要

在齐次和非齐次情况下,我们考虑了求解非光滑数据分数阶扩散问题的一些时间步长方法的误差估计。麦克林和穆斯塔法[18]建立了一个O(运行)(k个)线性算子下齐次问题非光滑初值分段常数间断Galerkin方法的收敛速度A类假设为自共轭、半正定且在适当的Hilbert空间中密集定义,其中k个表示时间步长。本文用Diethelm方法(或L1格式)逼近Riemann–Liouville分数导数,得到了与McLean和Mustapha相同的时间离散格式[18]. 我们首先证明了该方案也具有收敛速度O(运行)(k个)齐次问题的非光滑初始数据A类是一个满足某些预解估计的闭的、密集定义的线性算子。然后,我们基于卷积求积为齐次问题引入了一种新的时间离散格式,并证明了该新格式的收敛速度为O(运行)(k个1+α),0<α<1,初始数据不光滑。利用这种新的齐次问题时间离散格式,我们定义了一种非齐次问题的时间步长方法,并证明了该方法的收敛速度为O(运行)(k个1+α),0<α<1,具有非光滑数据。数值算例表明,数值结果与理论结果一致。

A附录

在本附录中,我们将给出引理的证明2.2。为此,我们需要引入多对数函数

(z(z))=j个=1z(z)j个j个.

多项式函数(z(z))定义明确|z(z)|<1它可以解析地延续到分裂复平面\[1,+); 见弗拉乔莱特[6]. 使用z(z)=1,它恢复Riemann zeta函数ς()=(1)。我们还记得函数的一个重要的奇异展开式(e(电子)-z(z))(参见[6,定理1])。

引理A.1([9,引理3.2])。

对于1,2,,函数(e(电子)-z(z))满足奇异展开

(e(电子)-z(z))Γ(1-)z(z)-1+=0(-1)ς(-)z(z)!作为z(z)0,

哪里ς(z(z))表示黎曼-泽塔函数。

引理A.2([9,引理3.4])。

|z(z)|πθ具有θ(π2,5π6)-1<<0.然后

(e(电子)-z(z))=Γ(1-)z(z)-1+=0(-1)ς(-)z(z)!

绝对收敛。

引理的证明2.2.

根据重量,我们有(2.4),使用ζ=e(电子)-z(z)k个,

w个~(z(z))=j个=0w个j个ζj个=1Γ(1+α)(ζ-1-2+ζ)j个=1j个αζj个
(A.1)=1Γ(1+α)((e(电子)-z(z)k个)-1-2+e(电子)-z(z)k个)-α(ζ),

其中,通过引理A.2款,

(A.2)-α(ζ)=-α(e(电子)-z(z)k个)=Γ(1+α)(z(z)k个)-α-1+=0(-1)ς(α-)(z(z)k个)!.

由(2.9),我们有

z(z)k个α=(δ(ζ)k个)α=w个~(ζ)-1(1-ζ)k个α=1k个αψ(z(z)k个),

哪里

ψ(z(z)k个)=1Γ(1+α)(e(电子)z(z)k个-1)-α(e(电子)-z(z)k个).

使用[18,引理1],我们可以用C类α=π(πα)z(z)k个=ρe(电子)θ=第页+ϕ,

ψ(z(z)k个)=1Γ(1+α)(e(电子)z(z)k个-1)-α(e(电子)-z(z)k个)=1C类α0-α1-e(电子)-z(z)k个-1-e(电子)-𝑑
=1C类α0-α1-e(电子)-z(z)k个-1-e(电子)-𝑑=1C类α0-α1-e(电子)-第页-ϕ-1-e(电子)-𝑑
=1C类α0-α1-e(电子)-第页-(余弦ϕ-ϕ)1-e(电子)-𝑑
=1C类α0(-α-1(1-e(电子)-)(1-e(电子)-第页-余弦ϕ))-(-α-1(1-e(电子)-)(e(电子)-第页-ϕ))1-2e(电子)-第页-余弦ϕ+e(电子)-2第页-2𝑑,

这意味着

z(z)k个α=C类αk个α1A类-B类=C类αk个αA类+B类A类2+B类2,

哪里

A类=0(-α-1(1-e(电子)-)(1-e(电子)-第页-余弦ϕ))1-2e(电子)-第页-余弦ϕ+e(电子)-2第页-2𝑑,
B类=0(-α-1(1-e(电子)-)(e(电子)-第页-ϕ))1-2e(电子)-第页-余弦ϕ+e(电子)-2第页-2𝑑.

因此

(z(z)k个α)=C类αk个αA类A类2+B类2,(z(z)k个α)=C类αk个αB类A类2+B类2.

让我们首先考虑一下θ=π2。在这种情况下,我们有第页=ρ余弦θ=0,ϕ=ρθ=ρ,

(z(z)k个α)=C类αk个α(A类2+B类2)0-α-1(1-e(电子)-)(1-e(电子)-余弦ρ)1-2e(电子)-余弦ρ+e(电子)-2𝑑.

请注意

1-2e(电子)-余弦ρ+e(电子)-2>1-2e(电子)-+e(电子)-2=(1-e(电子)-)20,

1-e(电子)-余弦ρ>1-e(电子)->0,

我们得到(z(z)k个α)0这意味着z(z)k个αΣθ0对于任何θ0(π2,π)现在让我们选择θ接近π2,θ>π2.通过连续性z(z)k个α关于θ,参见[9,引理证明3.6],存在θ0(π2,π)使得

z(z)k个αΣθ0为所有人z(z)Γθ.

这些估计一起完成了引理的证明2.2.

致谢

第二位作者感谢2016年在英国布鲁内尔举行的有限元数学与应用会议(MAFELAP)上小型研讨会“分数阶微分方程的数值方法”的组织者。本文的一些结果在该小型研讨会上发表。

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收到:2017-4-27
修订过的:2017-8-17
认可的:2017-8-18
在线发布:2017-9-2
印刷出版:2018-1-1

©2017 Walter de Gruyter GmbH,柏林/波士顿

于2024年4月26日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/cmam-2017-0037/html
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