2017年国际数学神经科学会议特刊

摘要

神经科学中正在进行的大规模和多方面数据集的获取需要新的数学工具来定量地基础这些实验发现。自2015年以来，数学神经科学国际会议（ICMNS）为研究人员提供了一个论坛，讨论神经科学中出现的当前数学创新。本期特刊汇集了5月30日至6月2日在科罗拉多州博尔德市举行的2017年ICMNS上呈现的最新研究和教程。会议讨论的主题包括网络活动的相关性分析、塑性突触的信息理论、吸引子神经网络的组合学以及神经科学的新型数据同化方法，所有这些都在本专题中进行了介绍。

1介绍

实验学家和理论家之间有越来越多的大型国际合作，以解决神经科学中的紧迫问题[1,2]. 数学神经科学国际会议（ICMNS）通过培训年轻研究人员掌握数学神经科学的现代工具，为新的研究发展提供论坛，并促进对当前问题的讨论，为这项工作做出了贡献。最终，我们希望ICMNS通过专注于数学问题和神经科学开放问题研究中出现的技术，促进新的研究合作。自成立以来，该会议一直以跨越大脑时空尺度的演讲为特色：从亚细胞机制的随机动力学到大规模神经元网络的复杂时空模式，从亚毫秒尖峰到跨越数年的学习。这项工作的数学理论包括来自平均场理论、随机过程、时空动力学、网络和图论、统计力学和高阶统计的思想。

第一届（2015年）和第二届（2016年）ICMNS会议在法国胡安莱斯-宾斯举行，之后会议在科罗拉多州博尔德市举行（2017年），这是本期专题的重点。¹在以往会议结构的基础上，会议以辅导日开始，随后是为期三天的主要会议。组织辅导日是为了吸引和培训年轻的研究人员学习数学神经科学的当前方法。有两条轨道，提供了广泛的主题（见图1)包括平衡网络、信息论和几何学、尖峰网络中的有效编码、可塑性和随机混合系统。为了配合这些努力，我们提供了两篇教程综述，一篇是关于随机混合方法的[三]神经元模型中的数据同化方法[4].

图1

2017年ICMNS精选教程、全会和平行演讲。顶行，从左到右：Taro Toyoizumi（RIKEN脑科学研究所）提出了闭环环境反馈调节神经增益的理论；彼得·托马斯（凯斯西储大学），定义随机振荡器的相位；Brent Doiron（匹兹堡大学）关于网络中神经可变性的教程。最下面一行：Sophie Deneve（巴黎埃科尔正常供应）谈到尖峰网络中的高效编码；Olivier Faugeras（INRIA-Sophia Antipolis）讨论热力学极限的相关性；罗伯特·罗森鲍姆（圣母大学），研究尖峰神经网络模型中的时空动力学；尼古拉斯·布鲁内尔（杜克大学）关于突触可塑性的最小生物物理模型

主要会议包括为期三天的全体发言人、平行会议和海报演示（见图1)，摘录了本期特刊的研究文章[5,6,7,8,9]. ICMNS的演讲重点是为研究神经科学中的开放性问题而开发的数学方法和模型。这与其他计算神经科学会议（例如CoSyNe、CNS和NeurIPS）上的演示不同，这些会议强调新的神经科学或计算方法，而较少关注数学和易处理模型。此外，与其他专注于数学建模的应用数学会议（如SIAM应用动态系统和SIAM生命科学）相比，ICMNS的大多数个人都具有神经科学的基本背景。因此，ICMNS具有独特的优势，它可以更深入地关注神经科学中出现的新数学。我们将在本期特刊中讨论这一趋势的例子。

2教程回顾

这两个教程证明了考虑大脑中的不确定性和可变性以及适应神经动力学模型所需的数据收集过程的重要性。神经元放电[10]以及潜在离子通道和受体的状态动力学[11]，可能具有高度随机性。为了理解随机性是如何在宏观层面上出现的，重要的是放大这种波动的微观模型。Bressloff和MacLaurin（2018）回顾了随机混合方法，该方法允许对细胞神经科学模型中出现的部分确定性马尔可夫过程（PDMP）进行详细分析[三]. 在将参数化模型拟合到数据时，考虑可变性和不确定性也很重要。沿着这些思路，Moye和Diekman（2018）审查了用于拟合参数化电导模型的数据同化方法[4]. 它们还包括用于实现这些方法的MATLAB代码作为补充材料。

亚细胞水平的波动可以形成单个神经元和电路的响应特性[12,13,14]. 离子通道的开启和关闭可以通过连续时间马尔可夫过程进行建模，其中有限数量的通道由于通道波动导致基于电导率的模型中的自发尖峰[12,15]. Bressloff和MacLaurin（2018）回顾了分析此类随机系统所需的数学框架，利用了它们的分段确定性[三]. 随机跃迁发生在离散时间，但在这两者之间，动力学的演化具有确定性。这由微分Chapman–Kolmogorov（CK）方程捕获，该方程可通过准静态（QSS）近似进行简化，以导出在无限系统尺寸极限下有效的平均场方程的低阶修正。此外，可以使用Wentzel–Kramers–Brillouin（WKB）近似导出准势，以计算亚稳态系统中的首次通过时间统计[12]. 这种亚稳态可以出现在随机混合系统中，该系统在平均场极限下成为基于电导的神经元模型。这些模型中动作电位的随机演化可以通过分析描述离子通道态布居演化的相应CK方程来表征[三]. 作者还讨论了随机切换环境中具有随机间隙连接和扩散的模型[16]以及轴突和树突的细胞内转运模型[17]. 他们通过使用变分方法分析根据PDMP演化的振荡器的相位动力学来结束他们的教程，该方法更准确地描述了相位响应特性和逃离随机极限环邻域的时间。作者建议，这些方法可以扩展到更复杂的生物物理过程，甚至是突触耦合网络。例如，一个神经群体的单个尖峰可能被视为离散的随机过程，而突触动力学则被视为介入的确定性过程。

在补充教程回顾中，Moye和Diekman（2018）讨论了数据同化的应用，例如，将基于电导的模型拟合到电流灯数据[4]. 一般来说，数据同化使用直接观测来改进某些相应系统模型的估计，从而将其与不使用动态模型的其他形式的统计学习区分开来。为了估计系统随时间的变化状态，通常定义并最小化一个代价函数来定义特定的数据同化方法：变分方法（弱4D-Var）通过构造伴随问题来寻求最小值[18]. 序贯数据同化使用来自以前时间点和当前观测的信息来估计状态。这些被称为滤波器，例如卡尔曼滤波器[18]，使用模型预测状态估计，并使用观测值进行校正。Moye和Diekman（2018）讨论了无迹卡尔曼滤波器（UKF），该滤波器通过计算非线性变换状态变量的样本均值和方差来近似非线性系统的动力学[19]. 重要的是，非线性变换仍在更新过程中，但结果预测仍由高斯统计定义。考虑非线性对于估计分岔等非线性特征尤为重要。作者将UKF应用于Hopf分岔、极限环上的鞍节点和同宿附近的Morris–Lecar模型。使用UKF可以很好地识别参数、电压值和分岔点，这对线性滤波方法来说是一个挑战。弱4D-Var方法的性能较差，因为它可以解决成本函数的局部极小值问题，远离全局极小值，特别是在亚稳态参数区域。对Morris–Lecar模型在突发状态下的分析表明，UKF在某些突发状态下能够很好地估计参数和状态。椭圆方波爆炸可能更难拟合，但通过将慢动态和快动态视为单独的状态估计问题，可以进行改进[20]. 随着越来越多的神经数据必须与非线性模型相结合，数据同化将继续成为一组重要的方法。Moye和Diekman（2018）的统计方法对于数学神经科学中关注动力学系统的人来说可能特别令人兴奋，因为它可以保留神经系统固有非线性的解释[4].

因此，这些教程为解决神经系统中的随机性提供了补充分析和技术。Bressloff和MacLaurin（2018）分析了微观层面上解释随机性的机械模型，并讨论了将这些模型放大到更宏观数量的方法[三]. 或者，莫耶和迪克曼（2018）提出了将这种随机性作为统计问题处理的方法[4]，因此可以适当过滤噪声数据，以可靠地拟合确定性模型，这些模型可以是随机神经元模型的平均场对应项。

三研究论文

本期特刊的研究文章在多个尺度上分析神经系统的模型。细胞内钙信号对突触到核的通信很重要，可以以Breit和Queisser（2018）在钙传播的反应扩散模型中研究的波的形式出现[7]. 在神经元水平上，Mokhtari等人（2018）研究了短期可塑性如何影响神经信息在突触间的传播，探索毒蕈碱治疗对海马神经元的影响[6]. 在微电路层面，Ferrario等人（2018年）在一个简单的爪蟾蝌蚪脊髓中央模式发生器[8]. 转向大规模网络，Barrero和Ly（2018）推导了异质网络中成对峰计数相关性和放电率之间的关系，扩展了线性响应理论[5]. 最后，Hedrick和Zhang（2018）使用局部稳定性分析来研究空间工作记忆吸引子神经网络模型的操作模式，显示输出模式如何依赖于冲突的外部输入[9]. 这些研究表明，为了理解神经系统的动力学和编码过程，正在开发一系列广泛的数学技术。

细胞内钙的传播对信号转导、突触传递和动作电位的动力学至关重要[21]. 通过内质网（ER）上的ryanodine受体（RyR）通道产生的钙诱导的钙释放促进了这种钙的增殖[22]. Breit和Queisser（2018）专门研究了树枝状结构和内质网如何相互作用影响钙波动力学[7]，将树枝晶内的ER建模为另一电缆层覆盖的电缆。有趣的是，他们发现需要最小的RyR密度，该密度与ER表面积成反比，以确保行波传播的条件。沿着这些线，随着RyR密度的增加，钙波的速度也会增加。在未来的研究中，作者计划探索具有异质RyR分布的系统，并提出可以使用平均化和均匀化来分析波传播故障[23]. 另外，作者建议研究薄枝晶的渐近极限，因此该模型可以被视为一维模型。

基于钙在神经加工中的作用这一主题，Mokhtari等人（2018年）研究了一个突触动态模型的信息处理特性，该模型基于钙对小泡释放和恢复概率的依赖性调节，受到短期突触可塑性的影响[6]. 海马GABA能突触数据验证了该模型[24]它为应用毒蕈碱抑制突触前钙通道对突触信息传递的影响提供了一个试验台。通过简化突触前钙动力学，作者导出了钙浓度、囊泡释放概率和可释放池中囊泡浓度的非线性映射。这些囊泡动力学促进短期抑制，在泊松峰列上起到频率依赖性滤波器的作用，如之前使用线性响应技术的工作所示[25,26]. Mokhtari等人（2018年）通过使用互信息度量分析编码，扩展了这些先前的发现，并观察到毒蕈碱应用减少了跨输入频率的信息传递。毒蕈碱的作用是通过减少胞间钙内流来模拟的，以反映毒蕈碱与乙酰胆碱受体结合并抑制突触前钙通道的事实。在未来的工作中，作者建议使用连续时间马尔可夫链模型来考虑随机绑定过程。此外，简单的释放概率模型可以嵌入到微电路模型中，以了解短期塑性如何塑造振荡和节奏。

Ferrario等人（2018）在简化模型的背景下研究了振荡和同步爪蟾蝌蚪中心模式发生器[8]. CPG通过在没有周期性强迫的情况下自主产生节律性活动，在运动生物体中发挥着重要作用。这个爪蟾CPG包含多个细胞，它们的自然节奏模式从游泳时理想的反相位振荡转变为肢体运动时理想的同相振荡[27]. 为了分析这种转换，作者考虑了CPG电路的简化两单元模型。每个单元由兴奋性和抑制性霍奇金-赫胥黎细胞组成。单位内的耦合主要由缓慢的NMDA产生的复发性兴奋所主导，单位之间的耦合主要由从抑制细胞到兴奋细胞的甘氨酸能突触所主导。通过改变突触耦合的强度，系统在反相和同相（游动vs.同步）振荡状态之间切换。这些分岔可以通过识别Neimark–Sacker的数值延拓技术和约束多稳定状态的倍周期分岔来揭示。当这两种行为都通过亚稳态存在时，不同的初始条件可以揭开其中一种振荡行为，并且可以通过对电压方程和选通变量的随机扰动实现跃迁。系统的反射对称性可以用来简化分岔分析，尽管结果对轻微的对称破缺是稳健的。总的来说，他们的分析使用一个具有可访问分叉结构的简化模型，为节奏行为中基于发展的转变提供了直觉。

剩下的文章主要分析大型网络的模型，这些模型可以展示网络架构和由此产生的时空动态之间的复杂关系。尖峰计数相关性将尖峰序列同步的概念推广到更长的时间尺度。Barrero和Ly（2018）研究了两个神经元的尖峰计数之间的相关性如何与它们在广泛参数范围内的放电率共同调制[5]. 单神经元动力学的非线性以一种敏感地依赖于神经元动态状态的方式将相关性和放电率交织在一起，因此依赖于控制单神经元动力学和神经元输入统计的参数。他们使用从线性反应理论导出的基本关系，其中两个神经元的峰计数之间的相关性与突触输入电流与敏感函数几何平均值之间的相关性成正比，它测量神经元对输入电流调制的反应有多灵敏。这种关系允许使用福克-普朗克方程来研究神经元膜电位密度演化的相关率关系。虽然之前的工作使用相同的方法得出结论，相关性可以随着发射率的增加而增加[28]Barrero和Ly（2018）发现，相关率关系比之前认为的更丰富，并且敏感地取决于哪些参数被调制以及如何调制。这些发现对依赖于速率和相关性的神经群体编码有启示。

大规模神经元网络动力学的动力学也可以用空间组织的神经场模型来解释。这些模型适用于局部和弱非线性稳定性分析，特别是当网络连接呈现对称性或近对称性时[29]. Hedrick和Zhang（2018）分析了空间导航下的海马网络模型，其中单个细胞可以拥有多个位置场[9]. 当大鼠在大型环境中航行时，在大鼠海马体的记录中观察到了这种位置场的多样性[30]. 为了研究这种多重性的出现及其对模型网络动力学的影响，作者确定了随着空间域大小的增加，模型平衡点的稳定性。在小型环境中，当两个冲突的位置作为模型的输入时，网络在winner-take-all（WTA）机制下运行，因此单个输入位置由单个活动的碰撞表示。随着环境规模的增加，存在一个临界大小，超过该临界大小，两个冲突的输入可以由两个不同的凹凸来表示。通过数值模拟和局部稳定性分析来表征这种相变，该局部稳定性分析将神经场模型简化为跟踪两个可能凸起高度的两个单元模型。然后可以使用相平面和分岔分析来识别WTA和组合模式的边界以及滞后。作者还展示了如何将此类分析扩展到与感知和决策模型相关的多个输入[31]。

这些文章中的建模和分析将细胞和网络属性、观察到的神经活动模式和行为联系起来，并提出了分析神经系统中模型和数据的新数学技术。

4结论与展望

来自数学神经科学界的140多名研究人员参加了2017年ICMNS。全体会议的讨论和贡献的演讲表明了新的数学方法和神经科学见解之间的密切联系。为了应对数据收集的增长，通常涉及神经和行为记录的结合，复杂而扎实的数学模型非常重要。然而，这些模型应该可以进行某种形式的分析，以便推断出系统参数和行为之间的低维关系。这是2017年ICMNS大多数演讲的一个重要目标。

此外，会议继续为数学神经科学的年轻研究人员创造一个开放的环境。辅导日是会议结构的重要组成部分，为神经科学中的新数学方法提供介绍和培训。在国家科学基金会的资助下，我们为十名学生提供了参加会议的旅费，其中大多数是STEM中代表人数不足的团体的成员。此外，在十位全体发言者中，有四位是女性，这使我们在性别多样性方面获得了比biasneurowatch高出平均水平的评价。²此外，在接受的贡献演讲中，近50%是女性。因此，我们认为这是神经科学会议上性别多样性的一个巨大成功。

我们希望这一势头将在ICMNS的未来实例化中继续下去。2018年，会议再次在法国胡安·莱斯·平斯举行，有一个类似的计划，包括一天的辅导和三天的主要会议。2019年，ICMNS将于6月23日至26日在丹麦哥本哈根举行。在未来的几年里，我们希望会议的范围将进一步扩大，以吸引更多来自数学科学的参与者和更多有兴趣在工作中利用新数学工具的神经科学家。