Existence results for fractional integral inclusions via nonlinear alternative for contractive maps

Alsaedi, Ahmed; Ntouyas, Sotiris K; Ahmad, Bashir; Alsulami, Hamed H

doi:10.1186/1687-2770-2014-25

研究
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发布时间：2014年1月30日

基于压缩映射非线性替换的分数次积分包含的存在性结果

边值问题 体积 2014，物品编号：25(2014)引用这篇文章

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2引文
韵律学细节

摘要

本文通过应用Petryshyn和Fitzpatric对多值映射的（Krasnoselskii型）不动点结果，获得了一个具有分数积分边界条件的分数阶多值问题的新的存在性结果[Trans.Am.Math.Soc.194:1-25，1974]。还讨论了下半连续多值映射的情况。给出了一个示例来说明我们的主要结果。

MSC公司：34A60、34A08。

1引言

分数阶微分方程和包含理论由于在物理学、经济学和工程科学的众多分支中的广泛应用，已发展成为一个重要的研究领域[1–4]. 分数阶微分算子表现出的非局部行为使其有别于整数阶微分算子。这意味着，涉及分数导数的动力系统或过程的未来状态取决于其当前状态和过去状态。事实上，任意阶微分方程能够描述几种材料和过程的记忆和遗传特性。分数阶微积分的这一特性促成了它的普及，并使许多研究人员相信有必要将他们的重点从经典的积分阶模型转移到分数阶模型。在发展新的理论方面，如周期性、渐近行为和分数方程的数值方法方面，出现了巨大的发展势头。有关此主题的一些最新工作，请参见[5–18]以及其中引用的参考文献。

本文考虑具有分数积分边界条件的分数阶微分包含的下列边值问题：

{\begin{matrix} - {D类}^{α} x个 (吨) \in A类 F类 (吨, x个 (吨)) + B类 我^{β} 克 (吨, x个 (吨)), 2 < α \leq 三, 吨 \in [0, 1], \\ {D类}^{δ} x个 (0) = {D类}^{δ + 1} x个 (0) = 0, {D类}^{δ} x个 (1) = \int_{0}^{η} {D类}^{δ} x个 (秒) d日 秒, 0 < η < 1, \end{matrix}

（1.1）

哪里 $0 < δ \leq 1$ , $2 < α - δ < 三$ , $β > 0$ , ${D类}^{(\cdot)}$ 表示Riemann-Liouville分数阶导数 $(\cdot)$ , $F类, 克 : [0, 1] \times R（右） \to P（P） (R（右）)$ 是多值映射， $P（P） (R（右）)$ 是所有非空子集的族ℝ和A类,B类是实际常数。

我们建立了问题（1.1）的两个新的存在性结果。第一个结果依赖于压缩映射的非线性替换，而在第二个结果中，我们将把单值映射的Leray-Shauder型非线性替换与Bressan和Colombo提出的下半连续多值映射的选择定理结合起来，该映射具有非空闭可分解值。

论文组织如下。在第2节中，我们回顾了续集中需要的一些初步事实，第3节介绍了主要结果。

2准备工作

让我们回顾一下分数微积分的一些基本定义[1–三].

定义2.1分数阶Riemann-Liouville导数q个对于连续函数 $克 : (0, \infty) \to R（右）$ 定义为

{D类}_{0 +}^{q个} 克 (吨) = \frac{1}{Γ (n个 - q个)} {(\frac{d日}{d日 吨})}^{n个} \int_{0}^{吨} {(吨 - 秒)}^{n个 - q个 - 1} 克 (秒) d日 秒, n个 - 1 < q个 < n个, n个 = [q个] + 1,

哪里 $[q个]$ 表示实数的整数部分q个.

定义2.2Riemann-Liouville分数阶积分q个对于函数 $克 : (0, \infty) \to R（右）$ 定义为

我^{q个} 克 (吨) = \frac{1}{Γ (q个)} \int_{0}^{吨} \frac{克 (秒)}{{(吨 - 秒)}^{1 - q个}} d日 秒, q个 > 0,

只要积分存在。

观察到替换 $x个 (吨) = 我^{δ} 年 (吨) = {D类}^{- δ} 年 (吨)$ 将问题（1.1）转换为以下形式：

{\begin{matrix} - {D类}^{α - δ} 年 (吨) \in A类 F类 (吨, 我^{δ} 年 (吨)) + B类 我^{β} 克 (吨, 我^{δ} 年 (吨)), 吨 \in [0, 1], \\ 年 (0) = 0, 年^{'} (0) = 0, 年 (1) = \int_{0}^{η} 年 (秒) d日 秒 . \end{matrix}

(2.1)

为了定义问题（1.1）的解，我们需要以下引理。虽然这个引理的证明涉及标准参数，但为了方便读者，我们追踪了它的证明。

引理2.3 对于任何 $小时 \in C (0, 1) \cap L（左） (0, 1)$ ,线性分数次边值问题的唯一解

{\begin{matrix} - {D类}^{α - δ} 年 (吨) = 小时 (吨), 吨 \in [0, 1], \\ 年 (0) = 年^{'} (0) = 0, 年 (1) = \int_{0}^{η} 年 (秒) d日 秒, 0 < η < 1, \end{matrix}

（2.2）

是

年 (吨) = - 我^{α - δ} 小时 (吨) + \frac{(α - δ) 吨^{α - δ - 1}}{α - δ - η^{α - δ}} (我^{α - δ} 小时 (1) - 我^{α - δ + 1} 小时 (η)) .

证明这是众所周知的[三]（2.2）中分数阶微分方程的解可以写成

年 (吨) = - 我^{α - δ} 小时 (吨) + {c（c）}_{1} 吨^{α - δ - 1} + {c（c）}_{2} 吨^{α - δ - 2} + {c（c）}_{三} 吨^{α - δ - 三},

(2.3)

哪里 ${c（c）}_{1}, {c（c）}_{2}, {c（c）}_{三} \in R（右）$ 是任意常数。使用（2.2）中的边界条件，我们发现 ${c（c）}_{2} = 0$ , ${c（c）}_{三} = 0$ 、和

{c（c）}_{1} = \frac{α - δ}{α - δ - η^{α - δ}} (我^{α - δ} 小时 (1) - 我^{α - δ + 1} 小时 (η)) .

将这些值代入（2.3）中，得出

年 (吨) = - 我^{α - δ} 小时 (吨) + \frac{(α - δ) 吨^{α - δ - 1}}{α - δ - η^{α - δ}} (我^{α - δ} 小时 (1) - 我^{α - δ + 1} 小时 (η)) .

请注意 $α \neq δ + η^{α - δ}$ 鉴于表达式中涉及的参数的给定值。这就完成了证明。 □

因此，方程的解 $- {D类}^{α} x个 (吨) = 小时 (吨)$ 根据（1.1）给出的边界条件，可以写为

\begin{array}{rcl} x个 (吨) & = & 我^{δ} 年 (吨) \\ = & 我^{δ} [- 我^{α - δ} 小时 (吨) + \frac{(α - δ) 吨^{α - δ - 1}}{α - δ - η^{α - δ}} (我^{α - δ} 小时 (1) - 我^{α - δ + 1} 小时 (η))] \\ = & - 我^{α} 小时 (吨) + \frac{(α - δ)}{α - δ - η^{α - δ}} (我^{α - δ} 小时 (1) - 我^{α - δ + 1} 小时 (η)) \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{δ - 1}}{Γ (δ)} 秒^{α - δ - 1} d日 秒 \\ = & - 我^{α} 小时 (吨) + \frac{(α - δ)}{α - δ - η^{α - δ}} (我^{α - δ} 小时 (1) - 我^{α - δ + 1} 小时 (η)) \\ \times {\frac{吨^{α - 1}}{Γ (δ)} \int_{0}^{1} {(1 - ν)}^{δ - 1} ν^{α - δ - 1} d日 ν}, \end{array}

我们使用了替换 $秒 = ν 吨$ 在最后一项的积分中。使用Beta函数的关系 $B类 (\cdot, \cdot)$ ,

B类 (β + 1, α) = \int_{0}^{1} {(1 - u个)}^{α - 1} {u个}^{β} d日 u个 = \frac{Γ (α) Γ (β + 1)}{Γ (α + β + 1)},

我们发现了

\begin{array}{rcl} x个 (吨) & = & - 我^{α} 小时 (吨) + \frac{(α - δ)}{α - δ - η^{α - δ}} (我^{α - δ} 小时 (1) - 我^{α - δ + 1} 小时 (η)) {\frac{吨^{α - 1}}{Γ (δ)} (\frac{Γ (δ) Γ (α - δ)}{Γ (α)})} \\ = & - 我^{α} 小时 (吨) + \frac{Γ (α - δ + 1) 吨^{α - 1}}{(α - δ - η^{α - δ}) Γ (α)} (我^{α - δ} 小时 (1) - 我^{α - δ + 1} 小时 (η)) . \end{array}

让 $C = C ([0, 1], R（右）)$ 表示所有连续函数的Banach空间 $[0, 1] \to R（右）$ 被赋予由 $∥ x个 ∥ = 啜饮 {| x个 (吨) |, 吨 \in [0, 1]}$ .

为了建立本文的主要结果，我们对压缩映射使用以下形式的非线性替代[[19]，推论3.8]。

定理2.4 让 X（X） 成为巴拿赫空间,和 D类 的有界邻域 $0 \in X（X）$ .让 ${H（H）}_{1} : X（X） \to {P（P）}_{c（c）第页, c（c）} (X（X）)$ (在这里 ${P（P）}_{c（c）第页, c（c）} (X（X）)$ 表示所有非空的家庭,紧子集和凸子集 X（X）)和 ${H（H）}_{2} : \bar{D类} \to {P（P）}_{c（c）第页, c（c）} (X（X）)$ 两个满足

（a）
${H（H）}_{1}$ 是收缩,和
（b）
${H（H）}_{2}$ 是上半部分-连续的(u个.秒.c（c）.很快就会)紧凑.

然后,如果 $H（H） = {H（H）}_{1} + {H（H）}_{2}$ ,任何一个

（i）
H（H） 在中有一个固定点 $\bar{D类}$ 或
（ii）
有一点 $u个 \in \partial D类$ 和 $λ \in (0, 1)$ 具有 $u个 \in λ H（H） (u个)$ .

定义2.5多值映射 $F类 : [0, 1] \times R（右） \to {P（P）}_{c（c）第页, c（c）} (R（右）)$ 据说是 ${L（左）}^{1}$ -Carathéodory如果

（i）
$吨 \to F类 (吨, x个)$ 每个都是可测量的 $x个 \in R（右）$ ,
（ii）
$x个 \to F类 (吨, x个)$ 几乎所有结构都是上部半连续的 $吨 \in [0, 1]$ 、和
（iii）
对于每个实数 $ρ > 0$ ，存在一个函数 ${小时}_{ρ} \in {L（左）}^{1} ([0, 1], {R（右）}^{+})$ 这样的话
$∥ F类 (吨, u个) ∥ : = 啜饮 {| 五 | : 五 \in F类 (吨, u个)} \leq {小时}_{ρ} (吨), 即吨 \in [0, 1]$

为所有人 $u个 \in R（右）$ 具有 $∥ u个 ∥ \leq ρ$ .

表示

{S公司}_{F类, x个} = {五 \in {L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）) : 五 (吨) \in F类 (吨, x个 (吨)) 即 吨 \in [0, 1]} .

引理2.6（Lasota和Opial[20])

让 X（X） 成为巴拿赫空间.让 $F类 : [0, 1] \times R（右） \to {P（P）}_{c（c）第页, c（c）} (R（右）)$ 做一个 ${L（左）}^{1}$ Carathéodory多值映射和letΘ是线性连续映射 ${L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）)$ 到 $C ([0, 1], X（X）)$ .然后是操作员

Θ \circ {S公司}_{F类} : C ([0, 1], R（右）) \to {P（P）}_{c（c） 第页, c（c）} (C ([0, 1], R（右）)), x个 \mapsto (Θ \circ {S公司}_{F类}) (x个) = Θ ({S公司}_{F类, x个})

是中的闭合图运算符 $C ([0, 1], R（右）) \times C ([0, 1], R（右）)$ .

3存在结果

在给出主要结果之前，我们定义了边值问题（1.1）的解。

定义3.1A函数 $x个 \in A类 C^{2} ([0, 1], R（右）)$ 被称为问题（1.1）的解决方案，如果 ${D类}^{δ} x个 (0) = {D类}^{δ + 1} x个 (0) = 0$ , ${D类}^{δ} x个 (1) = \int_{0}^{η} {D类}^{δ} x个 (秒) d日秒$ 并且有功能 $（f） \in {S公司}_{F类, x个}$ , $克 \in {S公司}_{克, x个}$ 这样的话

\begin{array}{rcl} x个 (吨) & = & - A类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} （f） (秒) d日 秒 - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 克 (秒) d日 秒 \\ + 问 吨^{α - 1} [A类 \int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} （f） (秒) d日 秒 + B类 \int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 克 (秒) d日 秒 \\ - A类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} （f） (秒) d日 秒 - B类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 克 (秒) d日 秒], \end{array}

哪里

问 = \frac{Γ (α - δ + 1)}{(α - δ - η^{α - δ}) Γ (α)} .

(3.1)

在续集中，我们设置

{Z轴}_{1} = \frac{| A类 |}{Γ (α + 1)} + \frac{| A类 | | 问 |}{Γ (α - δ + 1)} + \frac{| A类 | | 问 | η^{α - δ + 1}}{Γ (α - δ + 2)},

(3.2)

{Z轴}_{2} = \frac{| B类 |}{Γ (α + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 |}{Γ (α - δ + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 | η^{α - δ + β + 1}}{Γ (α - δ + β + 2)} .

(3.3)

定理3.2 假设

（H）₁) $F类 : [0, 1] \times R（右） \to {P（P）}_{c（c）第页, c（c）} (R（右）)$ 是一个 ${L（左）}^{1}$ Carathéodory多值映射;

（H）₂)存在一个函数 $k个 \in C ([0, 1], {R（右）}^{+})$ 这样的话

H（H） (F类 (吨, x个), F类 (吨, 年)) \leq k个 (吨) ∥ x个 - 年 ∥ 即 吨 \in [0, 1],

为所有人 $x个, 年 \in C ([0, 1], R（右）)$ 和 ${Z轴}_{1} ∥ k个 ∥ < 1$ ,哪里 ${Z轴}_{1}$ 由提供(3.2);

（H）_三) $克 : [0, 1] \times R（右） \to {P（P）}_{c（c）第页, c（c）} (R（右）)$ 是一个 ${L（左）}^{1}$ Carathéodory多值映射;

（H）₄)存在一个函数 $q个 \in C ([0, 1], R（右）)$ 具有 $q个 (吨) > 0$ 对于.e（电子）. $吨 \in [0, 1]$ 和一个非递减函数 $ψ : {R（右）}^{+} \to (0, \infty)$ 这样的话

∥ 克 (吨, x个) ∥ : = 啜饮 {| 五 | : 五 \in 克 (吨, x个)} \leq q个 (吨) ψ (∥ x个 ∥) a.电子 吨 \in [0, 1],

为所有人 $x个 \in R（右）$ ;

（H）₅)存在一个数字 $M（M） > 0$ 这样的话

\frac{(1 - {Z轴}_{1} ∥ k个 ∥) M（M）}{{Z轴}_{1} {F类}_{0} + {Z轴}_{2} ∥ q个 ∥ ψ (M（M）)} > 1,

(3.4)

哪里 ${Z轴}_{1}$ , ${Z轴}_{2}$ 由给定(3.2)和（3.3）中，分别地,和 ${F类}_{0} = \int_{0}^{1} ∥ F类 (吨, 0) ∥ d日吨$ .

然后是问题（1.1）有关于的解决方案 $[0, 1]$ .

证明为了将问题（1.1）转化为定点问题，让我们定义一个运算符 $N个 : C ([0, 1], R（右）) ⟶ P（P） (C ([0, 1], R（右）))$ 通过

N个 (x个) = {\begin{cases} 小时 \in C ([0, 1], R（右）) : \\ 小时 (吨) = {\begin{cases} - A类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} （f） (秒) d日 秒 - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 克 (秒) d日 秒 \\ + 问 吨^{α - 1} [A类 \int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} （f） (秒) d日 秒 \\ + B类 \int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 克 (秒) d日 秒 - A类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} （f） (秒) d日 秒 \\ - B类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 克 (秒) d日 秒] \end{cases} \end{cases}}

对于 $（f） \in {S公司}_{F类, x个}$ , $克 \in {S公司}_{克, x个}$ ，其中问由（3.1）给出。

我们研究空间中的积分包含 $C ([0, 1], R（右）)$ 上所有连续实值函数的 $[0, 1]$ 带上确界范数 $∥ \cdot ∥$ .定义两个多值映射 ${N个}_{1}, {N个}_{2} : C ([0, 1], R（右）) \to P（P） (C ([0, 1], R（右）))$ 通过

{N个}_{1} (x个) = {\begin{cases} 小时 \in C ([0, 1], R（右）) : \\ 小时 (吨) = {\begin{cases} - A类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} （f） (秒) d日 秒 \\ + A类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} （f） (秒) d日 秒 \\ - A类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} （f） (秒) d日 秒] \end{cases} \end{cases}}

对于 $（f） \in {S公司}_{F类, x个}$ 和

{N个}_{2} (x个) = {\begin{cases} 小时 \in C ([0, 1], R（右）) : \\ 小时 (吨) = {\begin{cases} - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 克 (秒) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 克 (秒) d日 秒 \\ - B类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 克 (秒) d日 秒] \end{cases} \end{cases}}

对于 $克 \in {S公司}_{克, x个}$ .

请注意 $N个 = {N个}_{1} + {N个}_{2}$ 我们将向操作员展示 ${N个}_{1}$ 和 ${N个}_{2}$ 满足定理2.4的所有条件 $[0, 1]$ 为了清楚起见，我们将证明分为一系列步骤和要求。

步骤1。我们证明了这一点 ${N个}_{1}$ 是上的多值收缩 $C ([0, 1], R（右）)$ .

让 $x个, 年 \in C ([0, 1], R（右）)$ 和 ${u个}_{1} \in {N个}_{1} (x个)$ .然后 ${u个}_{1} \in P（P） (C ([0, 1], R（右）))$ 和

\begin{array}{rcl} {u个}_{1} (吨) & = & - A类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} 五_{1} (秒) d日 秒 \\ + A类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} 五_{1} (秒) d日 秒 - A类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} 五_{1} (秒) d日 秒], \end{array}

对一些人来说 $五_{1} \in {S公司}_{F类, x个}$ .自 $H（H） (F类 (吨, x个), F类 (吨, 年)) \leq k个 (吨) ∥ x个 - 年 ∥$ ，存在 $w个 \in F类 (吨, 年)$ 这样的话 $| 五_{1} (吨) - w个 (吨) | \leq k个 (吨) ∥ x个 - 年 ∥$ 因此，多值运算符U型由定义 $U型 (吨) = {S公司}_{F类, 年} \cap K（K） (吨)$ ，其中

K（K） (吨) = {w个 \in R（右） | | 五_{1} (吨) - w个 (吨) | \leq k个 (吨) ∥ x个 - 年 ∥}

具有非空值且可测量。让 $五_{2}$ 是一个可衡量的选择U型（由Kuratowski-Ryll-Nardzewski的选择定理存在[21,22]). 然后 $五_{2} \in F类 (吨, 年)$ 和 $| 五_{1} (吨) - 五_{2} (吨) | \leq k个 (吨) ∥ x个 - 年 ∥$ a.e.开启 $[0, 1]$ .

定义

\begin{array}{rcl} {u个}_{2} (吨) & = & - A类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} 五_{2} (秒) d日 秒 \\ + A类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} 五_{2} (秒) d日 秒 - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} 五_{2} (秒) d日 秒] . \end{array}

由此可见 ${u个}_{2} \in {N个}_{1} (年)$ 和

\begin{array}{rcl} | {u个}_{1} (吨) - {u个}_{2} (吨) | & \leq & | - A类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} [五_{1} (秒) - 五_{2} (秒)] d日 秒 \\ + A类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} [五_{1} (秒) - 五_{2} (秒)] (秒) d日 秒 \\ - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} [五_{1} (秒) - 五_{2} (秒)] (秒) d日 秒] | \\ \leq & | A类 | \int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} | 五_{1} (秒) - 五_{2} (秒) | d日 秒 \\ + | A类 | | 问 | \int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} | 五_{1} (秒) - 五_{2} (秒) | d日 秒 \\ + | A类 | | 问 | \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} | 五_{1} (秒) - 五_{2} (秒) | d日 秒 \\ \leq & {\frac{| A类 |}{Γ (α + 1)} + \frac{| A类 | | 问 |}{Γ (α - δ + 1)} + \frac{| A类 | | 问 | η^{α - δ + 1}}{Γ (α - δ + 2)}} ∥ k个 ∥ ∥ x个 - 年 ∥ . \end{array}

在区间内取得优势 $[0, 1]$ ，我们获得

∥ {u个}_{1} - {u个}_{2} ∥ \leq {\frac{| A类 |}{Γ (α + 1)} + \frac{| A类 | | 问 |}{Γ (α - δ + 1)} + \frac{| A类 | | 问 | η^{α - δ + 1}}{Γ (α - δ + 2)}} ∥ k个 ∥ ∥ x个 - 年 ∥ .

(3.5)

将不等式（3.5）与通过互换x个和年，我们得到

H（H） ({N个}_{1} (x个), {N个}_{1} (年)) \leq {\frac{| A类 | | 问 |}{Γ (α + 1)} + \frac{| A类 | | 问 |}{Γ (α - δ + 1)} + \frac{| A类 | | 问 | η^{α - δ + 1}}{Γ (α - δ + 2)}} ∥ k个 ∥ ∥ x个 - 年 ∥,

为所有人 $x个, 年 \in C ([0, 1], R（右）)$ 。这表明 ${N个}_{1}$ 是多值收缩

{Z轴}_{1} ∥ k个 ∥ = {\frac{| A类 |}{Γ (α + 1)} + \frac{| A类 | | 问 |}{Γ (α - δ + 1)} + \frac{| A类 | | 问 | η^{α - δ + 1}}{Γ (α - δ + 2)}} ∥ k个 ∥ < 1 .

第2步。我们将向操作员展示 ${N个}_{2}$ 是美国的紧凑型。这是众所周知的[[23]，命题1.2]，如果一个算子是完全连续的，并且有一个闭图，那么它就是u.s.c。因此，我们将证明 ${N个}_{2}$ 是完全连续的，并且有一个封闭图。此步骤涉及多个索赔。

索赔I ${N个}_{2}$ 将有界集映射为中的有界集 $C ([0, 1], R（右）)$ .

让 ${B类}_{第页} = {x个 \in C ([0, 1], R（右）) : ∥ x个 ∥ \leq 第页}$ 是中的有界集合 $C ([0, 1], R（右）)$ .

现在每个人 $u个 \in {N个}_{2} (x个)$ ，存在一个 $w个 \in {S公司}_{克, x个}$ 这样的话

\begin{array}{rcl} u个 (吨) & = & - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} w个 (秒) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} w个 (秒) d日 秒 - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} w个 (秒) d日 秒] . \end{array}

然后针对每个 $吨 \in [0, 1]$ ,

\begin{array}{rcl} | u个 (吨) | & \leq & | B类 | \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} | w个 (秒) | d日 秒 \\ + | B类 | | 问 | [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} | w个 (秒) | d日 秒 + \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} | w个 (秒) | d日 秒] \\ \leq & | B类 | \int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} q个 (吨) ψ (∥ x个 ∥) d日 秒 \\ + | B类 | | 问 | [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} q个 (吨) ψ (∥ x个 ∥) d日 秒 \\ + \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} q个 (吨) ψ (∥ x个 ∥) d日 秒] \\ \leq & ψ (∥ x个 ∥) ∥ q个 ∥ {\frac{| B类 |}{Γ (α + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 |}{Γ (α - δ + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 | η^{α - δ + β + 1}}{Γ (α - δ + β + 2)}}, \end{array}

这意味着

∥ u个 ∥ \leq ψ (第页) ∥ q个 ∥ {\frac{| B类 |}{Γ (α + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 |}{Γ (α - δ + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 | η^{α - δ + β + 1}}{Γ (α - δ + β + 2)}} .

因此 ${N个}_{2}$ 有界。

权利要求II ${N个}_{2}$ 将有界集映射为等连续集.

在索赔I的证明中，让 ${B类}_{第页}$ 是一个有界集，并且 $u个 \in {N个}_{2} (x个)$ 对一些人来说 $x个 \in {B类}_{第页}$ 。然后存在 $w个 \in {S公司}_{克, x个}$ 这样的话

\begin{array}{rcl} u个 (吨) & = & - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} w个 (秒) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} w个 (秒) d日 秒 - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} w个 (秒) d日 秒] . \end{array}

那么对于任何 $吨_{1}, 吨_{2} \in [0, 1]$ 具有 $吨_{1} \leq 吨_{2}$ 我们有

\begin{matrix} | u个 (吨_{1}) - u个 (吨_{2}) | \\ \leq | B类 | \int_{0}^{吨_{2}} \frac{[{(吨_{2} - 秒)}^{α + β - 1} - {(吨_{1} - 秒)}^{α + β - 1}]}{Γ (α + β)} | w个 (秒) | d日 秒 + | B类 | \int_{吨_{1}}^{吨_{2}} \frac{{(吨_{2} - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} | w个 (秒) | d日 秒 \\ + | B类 | | 问 | | 吨_{2}^{α - 1} - 吨_{1}^{α - 1} | [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} | w个 (秒) | d日 秒 + \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} | w个 (秒) | d日 秒] \\ \leq | B类 | \int_{0}^{吨_{2}} \frac{[{(吨_{2} - 秒)}^{α + β - 1} - {(吨_{1} - 秒)}^{α + β - 1}]}{Γ (α + β)} q个 (秒) ψ (第页) d日 秒 \\ + | B类 | \int_{吨_{1}}^{吨_{2}} \frac{{(吨_{2} - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} q个 (秒) ψ (第页) d日 秒 \\ + | B类 | | 问 | | 吨_{2}^{α - 1} - 吨_{1}^{α - 1} | [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} q个 (秒) ψ (第页) d日 秒 \\ + \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} q个 (秒) ψ (第页) d日 秒] . \end{matrix}

显然，上述不等式的右侧趋向于零，与 $x个 \in {B类}_{第页}$ 作为 $吨_{1} - 吨_{2} \to 0$ 因此，根据Arzelá-Ascoli定理 ${N个}_{2} : C ([0, 1], R（右）) \to P（P） (C ([0, 1], R（右）))$ 是完全连续的。

权利要求III 接下来我们证明 ${N个}_{2}$ 具有闭合图.

让 ${x个}_{n个} \to {x个}_{*}$ , ${小时}_{n个} \in {N个}_{2} ({x个}_{n个})$ 和 ${小时}_{n个} \to {小时}_{*}$ .然后我们需要证明这一点 ${小时}_{*} \in B类 ({x个}_{*})$ 。与关联 ${小时}_{n个} \in B类 ({x个}_{n个})$ ，存在 $五_{n个} \in {S公司}_{克, {x个}_{n个}}$ 使得每个 $吨 \in [0, 1]$ ,

\begin{array}{rcl} {小时}_{n个} (吨) & = & - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 五_{n个} (秒) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 五_{n个} (秒) d日 秒 - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 五_{n个} (秒) d日 秒] . \end{array}

因此，它足以表明存在 $五_{*} \in {S公司}_{克, {x个}_{*}}$ 使得每个 $吨 \in [0, 1]$ ,

\begin{array}{rcl} {小时}_{*} (吨) & = & - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 五_{*} (秒) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 五_{*} (秒) d日 秒 - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 五 (秒) d日 秒] . \end{array}

让我们考虑线性算子 $Θ : {L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）) \to C ([0, 1], R（右）)$ 由提供

\begin{array}{rcl} 五 \mapsto Θ (五) (吨) & = & - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 五 (秒) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 五 (秒) d日 秒 - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 五 (秒) d日 秒] . \end{array}

请注意

\begin{array}{rcl} ∥ {小时}_{n个} (吨) - {小时}_{*} (吨) ∥ & = & ∥ - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} (五_{n个} (u个) - 五_{*} (u个)) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} (五_{n个} (u个) - 五_{*} (u个)) d日 秒 \\ - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} (五_{n个} (u个) - 五_{*} (u个)) d日 秒] ∥ \to 0, \end{array}

作为 $n个 \to \infty$ 因此，根据引理2.6 $Θ \circ {S公司}_{克}$ 是一个闭图运算符。此外，我们还有 ${小时}_{n个} (吨) \in Θ ({S公司}_{克, {x个}_{n个}})$ .自 ${x个}_{n个} \to {x个}_{*}$ ，我们有

\begin{array}{rcl} {小时}_{*} (吨) & = & - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 五_{*} (秒) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 五_{*} (秒) d日 秒 - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 五 (秒) d日 秒] \end{array}

对一些人来说 $五_{*} \in {S公司}_{克, {x个}_{*}}$ .

因此 ${N个}_{2}$ 具有闭合图（因此具有闭合值）。因此， ${N个}_{2}$ 是紧值的。

因此，运营商 ${N个}_{1}$ 和 ${N个}_{2}$ 满足定理2.4的所有条件。因此，定理2.4的结论适用，条件（i）或条件（ii）均成立。我们证明结论（ii）是不可能的。如果 $x个 \in λ {N个}_{1} (x个) + λ {N个}_{2} (x个)$ 对于 $λ \in (0, 1)$ ，那么就存在 $五_{1} \in {S公司}_{F类, x个}$ 和 $五_{2} \in {S公司}_{克, x个}$ 这样的话

\begin{array}{rcl} x个 (吨) & = & λ {- A类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} 五_{1} (秒) d日 秒 \\ + 问 A类 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} 五_{1} (秒) d日 秒 - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} 五_{1} (秒) d日 秒]} \\ + λ^{- 1} {- B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 五_{2} (秒) d日 秒 \\ + 问 B类 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 五_{2} (秒) d日 秒 \\ - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 五_{2} (秒) d日 秒]} . \end{array}

(3.6)

通过假设（H₂)，对于所有人 $吨 \in [0, 1]$ ，我们有

\begin{array}{rcl} ∥ F类 (吨, x个) ∥ & = & H（H） (F类 (吨, x个), 0) \leq H（H） (F类 (吨, x个), F类 (吨, 0)) + H（H） (F类 (吨, 0), 0) \\ \leq & H（H） (F类 (吨, x个), F类 (吨, 0)) + ∥ F类 (吨, 0) ∥ . \end{array}

因此，对于任何 $一 \in F类 (吨, x个)$ ,

\begin{array}{rcl} | 一 | & \leq & ∥ F类 (吨, x个) ∥ \leq H（H） (F类 (吨, x个), F类 (吨, 0)) + ∥ F类 (吨, 0) ∥ \\ \leq & k个 (吨) ∥ x个 ∥ + ∥ F类 (吨, 0) ∥, \end{array}

为所有人 $吨 \in [0, 1]$ .那么我们有

\begin{array}{rcl} | x个 (吨) | & \leq & | A类 | {\int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} [k个 (秒) ∥ x个 ∥ + ∥ F类 (吨, 0) ∥] d日 秒 \\ + | 问 | | A类 | [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} [k个 (秒) ∥ x个 ∥ + ∥ F类 (吨, 0) ∥] d日 秒 \\ - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} [k个 (秒) ∥ x个 ∥ + ∥ F类 (吨, 0) ∥] d日 秒]} \\ + | B类 | {\int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} q个 (秒) ψ (∥ x个 ∥) d日 秒 \\ + | 问 | | B类 | [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} q个 (秒) ψ (∥ x个 ∥) d日 秒 \\ - \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} q个 (秒) ψ (∥ x个 ∥) d日 秒]} \\ \leq & {\frac{| A类 |}{Γ (α + 1)} + \frac{| A类 | | 问 |}{Γ (α - δ + 1)} + \frac{| A类 | | 问 | η^{α - δ + 1}}{Γ (α - δ + 2)}} (∥ k个 ∥ ∥ x个 ∥ + {F类}_{0}) \\ + {\frac{| B类 |}{Γ (α + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 |}{Γ (α - δ + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 | η^{α - δ + β + 1}}{Γ (α - δ + β + 2)}} ∥ q个 ∥ ψ (∥ x个 ∥) \\ = & {Z轴}_{1} (∥ k个 ∥ ∥ x个 ∥ + {F类}_{0}) + {Z轴}_{2} ∥ q个 ∥ ψ (∥ x个 ∥) . \end{array}

因此，

∥ x个 ∥ \leq {Z轴}_{1} (∥ k个 ∥ ∥ x个 ∥ + {F类}_{0}) + {Z轴}_{2} ∥ q个 ∥ ψ (∥ x个 ∥) .

(3.7)

现在，如果定理2.4的条件（ii）成立，则存在 $λ \in (0, 1)$ 和 $x个 \in \partial {B类}_{第页}$ 这样的话 $x个 = λ N个 (x个)$ .然后x个是（3.6）的解 $∥ x个 ∥ = M（M）$ 因此，不等式（3.7）得出

\frac{(1 - {Z轴}_{1} ∥ k个 ∥) M（M）}{{Z轴}_{1} {F类}_{0} + {Z轴}_{2} ∥ q个 ∥ ψ (M（M）)} \leq 1,

这与（3.4）相矛盾。因此， $N个$ 在中有一个固定点 $[0, 1]$ 根据定理2.4，这实际上是问题（1.1）的解决方案。这就完成了证明。 □

3.1下部半连续情况

本节致力于研究（1.1）中的映射不一定是凸值的情况。我们通过应用Leray-Shauder型的非线性选择和Bressan和Colombo的选择定理，建立了问题的存在性结果[24]对于具有可分解值的下半连续映射。在展示这个结果之前，我们回顾了一些基本概念。

让 $X（X）$ 是Banach空间的非空闭子集 $E类$ 和 $克 : X（X） \to P（P） (E类)$ 是具有非空闭值的多值运算符。 $克$ 是下半连续（l.s.c.），如果集合 ${年 \in X（X） : 克 (年) \cap B类 \neq \emptyset}$ 对任何开放集开放 $B类$ 在里面 $E类$ .让 $M（M）$ 是的子集 $[0, 1] \times R（右）$ . $M（M）$ 是 $L（左） \otimes B类$ 可测量条件 $M（M）$ 属于σ由所有形式集生成的代数 $J型 \times D类$ ，其中 $J型$ 勒贝格的测量单位是 $[0, 1]$ 和 $D类$ Borel的测量单位是ℝ.一个子集 $S公司$ 属于 ${L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）)$ 如果全部可分解 $u个, 五 \in S公司$ 和可衡量的 $J型 \subset [0, 1] = J型$ ，函数 $u个 χ_{J型} + 五 χ_{J型 - J型} \in S公司$ ，其中 $χ_{J型}$ 代表的特征函数 $J型$ .

定义3.3让Y（Y）是一个可分度量空间 $W公司 : Y（Y） \to P（P） ({L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）))$ 是一个多值运算符。我们说 $W公司$ 拥有财产（BC），如果 $W公司$ 是较低的半连续（ls.c.），并且具有非空的闭合和可分解值。

让 $F类 : [0, 1] \times R（右） \to P（P） (R（右）)$ 是具有非空紧值的多值映射。定义多值运算符 $F类 : C ([0, 1] \times R（右）) \to P（P） ({L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）))$ 与关联F类作为

F类 (x个) = {五 \in {L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）) : 五 (吨) \in F类 (吨, x个 (吨)) 对于a.e 吨 \in [0, 1]},

它被称为Nemytskii运算符，与F类.

定义3.4让 $F类 : [0, 1] \times R（右） \to P（P） (R（右）)$ 是具有非空紧值的多值函数。我们说F类如果其关联的Nemytskii算子为下半连续型（l.s.c.型）ℱ是下半连续的，并且具有非空的闭合可分解值。

引理3.5([25])

让 Y（Y） 是一个可分度量空间 $W公司 : Y（Y） \to P（P） ({L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）))$ 是满足该性质的多值算子(不列颠哥伦比亚省).然后 $W公司$ 有一个连续的选择,那就是,存在一个连续函数(单一的-宝贵的) $w个 : Y（Y） \to {L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）)$ 这样的话 $w个 (x个) \in W公司 (x个)$ 对于每个 $x个 \in Y（Y）$ .

定理3.6 假设（H）₂)，（H₄)，（H₅),并且以下条件保持不变:

（H）₆) $F类, 克 : [0, 1] \times R（右） \to P（P） (R（右）)$ 非空紧-值多值映射，以便

（a）
$(吨, x个) \mapsto F类 (吨, x个)$ , $(吨, x个) \mapsto 克 (吨, x个)$ 是 $L（左） \otimes B类$ 可测量的,
（b）
$x个 \mapsto F类 (吨, x个,)$ $x个 \mapsto 克 (吨, x个)$ 每个都是下半连续的 $吨 \in [0, 1]$ ;

然后是边值问题（1.1）上至少有一个解决方案 $[0, 1]$ .

证明它来自（H₂)，（H₄)、和（H₆)那个F类和克为l.s.c.型。那么从引理3.5来看，存在连续函数 $（f）, 克 : C ([0, 1], R（右）) \to {L（左）}^{1} ([0, 1], R（右）)$ 这样的话 $（f） (x个) \in F类 (x个)$ , $克 (x个) \in 克 (x个)$ 为所有人 $x个 \in C ([0, 1], R（右）)$ .

考虑一下这个问题

{\begin{matrix} - {D类}^{α} x个 (吨) = A类 （f） (x个 (吨)) + B类 我^{β} 克 (x个 (吨)), 2 < α \leq 三, 吨 \in [0, 1], \\ {D类}^{δ} x个 (0) = {D类}^{δ + 1} x个 (0) = 0, {D类}^{δ} x个 (1) = \int_{0}^{η} {D类}^{δ} x个 (秒) d日 秒, 0 < η < 1 . \end{matrix}

(3.8)

请注意，如果 $x个 \in A类 C^{2} ([0, 1])$ 是（3.8）的解，则x个是问题（1.1）的解决方案。现在，我们定义了两个多值运算符 ${\tilde{N个}}_{1}, {\tilde{N个}}_{2} : C ([0, 1], R（右）) ⟶ P（P） (C ([0, 1], R（右）))$ 通过

{\tilde{N个}}_{1} x个 (吨) = {\begin{matrix} - A类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α - 1}}{Γ (α)} （f） (x个 (秒)) d日 秒 \\ + A类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ - 1}}{Γ (α - δ)} （f） (x个 (秒)) d日 秒 \\ - A类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ}}{Γ (α - δ + 1)} （f） (x个 (秒)) d日 秒], \end{matrix}

和

{\tilde{N个}}_{2} x个 (吨) = {\begin{matrix} - B类 \int_{0}^{吨} \frac{{(吨 - 秒)}^{α + β - 1}}{Γ (α + β)} 克 (x个 (秒)) d日 秒 \\ + B类 问 吨^{α - 1} [\int_{0}^{1} \frac{{(1 - 秒)}^{α - δ + β - 1}}{Γ (α - δ + β)} 克 (x个 (秒)) d日 秒 \\ - B类 \int_{0}^{η} \frac{{(η - 秒)}^{α - δ + β}}{Γ (α - δ + β + 1)} 克 (x个 (秒)) d日 秒] . \end{matrix}

很明显 ${\tilde{N个}}_{1}, {\tilde{N个}}_{2} : C ([0, 1], R（右）) \to C ([0, 1], R（右）)$ 是连续的。定理3.2中的论点也保证了 ${\tilde{N个}}_{1}$ 和 ${\tilde{N个}}_{2}$ 在单值集上满足压缩映射非线性替代的所有条件[26]因此，问题（3.8）有了解决方案。 □

示例3.7考虑以下分数边值问题：

{\begin{matrix} - {D类}^{5 / 2} x个 (吨) \in 三 F类 (吨, x个 (吨)) + 我^{三 / 4} 克 (吨, x个 (吨)), 吨 \in [0, 1], \\ {D类}^{1 / 8} x个 (0) = {D类}^{9 / 8} x个 (0) = 0, {D类}^{1 / 8} x个 (1) = \int_{0}^{1 / 2} {D类}^{1 / 8} x个 (秒) d日 秒, \end{matrix}

（3.9）

哪里

F类 (吨, x个) = [- \frac{18}{{(三 + 吨)}^{2}} - \frac{罪 x个}{{(4 + 吨)}^{2}} - 2, - \frac{1}{10}], 克 (吨, x个) = [\frac{{| x个 |}^{三}}{8 ({| x个 |}^{三} + 三)}, \frac{| x个 |}{9 (| x个 | + 1)}] .

我们有

啜饮 {| u个 | : u个 \in F类 (吨, x个)} \leq 2 + \frac{1}{{(4 + 吨)}^{2}} + \frac{18}{{(三 + 吨)}^{2}}, H（H） (F类 (吨, x个), F类 (吨, \bar{x个})) \leq k个 (吨) | x个 - \bar{x个} |

具有 $k个 (吨) = \frac{1}{{(4 + 吨)}^{2}}$ 。使用给定的数据，我们发现

\begin{matrix} 问 = \frac{Γ (α - δ + 1)}{(α - δ - η^{α - δ}) Γ (α)} ≃ 1.000669, ∥ k个 ∥ = 1 / 20, \\ ∥ q个 ∥ = 1 / 8, ψ (M（M）) = 1, {F类}_{0} = 3.5, \\ {Z轴}_{1} = \frac{| A类 |}{Γ (α + 1)} + \frac{| A类 | | 问 |}{Γ (α - δ + 1)} + \frac{| A类 | | 问 | η^{α - δ + 1}}{Γ (α - δ + 2)} ≃ 1.031919, \\ {Z轴}_{2} = \frac{| B类 |}{Γ (α + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 |}{Γ (α - δ + β + 1)} + \frac{| B类 | | 问 | η^{α - δ + β + 1}}{Γ (α - δ + β + 2)} ≃ 0.264907 . \end{matrix}

很明显 ${Z轴}_{1} ∥ k个 ∥ < 1$ ，根据条件：

\frac{(1 - {Z轴}_{1} ∥ k个 ∥) M（M）}{{Z轴}_{1} {F类}_{0} + {Z轴}_{2} ∥ q个 ∥ ψ (M（M）)} > 1,

我们发现 $M（M） > {M（M）}_{1}$ ，其中 ${M（M）}_{1} ≃ 3.843119$ 因此，满足了定理3.2的所有假设。因此，定理3.2的结论适用于问题（3.9）。

作者信息

沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学非线性分析和应用数学研究小组成员。

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致谢

该项目由阿卜杜拉齐兹国王大学科学研究院长（DSR）资助，批准号为3-130/1433/HiCi。因此，作者感谢DSR的技术和财务支持。

作者信息

作者和附属机构

沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学科学院数学系，邮政信箱80203，21589
艾哈迈德·阿尔萨迪、巴希尔·艾哈迈德和哈米德·阿尔苏拉米
希腊Ioannina大学数学系，Ioannana，45110
Sotiris K Ntouyas公司

作者

艾哈迈德·阿尔萨迪
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竞争性利益

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作者的贡献

每位作者，AA、SKN、BA和HHA，对这部作品的每一部分都做出了平等的贡献，并阅读和批准了手稿的最终版本。

权利和权限

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转载和许可

关于本文

引用这篇文章

Alsadei，A.，Ntouyas，S.K.，Ahmad，B。等人。通过压缩映射的非线性替换得到分数积分包含的存在性结果。边界值问题 2014, 25 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2014-25

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收到:2013年11月18日
已接受:2014年1月10日
出版:2014年1月30日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-2770-2014-25

基于压缩映射非线性替换的分数次积分包含的存在性结果

摘要

1引言

2准备工作

3存在结果

3.1下部半连续情况

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