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BY-NC-ND 3.0许可证 开放式访问 发布人:德古意特出版社 2016年2月24日

色散介质中长波单向传播的分数模拟

  • 苏尼尔·库马尔 电子邮件徽标 德文德拉·库马尔 贾格德夫·辛格

摘要

本文的目的是提出一个修改的单向分形建模的简单算法利用分数同伦研究长波在色散介质中的传播分析变换法(FHATM)。这种改进的方法是一种创新调整拉普拉斯变换算法(LTA)并进行计算简单得多。该技术解决了非线性问题使用Adomian多项式和He多项式,可以将其视为这种新算法明显优于分解和同伦算法摄动变换法。这种改进的方法产生了一种分析和快速收敛级数的近似解可计算术语。通过所提出的算法获得的数值解表明该方法易于实现,计算量大有吸引力。将我们的解决方案与现有的解决方案进行比较,我们发现双方达成了极好的协议。

MSC 2010年:35A20型26A33飞机34A08号

1引言

非整数阶导数和积分的理论可以追溯到莱布尼茨、利乌维尔、格鲁内瓦尔德、莱特尼科夫和黎曼。许多重要的分数阶微分方程很好地描述了这些现象电磁学、声学、粘弹性、电化学和材料科学。分数导数为描述各种材料的记忆和遗传特性过程。分数衍生物为描述各种材料的记忆和遗传特性过程。证明半阶导数和积分对某些电化学问题比经典问题的表述模型[526272876].

在本文中,同伦分析变换方法(HATM)说明了如何使用拉普拉斯变换求分数阶近似解和解析解操纵同伦分析方法得到的Burgers–Poisson方程。这个该方法将同伦分析方法与拉普拉斯方法耦合转换方法。该方法的主要优点是获得伯杰泊松快速收敛级数的能力分数阶方程。同伦分析方法(HAM)是第一种廖提出并申请[21232422]非线性微分方程。HAM基于同伦的构造,同伦连续地使给定问题精确解的初始猜测近似。选择辅助线性算子来构造同构和辅助参数用于控制解决方案系列。HAM在选择初始值时提供了更大的灵活性近似和辅助线性算子,因此非线性问题可以转化为无穷多个更简单但线性子问题,如Liao和Tan所示[25]. HAM已经许多研究人员成功应用于求解线性和非线性问题偏微分方程[349371331293021].

近年来,许多研究人员都关注获得解决方案线性和非线性微分和积分方程方法结合拉普拉斯变换方法。其中,让我们提到拉普拉斯分解方法[3512]和同伦扰动变换法[1418171620331532].最近,许多研究人员[1910411]得到了许多微分和积分的解方程通过耦合同伦分析和拉普拉斯变换方法。

本文致力于研究时间分数Burgers–Poisson(BP)方程采用分数同伦分析变换方法。使用适当的初始条件不同的分数布朗运动和标准运动是获得。近似解的变化通过图形和误差分析表明了近似值的准确性分析解决方案。Burgers–Poisson(BP)方程可以写成时间分数运算符形式为

D类t吨αu个-u个xxt吨+u个x=u个u个xxx-u个u个x+u个xu个xxt吨>00<α1

具有初始条件u个0(xt吨)=xα(01]描述参数时间分数导数的阶数。我们注意到精确解u个(xt吨)=1+x1+t吨-1对于|t吨|<1在中给出[836].

定义1.1

拉普拉斯变换L(左)[u个(xt吨)]Riemann–Liouville分数积分定义为[28]

L(左)[t吨αu个(xt吨)]=-αL(左)[u个(xt吨)].
定义1.2

拉普拉斯变换L(左)[u个(xt吨)]卡普托分数导数定义为[28]

L(左)[D类t吨n个αu个(xt吨)]=n个αL(左)[u个(xt吨)]-k个=0n个-1(n个α-k个-1)u个(k个)(x0)n个-1<n个αn个.

2 FHATM的基本思想

为了说明分数部分同伦分析变换方法微分方程,我们考虑以下分数阶偏微分微分方程:

(1)D类t吨n个αu个(xt吨)+R(右)[x]u个(xt吨)+N个[x]u个(xt吨)=(xt吨)t吨>0xR(右)n个-1<n个αn个

哪里D类t吨n个α=n个αt吨n个αR(右)[x]是中的线性运算符xN个[x]是中的一般非线性算子x、和(xt吨)是连续的功能。为了简单起见,我们忽略了所有的初始和边界条件,可以用类似的方法处理。该方法包括首先在的两侧应用拉普拉斯变换(1):

L(左)[D类t吨n个αu个(xt吨)]+L(左)[R(右)[x]u个(xt吨)+N个[x]u个(xt吨)]=L(左)[(xt吨)].

现在,通过使用拉普拉斯变换的微分性质分数导数,我们有

L(左)[u个(xt吨)]-1n个αk个=0n个-1(n个α-k个-1)u个k个(x0)+1n个αL(左)(R(右)[x]u个(xt吨)+N个[x]u个(xt吨)-(xt吨))=0.

我们定义了非线性算子

N个[ϕ(第页t吨q个)]=L(左)[ϕ(xt吨q个)]-1n个αk个=0n个-1(n个α-k个-1)u个k个(x0)+1n个αL(左)(R(右)[x]u个(xt吨)+N个[x]u个(xt吨)-(xt吨))

哪里q个[01]是嵌入参数,并且ϕ(xt吨q个)是的实际功能xt吨q个.通过概括传统同伦方法,廖[21232422]构造零级变形方程式

(2)(1-q个)L(左)[ϕ(xt吨q个)-u个0(xt吨)]=q个小时(xt吨)N个[ϕ(xt吨:q个)]

哪里是非零辅助参数,小时(xt吨)0是一个辅助功能,u个0(xt吨)对…的初步猜测u个(xt吨)、和ϕ(xt吨q个)是未知函数。重要的是,用户可以自由选择辅助参数联邦公路交通管理局。显然,ϕ(xt吨0)=u个0(xt吨)对于q个=0ϕ(xt吨1)=u个(xt吨)对于q个=1因此,作为q个从0增加到1解决方案与最初的猜测不同u个0(xt吨)解决方案u个(xt吨).正在扩展ϕ(xt吨q个)泰勒级数中关于q个,我们有

(3)ϕ(xt吨q个)=u个0(xt吨)+=1q个u个(xt吨)

哪里

u个(xt吨)=1!ϕ(xt吨q个)q个|q个=0.

级数解的收敛性()由控制如果辅助线性算子、初始猜测、辅助参数,辅助功能为正确选择,然后系列()收敛于q个=1我们有

(4)u个(xt吨)=u个0(xt吨)+=1u个(xt吨)

它必须是原始非线性方程的解之一。这个上述表达式为我们提供了初始猜测之间的关系u个0(xt吨)和精确解u个(xt吨)根据条款u个(xt吨)(=12),还有待确定。

定义向量

u个n个={u个0(xt吨)u个1(xt吨)u个2(xt吨)u个n个(xt吨)}.

差异化乘以零级变形方程(2)带有关于嵌入参数q个,然后设置q个=0最后再除以,我们获得这个四阶变形方程

L(左)[u个(xt吨)-χu个-1(xt吨)]=q个小时(xt吨)R(右)(u个-1xt吨).

在两侧应用拉普拉斯逆变换,我们得到

u个(xt吨)=χu个-1(xt吨)+q个L(左)-1[小时(xt吨)R(右)(u个-1xt吨)]

哪里

R(右)(u个-1xt吨)=1(-1)!-1ϕ(xt吨q个)q个-1|q个=0

χ={0如果11如果>1.

这样很容易获得u个(xt吨)对于1。在M(M)第号订单,我们有

u个(xt吨)=0M(M)u个(xt吨).

何时M(M),我们得到了一个精确的近似值原始方程的(1). 问题的解决(1)通过以下方式获得提出条件u个(xt吨)在方程式中(4)并选择合适的值属于对于级数的收敛性。

3 FHATM对该问题的收敛性研究

示例3.1

我们首先考虑以下分数阶Burgers–Poisson方程[411]作为

(5)D类t吨αu个-u个xxt吨+u个x=u个u个xxx-u个u个x+u个xu个xxt吨>00<α1

具有初始条件u个(x0)=x.

在两侧应用拉普拉斯变换(5)并使用分数阶导数的拉普拉斯变换的微分性质,我们得到

(6)αL(左)[u个(xt吨)]-α-1u个(x0)+L(左)[u个x-u个xxt吨-u个u个xxx+u个u个x-u个xu个xx]=0.

简化收益率

L(左)[u个(xt吨)]-x+-αL(左)[u个x-u个xxt吨-u个u个xxx+u个u个x-u个xu个xx]=0.

我们选择线性算子作为

[ϕ(xt吨q个)]=L(左)[ϕ(xt吨q个)]

具有属性[c(c)]=0,其中c(c)是常量。

我们现在将非线性算子定义为

N个[ϕ(xt吨q个)]=L(左)[ϕ(xt吨q个)]-x+-αL(左)[ϕx-ϕxxt吨-ϕϕxxx+ϕϕx-ϕxϕxx].

使用上述定义,假设小时(xt吨)=1,我们构造了第0个阶变形方程

(1-q个)[ϕ(xt吨q个)-u个0(xt吨)]=q个N个[ϕ(xt吨q个)].

显然,我们ϕ(xt吨0)=u个0(xt吨)对于q个=0ϕ(xt吨1)=u个(xt吨)对于q个=1.因此,我们获得四阶变形方程

(7)L(左)[u个(xt吨)-χu个-1(xt吨)]=R(右)(u个-1xt吨).

在两侧应用拉普拉斯逆变换(7),我们得到

u个(xt吨)=χu个-1(xt吨)+q个L(左)-1[R(右)(u个-1xt吨)]

其中,对于1

R(右)(u个-1xt吨)=L(左)[u个(xt吨)]-(1-χ)x+-αL(左)[(u个-1)x-(u个-1)xxt吨
-k个=0-1u个-1-k个(u个k个)xxx+k个=0-1u个-1-k个(u个k个)x-k个=0-1(u个-1-k个)x(u个k个)xx].

现在,解决方案四阶变形方程(7)是

u个(xt吨)=(χ+)u个-1-(1-χ)x+L(左)-1(-αL(左)[(u个-1)x-(u个-1)xxt吨
-k个=0-1u个-1-k个(u个k个)xxx+k个=0-1u个-1-k个(u个k个)x-k个=0-1(u个-1-k个)x(u个k个)xx]).

从初始条件开始u个0(xt吨)=u个(x0)=x以及上述迭代方案,我们得到了各种迭代

u个1(xt吨)=(1+x)t吨αΓ(α+1)
u个2(xt吨)=(1+)(1+x)t吨αΓ(α+1)+22(1+x)t吨2αΓ(2α+1)
u个(xt吨)=(1+)2(1+x)t吨αΓ(α+1)+42(1+)(1+x)t吨2αΓ(2α+1)+4(1+)(1+x)t吨αΓ(α+1)+(1+x)t吨αΓ(2α+1)Γ(α+1)(Γ(α+1))2.

以这种方式继续,其他组件u个(xt吨)(4)从而完全确定了级数解。最后,我们有

(8)u个(xt吨)=u个0(xt吨)+=05u个(xt吨).

如果=-1α=1那么得到的解与同伦分析方法给出的解相似[23]. 然而,主要是Adomian分解方法和同伦给出的结果摄动变换法收敛于相应的数值解决方案在一个相当小的地区。但是,与这两种方法不同,同伦分析变换方法为我们提供了一种简单的方法通过选择一个辅助参数的正确值.

数字12显示精确解与新分数同伦分析的近似解转换方法。可以看出,通过该方法与已知的精确解几乎相同。

示例3.2

我们考虑一个没有色散和扩散的时间分数问题

(9)D类t吨αu个+u个x+u个u个x=0t吨>00<α1

具有初始条件

(10)u个(x0)=小时2b条x.

将拉普拉斯变换应用于(9)并使用分数阶导数的拉普拉斯变换的微分性质,我们得到

αL(左)[u个(xt吨)]-α-1u个(x0)+L(左)[u个x+u个u个x]=0.

简化产量

L(左)[u个(xt吨)]-1小时2b条x+-αL(左)[u个x+u个u个x]=0.

我们选择线性算子作为

[ϕ(xt吨q个)]=L(左)[ϕ(xt吨q个)]

具有属性[c(c)]=0,其中c(c)是常量。

图1精确解u(x,t)${u(x、t)}$的图。
图1

精确解的绘图u个(xt吨).

图2新HATM在n=5${n=5}$水平上获得的近似解的绘图。
图2

新HATM在水平面上获得的近似解的绘图n个=5.

我们现在将非线性算子定义为

N个[ϕ(xt吨q个)]=L(左)[ϕ(xt吨q个)]-1小时2b条x+-αL(左)[ϕx+ϕϕx].

使用上述定义,假设小时(xt吨)=1,我们构造了第0个阶变形方程

(1-q个)[ϕ(xt吨q个)-u个0(xt吨)]=q个N个[ϕ(xt吨q个)].

显然,ϕ(xt吨0)=u个0(xt吨)对于q个=0ϕ(xt吨1)=u个(xt吨)对于q个=1因此,我们获得四阶变形方程

(11)L(左)[u个(xt吨)-χu个-1(xt吨)]=R(右)(u个-1xt吨).

在两侧应用拉普拉斯逆变换(11),我们得到

u个(xt吨)=χu个-1(xt吨)+q个L(左)-1[R(右)(u个-1xt吨)]

哪里

R(右)(u个-1xt吨)=L(左)[u个-1(xt吨)]-1-χ小时2b条x+-αL(左)[(u个-1)x+k个=0-1u个-1-k个(u个k个)x]1.

现在,解决方案四阶变形方程(11)是

(12)u个(xt吨)=(χ+)u个-1-(1-χ)小时2b条x+L(左)-1(-αL(左)[(u个-1)x+k个=0-1u个-1-k个(u个k个)x]).

使用初始近似值(10)以及迭代方案(12),我们获得各种迭代:

u个1=t吨αΓ(1+α)(b条新几内亚(2b条x))+t吨α2Γ(1+α)(2b条新几内亚(2b条x)+2b条科什(2b条x)新几内亚(2b条x))
u个2=(1+)t吨αΓ(1+α)(b条新几内亚(2b条x))+(1+)t吨α2Γ(1+α)(2b条新几内亚(2b条x)+2b条科什(2b条x)新几内亚(2b条x))
  +t吨2αΓ(1+2α)(2b条2科什(2b条x)+22b条2科什(2b条x)+22b条2科什(4b条x)+b条2科什(4b条x))
  +t吨2α8Γ(1+2α)(5b条2科什(2b条x)+b条2科什(6b条x)).

以这种方式进行,其他组件u个(xt吨)()因此,级数解是完全的已确定。最后,解决方案(9)表示为

u个(xt吨)==0u个(xt吨).

4数值结果和讨论

分数同伦分析变换的简单性和准确性通过计算绝对误差来说明该方法E类5(u个)=|u个(xt吨)-u个5(xt吨)|,其中u个(xt吨)是精确的解u个~(xt吨)是的近似解(5)通过截断相应的解序列获得(8)达到水平=5.图描述了显示近似解的绝对误差u个~(xt吨)收敛到精确解非常迅速。可以看出,我们的近似值分数次同伦分析变换法求解仅在五阶近似下快速收敛到精确解,即。,近似解与精确解非常接近。这种新方法在近似方面达到了较高的精度解决方案。建议的近似解的精度可以通过引入更多近似项来改进该方法解决。

图3 n=5${n=5}$水平的绝对误差图。
图3

水平绝对误差图n个=5.

图4:ℏ$\hslash$曲线用于不同的α值:α=0.7$\α=0.7$、0.8、0.9和1。
图4

的绘图不同α值的曲线:α=0.7、0.8、0.9和1。

图5不同α值的近似解图:α=0.7$\α=0.7$、0.8、0.9和1。
图5

不同α值的近似解图:α=0.7、0.8、0.9和1。

图6对于不同的α值,un,7(x,t)${u_{n,7}(x,t)}$与时间t的关系图a=b=0.1${a=b=0.1}$和ℏ=-1${\hslash=-1}$。
图6

的绘图u个n个7(xt吨)与时间相对t吨对于不同的α值at=b条=0.1=-1.

表1

精确解与近似解的比较研究用误差估计进行第五项近似。

xt吨精确解决方案近似溶液温度α=1=-1近似溶液温度α=0.95=-1E类5(u个)α=1=-1
200.0119.792119.792119.73382.07927×10-11
150.0114.841614.841614.79721.58414×10-11
100.019.891099.891099.860561.08901×10-11
200.00119.979019.979019.96984.61141×10-15
150.00114.984014.984014.9772.33427×10-15
100.0019.989019.989019.984171.82045×10-15
图7残差R5=| u5-u4 |${R_{5}=| u_{5} -u个_{4} |}$由HATM提供。
图7

残差图R(右)5=|u个5-u个4|由HATM提供。

图8剩余误差R6=|u6-u5|${R_{6}=|u的曲线图_{6} -u个_{5} |}$由HATM提供。
图8

残差图R(右)6=|u个6-u个5|由HATM提供。

正如廖所指出的那样[23],的收敛性和近似速率HAM解强烈依赖于辅助参数的值.即使初始近似值u个0(xt吨),辅助线性算子L(左)和辅助功能小时(xt吨)我们仍然有很大的自由来选择辅助参数因此,辅助参数为我们提供了一种额外的方法来方便地调整和控制解级数的收敛区域和收敛速度。通过所谓的曲线很容易找到所谓的有效区域得到一个收敛的解序列。当的有效区域为水平线段,则解收敛。4显示了从5阶HATM获得的曲线分数阶Burgers–Poisson方程的近似解(6)在x=0.5在我们的研究中,从图中可以明显看出4可接受范围辅助参数的-1.88<0.我们仍然有选择辅助设备的自由参数根据曲线。4显示的有效区域收敛对应于几乎平行于水平轴。从图中可以看出5近似分析通过该方法获得的解随着增加t吨.

1表明由新的提出的方法在不同网格点的值接近近似数级的高精度精确解=5也可以注意到近似解随n个增加。我们的结果证明了近似解的有效性和准确性。

6显示了不同值的近似解的行为α,即0.7、0.8、0.9和标准运动,即。,α=1从图中也可以看出1我们的近似解析解随时间的增加而迅速增加t吨在值=-1=0.1b条=0.1.

在这个例子中,我们还定义了剩余误差项R(右)=|u个(xt吨)-u个-1(xt吨)|,它是解列的收敛性为所提供的精确解R(右)连续不断地减少为增加(数字78). 这主要是精确解未知时使用。该分析表明HATM适合对于高度非线性微分方程。

数字78显示剩余误差R(右)5=|u个5-u个4|R(右)6=|u个6-u个5|这表明我们的近似解析解收敛于精确解。

5结束语

本文发展了一种有效的新的同伦分析耦合分数阶Burgers–Poisson的方法和拉普拉斯变换方法方程式。我们已经讨论了这些构造的方法并研究了它们在测试问题上的性能。一个优秀的达成一致。通过使用通过对拉普拉斯算子进行修改而得到的仿射分析变换方法。可以得出结论,FHATM非常强大找到近似解和解析解的效率科学和工程中出现的许多分数物理模型。

致谢

作者非常感谢裁判们仔细阅读这篇论文以及他们对改进论文的意见和建议。

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收到:2013-11-29
修订过的:2014-11-15
认可的:2015年1-2月
在线发布:2016-2-24
印刷出版:2016年11月1日

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于2024年5月17日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/anona-2013-0033/html
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