On uniformly univalent functions with respect to symmetrical points

Noor, Khalida Inayat

doi:10.1186/1029-242X-2014-254

研究
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出版：2014年7月22日

关于对称点的一致单叶函数

Khalida Inayat Noor公司¹

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：254(2014)引用这篇文章

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4引文
韵律学细节

摘要

在本文中，我们定义并研究了关于对称点的星形和接近凸函数的一些新的子类。这些函数将打开的单位圆盘映射到右半平面的某些圆锥区域。研究了一些基本性质、一个必要条件、系数和弧长问题。研究了这类函数在某种线性算子下的映射性质。

理学硕士：30C45、30C50。

1引言

让A类是形式的函数类

（f） (z（z）) = z（z） + \sum_{n个 = 2}^{\infty} 一_{n个} {z（z）}^{n个},

(1.1)

在开放式装置圆盘中进行分析 $E类 = {z（z） : | z（z） | < 1}$ .让S公司,K（K）, ${S公司}^{*}$ 、和C是的子类A类它们分别由单价函数、近凸函数、星形函数（相对于原点）和凸函数组成。有关最新开发、扩展和应用程序，请参阅[1–25]以及其中的参考文献。

A函数（f）在里面A类称为一致凸E类如果（f）是一个单叶凸函数，以及对于每个圆弧γ包含在中E类，带中心ξ也在E类，图像曲线 $（f） (γ)$ 是凸弧。一致凸函数类表示为 $U型 C V（V）$ .对应的类 $U型 S公司 T型$ 由以下关系定义 $（f） \in U型 C V（V）$ 如果且仅当， $z（z） {（f）}^{'} \in U型 S公司 T型$ .这是众所周知的[13]那个 $（f） \in U型 C V（V）$ 如果且仅当

| \frac{z（z） {（f）}^{″} (z（z）)}{{（f）}^{'} (z（z）)} | < ℜ {1 + \frac{z（z） {（f）}^{″} (z（z）)}{{（f）}^{'} (z（z）)}} (z（z） \in E类) .

一致星形函数和凸函数是由古德曼首先引入的[三]然后由其他不同的作者进行研究。如果 $（f）, 克 \in A类$ ，我们说（f）从属于克在里面E类，写为 $（f） ≺ 克$ 或 $（f） (z（z）) ≺ 克 (z（z）)$ ，如果存在Schwarz函数 $w个 (z（z）)$ 这样的话 $（f） (z（z）) = 克 (w个 (z（z）))$ 对于 $z（z） \in E类$ .

对于 $0 \leq β < 1$ ，班级 $对 (β)$ 由函数组成 $第页 (z（z）)$ 中的分析E类具有 $第页 (0) = 1$ 这样的话 $ℜ 第页 (z（z）) > β$ 对于 $z（z） \in E类$ 、和，具有 $β = 0$ ，我们得到了著名的类对具有正实部的Carathéodory函数。

对于 $k个 \in [0, \infty)$ ，圆锥区域 $Ω_{k个}$ 定义如下，请参见[5]:

Ω_{k个} = {u个 + 我 v（v） : u个 > k个 \sqrt{{(u个 - 1)}^{2} + {v（v）}^{2}}} .

对于固定k个, $Ω_{k个}$ 表示由虚轴依次限定的圆锥区域( $k个 = 0$ )双曲线的右分支( $0 < k个 < 1$ )和抛物线 ${v（v）}^{2} = 2 u个 - 1$ ( $k个 = 1$ ). 什么时候？ $k个 > 1$ ，该域成为椭圆内部的有界域。

我们将在以下情况下考虑此案 $k个 \in [0, 1]$ 。与域相关 $Ω_{k个}$ ，以下功能 ${第页}_{k个} (z（z）)$ , $k个 \in [0, 1]$ ，在中扮演极值函数映射的角色E类到上面 $Ω_{k个}$ :

{第页}_{k个} (z（z）) = {\begin{matrix} \frac{1 + z（z）}{1 - z（z）} & (k个 = 0), \\ 1 + \frac{2}{π^{2}} {(日志 \frac{1 + \sqrt{z（z）}}{1 - \sqrt{z（z）}})}^{2} & (k个 = 1), \\ 1 + \frac{2}{1 - {k个}^{2}} {新几内亚}^{2} [(\frac{2}{π} arccos公司 k个) 阿卡坦 \sqrt{z（z）}] & (0 < k个 < 1) . \end{matrix}

（1.2）

这些函数在E类属于这个班对.使用从属概念，我们定义了类 $对 ({第页}_{k个})$ 如下所示。

让 $第页 (z（z）)$ 分析E类具有 $第页 (0) = 1$ .然后 $第页 \in 对 ({第页}_{k个})$ 如果且仅当， $第页 ≺ {第页}_{k个}$ 在里面E类和 ${第页}_{k个} (z（z）)$ 由（1.2）给出。

圆锥域 $Ω_{k个}$ 可以概括为

Ω_{k个, β} = (1 - β) Ω_{k个} + β,

用相应的极值函数

{第页}_{k个, β} (z（z）) = (1 - β) {第页}_{k个} + β (0 \leq β < 1, k个 \in [0, 1]) .

很容易看出，解析函数 $第页 (z（z）)$ ，使用 $第页 (0) = 1$ ，属于该类 $对 ({第页}_{k个, β})$ 如果 $第页 (z（z）) ≺ {第页}_{k个, β} (z（z）)$ 在里面E类.

很容易验证 $对 ({第页}_{k个, β})$ 是一个凸集。这是众所周知的[6]那个

对 ({第页}_{k个}) \subset 对 (\frac{k个}{k个 + 1}) \subset 对,

和，用于 $第页 \in 对 ({第页}_{k个})$ ，我们有

| 参数 第页 (z（z）) | \leq σ \frac{π}{2},

哪里

σ = \frac{2}{π} 阿卡坦 \frac{1}{k个} .

(1.3)

所以我们可以写 $第页 (z（z）) = {小时}^{σ} (z（z）)$ , $小时 \in 对$ .

阿尔索

对 ({第页}_{k个, β}) \subset 对 (\frac{k个 + β}{k个 + 1}) \subset 对 .

坂口幸一[24]介绍并学习了该课程 ${S公司}_{秒}^{*}$ 关于对称点的星形函数。这个班级 ${S公司}_{秒}^{*}$ 包括关于原点的凸函数类和奇星形函数类。它被展示了[24]一个必要和充分的条件 $（f） \in {S公司}_{秒}^{*}$ 相对于对称点是单价的和星形的E类是那个吗

(\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)}) \in 对, z（z） \in E类 .

达斯和辛格[2]定义了类 $C_{秒}$ 证明了凸函数关于对称点的一个充要条件 $（f） \in C_{秒}$ 是那个吗

\frac{2 {(z（z） {（f）}^{'} (z（z）))}^{'}}{{(（f） (z（z）) - （f） (- z（z）))}^{'}} \in 对, z（z） \in E类 .

这也是众所周知的[2]那个 $（f） \in C_{秒}$ 如果并且仅当， $z（z） {（f）}^{'} \in {S公司}_{秒}^{*}$ .

我们现在定义如下。

定义1.1让 $（f） \in A类$ . The（f）据说在班上 $k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 如果并且仅当，

\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{(（f） (z（z）) - （f） (- z（z）))} \in 对 ({第页}_{k个, β}), z（z） \in E类 .

很容易看出

k个 - S公司 {T型}_{秒} (β) \subset {S公司}_{秒}^{*} \subset {S公司}_{秒}^{*}, β_{1} = \frac{k个 + β}{k个 + 1} .

此外，对于 $β = 0 = k个$ ，班级 $k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 减少到 ${S公司}_{秒}^{*}$ .

这个班级 $k个 - U型 C {V（V）}_{秒} (β)$ 定义如下。

定义1.2让 $（f） \in A类$ .然后 $（f） \in k个 - U型 C {V（V）}_{秒} (β)$ 如果且仅当 $z（z） {（f）}^{'} \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 对于 $z（z） \in E类$ .

我们注意到

k个 - U型 C {V（V）}_{秒} (β) \subset C_{秒} (β_{1}) \subset C_{秒}, β_{1} = \frac{k个 + β}{k个 + 1} .

定义1.3让 $（f） \in A类$ .然后 $（f） \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ 如果且仅当存在 $克 \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 这样的话

(\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)}) \in 对 ({第页}_{k个, β}), z（z） \in E类 .

自 $对 ({第页}_{k个, β}) \subset 对 (β_{1}) \subset 对$ , $β_{1} = \frac{k个 + β}{k个 + 1}$ 、和 $k个 - S公司 {T型}_{秒} (β) \subset {S公司}_{秒}^{*}$ ，我们注意到

k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β) \subset {K（K）}_{秒} \subset K（K）,

哪里 ${k个}_{S公司}$ 由接近凸函数和对称星形函数组成。

从定义来看，很明显 $k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ 由单叶函数组成。

对于 $k个 = 0$ , $β = 0$ 和 $（f） (z（z）) = 克 (z（z）)$ , $k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ 减少到类 ${S公司}_{秒}^{*}$ .

2初步结果

我们需要以下引理来证明我们的主要结果。

引理2.1[15]

让 $q个 (z（z）)$ 是中的凸函数 E类具有 $q个 (0) = 1$ 然后让另一个函数 $小时 : E类 \to C$ 与…在一起 $ℜ 小时 (z（z）) > 0$ .让 $第页 (z（z）)$ 在中进行分析 E类具有 $第页 (0) = 1$ 这样的话

(第页 (z（z）) + 小时 (z（z）) z（z） {第页}^{'} (z（z）)) ≺ q个 (z（z）), z（z） \in E类 .

然后 $第页 (z（z）) ≺ q个 (z（z）)$ , $z（z） \in E类$ .

引理2.2 让 $N个 (z（z）)$ , $D类 (z（z）)$ 在中进行分析 E类具有

N个 (0) = 0 = D类 (z（z）)

然后让 $D类 \in {S公司}^{*}$ 对于 $z（z） \in E类$ .然后 $\frac{{N个}^{'} (z（z）)}{{D类}^{'} (z（z）)} \in 对 ({第页}_{k个, β})$ 意味着 $\frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)} \in 对 ({第页}_{k个, β})$ 对于 $z（z） \in E类$ .

证明让

\frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)} = 第页 (z（z）) .

然后

\frac{{N个}^{'} (z（z）)}{{D类}^{'} (z（z）)} = 第页 (z（z）) + 小时 (z（z）) (z（z） {第页}^{'} (z（z）)), 小时 (z（z）) = \frac{1}{{小时}_{0} (z（z）)},

哪里

{小时}_{0} (z（z）) = \frac{z（z） {D类}^{'} (z（z）)}{D类 (z（z）)} \in 对 .

自 $\frac{{N个}^{'} (z（z）)}{{D类}^{'} (z（z）)} \in 对 ({第页}_{k个, β})$ ，我们有

\frac{{N个}^{'} (z（z）)}{{D类}^{'} (z（z）)} = (第页 (z（z）) + 小时 (z（z）) (z（z） {第页}^{'} (z（z）))) ≺ {第页}_{k个, β} (z（z）), z（z） \in E类 .

我们现在使用引理2.1，这意味着

\frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)} = 第页 (z（z）) ≺ {第页}_{k个, β} (z（z）) 英寸 E类 .

这证明了 $\frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)} \in 对 ({第页}_{k个, β})$ 对于 $z（z） \in E类$ . □

下面的引理是对[5].

引理2.3 让 $k个 \in [0, \infty)$ 和 $γ_{1}$ , $δ_{1}$ 是任意复数 $γ_{1} \neq 0$ 然后让 $ℜ {\frac{γ_{1} k个}{k个 + 1} + δ_{1}} > β$ .如果 $小时 (z（z）)$ 在中进行分析 E类, $小时 (0) = 1$ 它满足了

(小时 (z（z）) + \frac{z（z） {小时}^{'} (z（z）)}{γ_{1} 小时 (z（z）) + δ_{1}}) ≺ {第页}_{k个, β} (z（z）),

(2.1)

和 ${q个}_{k个, β} (z（z）)$ 是的解析解

({q个}_{k个, β} (z（z）) + \frac{z（z） {q个}_{k个, β}^{'} (z（z）)}{γ_{1} {q个}_{k个, β} (z（z）) + δ_{1}}) = {第页}_{k个, β} (z（z）),

然后 ${q个}_{k个, β}$ 是单价的

小时 (z（z）) ≺ {q个}_{k个, β} (z（z）) ≺ {第页}_{k个, β} (z（z）),

和 ${q个}_{k个, β} (z（z）)$ 是最具统治力的(2.1).

3课堂 $k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$

在本节中，我们将研究类的一些基本属性 $k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ .

定理3.1 让 $（f） \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ .然后是奇数函数

Ψ (z（z）) = \frac{1}{2} [（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)],

(3.1)

属于 $k个 - S公司 T型 (β)$ 在里面 E类.

特别地 $Ψ (z（z）)$ 是一个奇异的星形有序函数 $β_{1} = \frac{k个 + β}{k个 + 1}$ 在里面E类.

证明（3.1）的对数微分和简单计算结果

\begin{aligned} \frac{z（z） Ψ^{'} (z（z）)}{Ψ (z（z）)} & = \frac{1}{2} [\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)} + \frac{2 (- z（z）) {（f）}^{'} (- z（z）)}{（f） (- z（z）) - （f） (z（z）)}] \\ = \frac{1}{2} [{第页}_{1} (z（z）) + {第页}_{2} (z（z）)], 的 z（z） \in E类, {第页}_{1}, {第页}_{2} \in 对 ({第页}_{k个, β}) . \end{aligned}

自 $对 ({第页}_{k个, β})$ 是一个凸集，如下所示 $\frac{z（z） Ψ^{'} (z（z）)}{Ψ (z（z）)} \in 对 ({第页}_{k个, β})$ 因此 $Ψ \in k个 - S公司 T型 (β)$ 英寸E类. □

作为一种特殊情况，我们注意到，对于 $k个 = 0 = β$ , $\frac{1}{2} [（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)] = Ψ (z（z）) \in {S公司}^{*}$ 在里面E类，因此 $\frac{z（z） {（f）}^{'}}{Ψ} \in 对$ 。我们现在讨论的是 $（f） \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 这里我们研究在一点包含切线的行为 $w个 (θ) = （f） (第页 {e（电子）}^{我 θ})$ 到图像 $Γ_{第页}$ 圆形的 $C_{第页} = {z（z） : | z（z） | = 第页}$ , $0 \leq 第页 < 1$ , $θ \in [0, 2 π]$ ，通过函数在映射下（f）来自班级 $（f） \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ .

让

Φ (θ) = \frac{π}{2} + θ + 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ}) = 参数 \frac{\partial}{\partial θ} （f） (第页 {e（电子）}^{我 θ}),

和，用于 $θ_{2} > θ_{1}$ , $θ_{1}, θ_{2} \in [0, 2 π]$ ,

Φ (θ_{2}) - Φ (θ_{1}) = θ_{2} + 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ_{2}}) - θ_{1} - 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ_{1}}) .

现在，因为

θ + 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ}) = θ + ℜ {- 我 自然对数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})},

然后

\frac{\partial}{\partial θ} (θ + 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})) = ℜ {1 + \frac{第页 {e（电子）}^{我 θ} {（f）}^{″} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}{{（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}} .

因此

\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{\partial}{\partial θ} (θ + 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})) d日 θ = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {1 + \frac{第页 {e（电子）}^{我 θ} {（f）}^{″} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}{{（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}} d日 θ .

另一方面，

\begin{aligned} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} \frac{\partial}{\partial θ} (θ + 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})) d日 θ & = θ_{2} + 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ_{2}}) - θ_{1} - 参数 {（f）}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ_{1}}) \\ = Φ (θ_{2}) - Φ (θ_{1}) . \end{aligned}

因此，最后一个不等式左侧的积分表征了曲线切线倾角的增量 $Γ_{第页}$ 在这些点之间 $w个 (θ_{2})$ 和 $w个 (θ_{1})$ 对于 $θ_{2} > θ_{1}$ .

我们有以下必要条件 $（f） \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ .

定理3.2 让 $（f） \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ .然后,具有 $z（z） = 第页 {e（电子）}^{我 θ}$ 和 $0 \leq θ_{1} < θ_{2} \leq 2 π$ , $0 \leq β < 1$ 和 $0 \leq k个 \leq 1$ ,我们有

\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {\frac{{(z（z） {（f）}^{'} (z（z）))}^{'}}{{（f）}^{'} (z（z）)}} d日 θ > - σ π + 2 {余弦}^{- 1} {\frac{2 (1 - β)}{1 - (1 - 2 β) {第页}^{2}}} + β_{1} (θ_{2} - θ_{1}),

哪里 σ 由提供(1.3)和 $β_{1} = \frac{k个 + β}{k个 + 1}$ .

证明自 $\frac{{（f）}^{'} (z（z）)}{Ψ^{'} (z（z）)} \in 对 ({第页}_{k个, β})$ , $Ψ (z（z）) = \frac{1}{2} [（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)]$ 和 $Ψ \in k个 - U型 C V（V） (β) \subset C (β)$ .

我们可以写

{（f）}^{'} (z（z）) = {(Ψ_{1}^{'} (z（z）))}^{1 - β_{1}} {小时}^{σ} (z（z）), Ψ_{1} \in C, 小时 \in 对 (β),

这给了我们 $z（z） = 第页 {e（电子）}^{我 θ}$ , $0 \leq 第页 < 1$ , $0 \leq θ_{1} < θ_{2} \leq 2 π$ ,

\begin{aligned} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {\frac{{(z（z） {（f）}^{'} (z（z）))}^{'}}{{（f）}^{'} (z（z）)}} d日 θ = & (1 - β_{1}) \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {\frac{{(z（z） Ψ_{1}^{'} (z（z）))}^{'}}{Ψ_{1}^{'} (z（z）)}} d日 θ \\ + σ \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ \frac{2 {小时}^{'} (z（z）)}{小时 (z（z）)} d日 θ + β_{1} (θ_{2} - θ_{1}) . \end{aligned}

(3.2)

对于 $小时 \in 对 (β)$ ，我们观察到

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial θ} 参数 小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ}) & = \frac{\partial}{\partial θ} ℜ {- 我 自然对数 小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ})} \\ = ℜ {第页 {e（电子）}^{我 θ} \frac{{小时}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}{小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ})}} . \end{aligned}

因此

\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {\frac{第页 {e（电子）}^{我 θ} {小时}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}{小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ})}} d日 θ = 参数 小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ_{2}}) - 参数 小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ_{1}}),

和

\underset{小时 \in 对 (β)}{最大值} | \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {\frac{第页 {e（电子）}^{我 θ} {小时}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}{小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ})}} d日 θ | = \underset{小时 \in 对 (β)}{最大值} | 参数 小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ_{2}}) - 参数 小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ_{1}}) | .

我们可以写

\frac{1}{1 - β} [小时 (z（z）) - β] = 第页 (z（z）), 第页 \in 对,

和用于 $| z（z） | = 第页 < 1$ ，众所周知

| 第页 (z（z）) - \frac{1 + {第页}^{2}}{1 - {第页}^{2}} | \leq \frac{2 第页}{1 - {第页}^{2}} .

由此，我们

| 小时 (z（z）) - \frac{1 + (1 - 2 β) {第页}^{2}}{1 - {第页}^{2}} | \leq \frac{2 (1 - β) 第页}{1 - {第页}^{2}} .

因此小时包含在Apollonius圆中，其直径为 $\frac{1 - (1 - 2 β) 第页}{1 + 第页}$ 到 $\frac{1 + (1 - 2 β) 第页}{1 - 第页}$ 并且具有半径 $\frac{2 (1 - β) 第页}{1 - {第页}^{2}}$ .所以 $| 参数小时 (z（z）) |$ 在原点射线与圆相切的点处达到最大值，即

参数 小时 (z（z）) = \pm 罪^{- 1} (\frac{2 (1 - β) 第页}{1 - (1 - 2 β) {第页}^{2}}) .

(3.3)

从（3.3）中，我们观察到

\begin{aligned} \underset{小时 \in 对 (β)}{最大值} | \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {第页 {e（电子）}^{我 θ} \frac{{小时}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}{小时 (第页 {e（电子）}^{我 θ})}} d日 θ | & \leq 2 罪^{- 1} (\frac{2 (1 - β) 第页}{1 - (1 - 2 β) {第页}^{2}}) \\ = π - 2 {余弦}^{- 1} (\frac{2 (1 - β) 第页}{1 - (1 - 2 β) {第页}^{2}}) . \end{aligned}

(3.4)

此外，对于 $Ψ_{1} \in C$ ,

\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {1 + 第页 {e（电子）}^{我 θ} \frac{Ψ_{1}^{″} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}{Ψ_{1}^{'} (第页 {e（电子）}^{我 θ})}} d日 θ \geq 0 .

(3.5)

使用（3.2）中的（3.4）和（3.5），我们得到了所需的结果。 □

我们注意到以下特殊情况：

1
对于 $k个 = 0$ , $0 \leq θ_{1} < θ_{2} \leq 2 π$ , $z（z） = 第页 {e（电子）}^{我 θ}$ ，由定理3.2可知
$\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {1 + \frac{z（z） {（f）}^{″} (z（z）)}{{（f）}^{'} (z（z）)}} d日 θ > - π (z（z） \in E类) .$

这是（f）接近凸面（因此为单价）E类; 参见[7]. 这也表明 $S公司 {T型}_{秒} (β) \subset K（K）$ .

2
对于 $k个 = 1$ $\int_{θ_{1}}^{θ_{2}} ℜ {1 + \frac{z（z） {（f）}^{″} (z（z）)}{{（f）}^{'} (z（z）)}} d日 θ > - \frac{π}{2}$ .
三。
什么时候？ $k个 \in [0, 1]$ ，很明显 $σ \in (0, 1]$ 在这种情况下，类 $k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 由阶的强贴近凸函数组成σ在Pommerenke的意义上[20,21].

定理3.3（整体表示）

让 $（f） \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ .然后

{（f）}^{'} (z（z）) = \frac{1}{2} 第页 (z（z）) 经验 \int_{0}^{z（z）} \frac{1}{吨} [第页 (吨) + 第页 (- 吨) - 2] d日 吨,

哪里 $第页 \in 对 ({第页}_{k个, β})$ , $z（z） \in E类$ .

证明自 $（f） \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ ，我们可以写

\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)} = 第页 (z（z）), 第页 \in 对 ({第页}_{k个, β}) .

这给了我们

\frac{2 {[（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)]}^{'}}{（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)} - \frac{1}{z（z）} = \frac{1}{2} [第页 (z（z）) - 第页 (- z（z）) - 2]

当我们积分时，结果如下。 □

什么时候？ $k个 = 0$ , $β = 0$ ，我们获得了该类的结果 ${S公司}_{秒}^{*}$ 在中给出[5].

我们现在学习这门课 $k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 在某个积分算子下。

定理3.4 让 $克 \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 让我们 $米 = 1, 2, 三, \dots, G公司$ 由定义

G公司 (z（z）) = \frac{米 + 1}{2 {z（z）}^{米}} \int_{0}^{z（z）} 吨^{米 - 1} {克 (吨) - 克 (- 吨)} d日 吨 .

(3.6)

然后 $G公司 (z（z）)$ 属于 $k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 在里面 E类.

证明让

J型 (z（z）) = \int_{0}^{z（z）} 吨^{米 - 1} \frac{克 (吨) - 克 (- 吨)}{2} d日 吨 .

自 $克 \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ , $\frac{1}{2} {克 (z（z）) - 克 (- z（z）)} \in k个 - S公司 T型 (β) \subset {S公司}^{*} (β_{1}) \subset {S公司}^{*}$ 、和 $β_{1} = \frac{k个 + β}{k个 + 1}$ 因此可以很容易地验证 $J型 (z（z）)$ 是 $(米 + 1)$ -情人节明星E类.

我们可以将（3.6）写成

{z（z）}^{米} G公司 (z（z）) = (米 + 1) J型 (z（z）),

对数微分，我们有

\frac{z（z） {G公司}^{'} (z（z）)}{G公司 (z（z）)} = \frac{z（z） {J型}^{'} (z（z）) - 米 J型 (z（z）)}{J型 (z（z）)} = \frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)},

比如，在哪里 $N个 (0) = D类 (0) = 0$ 和D类是 $(米 + 1)$ -情人节般的明星。

让

\frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)} = 小时 (z（z）) .

然后

\begin{aligned} \frac{{N个}^{'} (z（z）)}{{D类}^{'} (z（z）)} & = 小时 (z（z）) + \frac{z（z） {小时}^{'} (z（z）)}{{小时}_{0} (z（z）)}, {小时}_{0} (z（z）) = \frac{z（z） {D类}^{'} (z（z）)}{D类 (z（z）)} \in 对 \\ = 小时 (z（z）) + {H（H）}_{0} (z（z）) (z（z） {小时}^{'} (z（z）)), {H（H）}_{0} = \frac{1}{{小时}_{0}} \in 对 . \end{aligned}

(3.7)

自

\begin{aligned} \frac{{N个}^{'} (z（z）)}{{D类}^{'} (z（z）)} & = \frac{{(z（z） {小时}^{'} (z（z）))}^{'} - 米 {J型}^{'} (z（z）)}{{J型}^{'} (z（z）)} \\ = {\frac{{(z（z） {J型}^{'} (z（z）))}^{'}}{{J型}^{'} (z（z）)} - 米} \in 对 ({第页}_{k个, β}) . \end{aligned}

我们现在应用引理2.2来获得

\frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)} = \frac{z（z） {G公司}^{'} (z（z）)}{G公司 (z（z）)} \in 对 ({第页}_{k个, β}), z（z） \in E类 .

这证明了 $G公司 \in k个 - S公司 T型 (β)$ 在里面E类. □

定理3.5 让 $（f）, 克 \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ 然后让 F类 由以下积分算子定义:

F类 (z（z）) = (γ + \frac{1}{δ}) {z（z）}^{1 - \frac{1}{δ}} \int_{0}^{z（z）} 吨^{\frac{1}{δ} - 2} {[\frac{（f） (吨) - （f） (- 吨)}{2}]}^{\frac{1}{1 + γ}} [\frac{克 (吨) - 克 (- 吨)}{2}] d日 吨,

(3.8)

哪里 $z（z） \in E类$ , $δ > 0$ , $γ \geq 0$ 和 $[\frac{k个 (1 + γ)}{k个 + 1} + (\frac{1}{δ} - 1)] > β$ .然后 $F类 (z（z）)$ 属于 $k个 - S公司 T型 (β)$ 对于 $z（z） \in E类$ .

什么时候？ $克 (z（z）) = z（z）$ , $γ = 0$ ，我们得到了Bernardi算子的一个推广形式；参见[1]. 也适用于 $克 (z（z）) = z（z）$ , $γ = 0$ 、和 $δ = \frac{1}{2}$ ，我们有Libera研究的著名积分算子[11]who表明它保留了凸性、星形和接近凸性的几何特性。

证明让 $\frac{（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)}{2} = Ψ_{1} (z（z）)$ , $\frac{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)}{2} = Ψ_{2} (z（z）)$ .然后 $Ψ_{1}, Ψ_{2} \in k个 - S公司 T型 (β)$ 在里面E类。我们可以将（3.8）写成

F类 (z（z）) = (γ + \frac{1}{δ}) {z（z）}^{1 - \frac{1}{δ}} \int_{0}^{z（z）} 吨^{\frac{1}{δ} - 2} {(Ψ_{1} (吨))}^{\frac{1}{1 + γ}} (Ψ_{2} (吨)) d日 吨 .

(3.9)

对数微分（3.9） $第页 (z（z）) = \frac{z（z） {F类}^{'} (z（z）)}{F类 (z（z）)}$ ，我们有

\frac{γ}{1 + γ} \frac{z（z） Ψ_{1}^{'}}{Ψ_{1} (z（z）)} + \frac{1}{1 + γ} \frac{z（z） Ψ_{2}^{'}}{Ψ_{2} (z（z）)} = 第页 (z（z）) + \frac{z（z） {第页}^{'} (z（z）)}{(1 + γ) 第页 (z（z）) + (\frac{1}{δ} - 1)} .

(3.10)

自起，针对 $我 = 1, 2$ , $Ψ_{我} \in k个 - S公司 T型 (β)$ , $\frac{z（z） Ψ_{1}^{'} (z（z）)}{Ψ_{1}} = {小时}_{1} (z（z）)$ , $\frac{z（z） Ψ_{2}^{'} (z（z）)}{Ψ_{2}} = {小时}_{2} (z（z）)$ 两者都属于 $对 ({第页}_{k个, β})$ 在里面E类、和 $对 ({第页}_{k个, β})$ 是一个凸集。因此

(\frac{γ}{1 + γ} {小时}_{1} (z（z）) + \frac{1}{1 + γ} {小时}_{2} (z（z）)) \in 对 ({第页}_{k个, β}), z（z） \in E类 .

(3.11)

从（3.10）和（3.11）可以看出

(第页 (z（z）) + \frac{z（z） {第页}^{'} (z（z）)}{(1 + γ) 第页 (z（z）) + (\frac{1}{δ} - 1)}) ≺ {第页}_{k个, β} (z（z）) .

我们现在应用引理2.3，它给出了我们

第页 (z（z）) ≺ {q个}_{k个, β} (z（z）) ≺ {第页}_{k个, β} (z（z）) .

因此 $F类 \in k个 - S公司 T型 (β)$ 并且证明是完整的。 □

4课堂 $k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$

这里我们将研究类的一些属性 $k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ 其中包括k个-一致逼近凸函数。

让 $L（左） (第页, （f）)$ 表示圆图像的长度 $| z（z） | = 第页$ 在下面（f）。我们证明了以下内容。

定理4.1 让 $（f） \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ .然后,对于 $0 < 第页 < 1$ , $k个 \in [0, 1]$ ,

L（左） (第页, （f）) = O（运行） (1) {(\frac{1}{1 - 第页})}^{σ - β_{1}}, β_{1} < \frac{σ}{2},

哪里 $β_{1} = \frac{k个 + β}{k个 + 1}$ 和 σ 由提供(1.3),和 $O（运行） (1)$ 是一个常数，仅取决于 k个,β.

证明对于 $（f） \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ ，我们可以写

z（z） {（f）}^{'} (z（z）) = Ψ (z（z）) {小时}^{σ} (z（z）), 小时 \in 对, Ψ \in {S公司}^{*} (β_{1}),

（4.1）

和 $Ψ (z（z）) = {克 (z（z）) - 克 (- z（z）)}$ , $克 \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β)$ .

自 $Ψ \in {S公司}^{*} (β_{1})$ 如果是奇数，则存在一个奇数星形函数 $Ψ_{1} (z（z）)$ 这样的话

Ψ (z（z）) = z（z） {(\frac{Ψ_{1} (z（z）)}{z（z）})}^{1 - β_{1}} = z（z） {(\frac{Ψ_{1} (z（z）)}{z（z）})}^{\frac{1 - β_{1}}{k个 + 1}} .

因此 $z（z） = 第页 {e（电子）}^{我 θ}$ ,

L（左） (第页, （f）) = \int_{0}^{2 π} | z（z） {（f）}^{'} (z（z）) | d日 θ = \int_{0}^{2 π} | {z（z）}^{β_{1}} {(Ψ_{1} (z（z）))}^{1 - β_{1}} {小时}^{σ} (z（z）) | d日 θ,

利用霍尔德不等式，我们得到

L（左） (第页, （f）) \leq 2 π {第页}^{β_{1}} {(\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | Ψ_{1} (z（z）) |^{(1 - β) (\frac{z（z）}{z（z） - σ})} d日 θ)}^{\frac{2 - σ}{z（z）}} {(\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | 小时 (z（z）) |^{2} d日 θ)}^{\frac{σ}{2}} .

(4.2)

对于 $小时 \in 对$ ，这是众所周知的[20]那个

\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | 小时 (z（z）) |^{2} d日 θ \leq \frac{1 + 三 {第页}^{2}}{1 - {第页}^{2}} .

(4.3)

使用（4.3）和（4.2）中奇数星形函数的从属关系，如下所示

\begin{aligned} L（左） (第页, （f）) & \leq C (β_{1}, σ) {(\frac{1}{1 - {第页}^{2}})}^{[(1 - β_{1}) (\frac{2}{2 - σ}) - 1] {[\frac{1 + 三 {第页}^{2}}{1 - 第页}]}^{\frac{σ}{2}}} \\ = O（运行） (1) {(\frac{1}{1 - 第页})}^{σ - β_{1}}, \end{aligned}

哪里C和 $O（运行） (1)$ 常量仅取决于 $β_{1}$ 和σ这就完成了证明。 □

我们现在讨论的是 $（f） \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ .

定理4.2 让 $（f） \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ 并由(1.1).然后

一_{n个} = O（运行） (1) {n个}^{σ - β_{1} - 1}, n个 \geq 1, β_{1} < \frac{σ}{2},

哪里 $O（运行） (1)$ 是一个常数，仅取决于 σ 和 $β_{1}$ 和 σ, $β_{1}$ 如定理所示4.1、。

证明对于 $z（z） = 第页 {e（电子）}^{我 θ}$ , $n个 \geq 1$ ，柯西定理给了我们

\begin{aligned} n个 | 一_{n个} | & = \frac{1}{2 π {第页}^{n个 + 1}} | \int_{0}^{2 π} z（z） {（f）}^{'} (z（z）) {e（电子）}^{- 我 n个 θ} d日 θ | \\ \leq \frac{1}{2 π {第页}^{n个 + 1}} \int_{0}^{2 π} | z（z） {（f）}^{'} (z（z）) | d日 θ \\ = \frac{1}{2 π {第页}^{n个}} L（左） (第页, （f）) . \end{aligned}

使用 $第页 = (1 - \frac{1}{n个})$ ，我们使用定理4.1并获得所需结果。 □

定理4.3 让 $（f） \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ 然后让 F类 由定义

F类 (z（z）) = \frac{米 + 1}{2 {z（z）}^{米}} \int_{0}^{z（z）} 吨^{米 - 1} {（f） (吨) - （f） (- 吨)} d日 吨 .

（4.4）

然后 $F类 \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ 在里面 E类.那就是,班级 $k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ 保留在积分算子下(4.4).

证明自 $（f） \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ ，我们可以写

{\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)}} \in 对 ({第页}_{k个, β}), 克 \in k个 - S公司 {T型}_{秒} (β) \subset {S公司}_{S公司}^{*} (β_{1}) .

让 $G公司 (z（z）) = \frac{1}{2} {克_{1} (z（z）) - 克_{1} (- z（z）)}$ 并由（3.5）定义。根据定理3.4， $克_{1} \in k个 - S公司 T型 (β)$ 和 $G公司 \in k个 - {S公司}_{秒} T型 (β) \subset {S公司}_{秒}^{*} (β_{1})$ .让 $G公司 = z（z） {G公司}_{1}^{'}$ .然后我们可以写

{G公司}_{1}^{'} (z（z）) = \frac{1}{2} {[z（z） 克_{1} (z（z）) - 克_{1} (- z（z）)]}^{'}, {G公司}_{1} \in k个 - U型 C {V（V）}_{秒} (β) .

因此，从（4.4）和 $克 = z（z）克_{1}^{'}$ , $克_{1} \in C_{秒} (β_{1})$ ，我们有

\begin{aligned} \frac{2 {F类}^{'} (z（z）)}{{[克_{1} (z（z）) - 克_{1} (- z（z）)]}^{'}} = & \frac{{z（z）}^{米} {（f） (z（z）) - （f） (- z（z）)} - 米 \int_{0}^{z（z）} 吨^{米 - 1} {（f） (吨) - （f） (- 吨)} d日 吨}{{z（z）}^{米} {克_{1} (z（z）) - 克_{1} (- z（z）)} - 米 \int_{0}^{z（z）} 吨^{米 - 1} {克_{1} (吨) - 克_{1} (- 吨)} d日 吨} \\ = & \frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)}, \end{aligned}

说。我们注意到 $N个 (0) = D类 (0) = 0$ 、和用于 $克_{1} \in C_{S公司} (β_{1})$ ,

\begin{aligned} \frac{{(z（z） {D类}^{'} (z（z）))}^{'}}{{D类}^{'} (z（z）)} & = 米 + \frac{{z（z） {[克_{1} (z（z）) - 克_{1} (- z（z）)]}^{'}}^{'}}{{克_{1} (z（z）) - 克_{1} (- z（z）)}^{'}} \\ = 米 + {小时}_{1} (z（z）), {小时}_{1} \in 对 (β_{1}) . \end{aligned}

自 $对 (β_{1})$ 是凸集， $D类 \in C_{秒} (β_{1}) \subset {S公司}^{*}$ 在里面E类因此，我们

\frac{{N个}^{'} (z（z）)}{{D类}^{'} (z（z）)} = \frac{1}{2} [\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{{[克_{1} (z（z）) - 克_{1} (- z（z）)]}^{'}} + \frac{2 (- z（z）) {（f）}^{'} (- z（z）)}{{[克_{1} (- z（z）) - 克_{1} (z（z）)]}^{'}}] \in 对 ({第页}_{k个, β}) .

现在，使用引理2.2，它如下所示

\frac{N个 (z（z）)}{D类 (z（z）)} = \frac{2 {F类}^{'} (z（z）)}{{(克_{1} (z（z）) - 克_{1} (- z（z）))}^{'}} \in 对 ({第页}_{k个, β}) 的 z（z） \in E类 .

这证明了 $F类 \in k个 - U型 {K（K）}_{S公司} (β)$ 在里面E类. □

下面我们研究上述结果的部分逆。

定理4.4 让 $(\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)}) ≺ {第页}_{k个} (z（z）)$ 在里面 E类 然后让

{F类}_{1} (z（z）) = \frac{1}{1 + 米} {z（z）}^{1 - 米} {({z（z）}^{米} （f） (z（z）))}^{'}, 米 = 1, 2, 三, \dots .

（4.5）

然后 ${F类}_{1} \in {K（K）}_{秒}$ 对于 $| z（z） | < {第页}_{1}$ ,哪里

{第页}_{1} = {\frac{米 + 1}{(2 - β_{1}) + \sqrt{{(z（z） - β_{1})}^{2} + (米 + 1) (米 - 1 + 2 β_{1})}}}, β_{1} = \frac{k个 + β}{k个 + 1} .

(4.6)

证明我们需要以下众所周知的结果 $第页 \in 对 (α)$ , $0 \leq α < 1$ ; 参见[4]:

\frac{1 - (1 - 2 α) 第页}{1 + 第页} \leq | 第页 (z（z）) | \leq \frac{1 + (1 - 2 α) 第页}{1 - 第页},

(4.7)

| {第页}^{'} (z（z）) | \leq \frac{2 [ℜ 第页 (z（z）) - α]}{1 - {第页}^{2}} .

(4.8)

自 $（f） \in k个 - U型 {K（K）}_{秒} (β)$ ，存在 $克 \in {S公司}_{秒}^{*} (β_{1})$ 这样，对于 $z（z） \in E类$ .

(\frac{2 z（z） {（f）}^{'} (z（z）)}{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)}) = 第页 (z（z）), 第页 \in 对 ({第页}_{k个}) \subset 对 (α), α = \frac{k个}{k个 + 1} .

从（4.5）开始，我们有

{F类}_{1} (z（z）) = \frac{1}{1 + 米} [米 （f） (z（z）) + z（z） {（f）}^{'} (z（z）)],

这给了我们

\begin{aligned} \frac{2 z（z） {F类}_{1}^{'} (z（z）)}{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)} & = \frac{1}{米 + 1} [\frac{2 米 {（f）}^{'} (z（z）)}{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)} + \frac{2 z（z） {(z（z） {（f）}^{'} (z（z）))}^{'}}{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)}] \\ = \frac{1}{米 + 1} [米 第页 (z（z）) + z（z） {第页}^{'} (z（z）) + 第页 (z（z）) 小时 (z（z）)], \end{aligned}

哪里

小时 (z（z）) = \frac{z（z） Ψ^{'} (z（z）)}{Ψ (z（z）)} \in 对 (β_{1}), Ψ (z（z）) = 克 (z（z）) - 克 (- z（z）) .

现在，使用（4.7）和（4.8），我们有

\begin{aligned} ℜ {\frac{2 z（z） {F类}_{1}^{'} (z（z）)}{克 (z（z）) - 克 (- z（z）)}} & \geq \frac{(ℜ 第页 (z（z）) - α)}{1 + 米} {米 + \frac{1 - (1 - 2 β_{1}) 第页}{1 + 第页} - \frac{2 第页}{1 - {第页}^{2}}} \\ = \frac{ℜ 第页 (z（z）) - α}{1 + 米} [\frac{T型 (第页)}{1 - {第页}^{2}}], \end{aligned}

(4.9)

哪里

T型 (第页) = (米 + 1) - 2 (2 - β_{1}) 第页 + (- 米 - 2 β_{1} + 1) {第页}^{2} .

我们注意到 $T型 (0) = 1 + 米 > 0$ 和 $T型 (1) = - 三 < 0$ 。所以存在 ${第页}_{1} \in (0, 1)$ 。（4.9）的右侧为正 $| z（z） | < {第页}_{1}$ ，其中 ${第页}_{1}$ 由（4.6）给出。这意味着 $F类 \in {K（K）}_{秒}$ 对于 $| z（z） | < {第页}_{1}$ 证明是完整的。 □

我们有以下特殊情况。

1
对于 $k个 = 0 = β$ , $（f） \in {K（K）}_{秒}$ .然后 ${F类}_{1}$ ，由（4.5）定义属于 ${K（K）}_{秒}$ 对于 $| z（z） | < {第页}_{0} = \frac{1 + 米}{2 + \sqrt{三 + 米^{2}}}$ .
2
什么时候？ $米 = 1$ 和 $β_{1} = 0$ （即， $k个 = 0 = β$ )，然后 ${F类}_{1} (z（z）) = \frac{{(z（z）（f） (z（z）))}^{'}}{2}$ 属于的同一类 $| z（z） | < \frac{1}{2}$ 利文斯顿证明了这一结果[12]对于凸函数和星形函数。

工具书类

伯纳迪SD：凸和星形单叶函数。 事务处理。美国数学。Soc公司。1969,135:429-446.
第条数学科学网数学谷歌学者
Das RN、Singh P：关于Schlicht映射的子类。 印度J.Pure Appl。数学。1977,8:864-872.
数学科学网数学谷歌学者
古德曼AW：关于一致星形函数。 数学杂志。分析。申请。1991,155页：364-370. 10.1016/0022-247X（91）90006-L
第条数学科学网数学谷歌学者
古德曼AW：单价函数，第一卷和第二卷。多边形出版社，华盛顿；1983
数学谷歌学者
假名S：与圆锥曲线有关的微分从属关系。 数学杂志。分析。申请。2006,317(2):650-658. 2016年10月10日/j.jmaa.2005.09.034
第条数学科学网数学谷歌学者
假名S：二次曲线域的微分从属技术。 国际数学杂志。数学。科学。2003年，38:2389-2400.
第条数学科学网数学谷歌学者
Kanas S、Lecko A、Moleda A：Sakaguchi引理的某些推广。 叶科学。理工大学。1987,38:35-42.
数学科学网数学谷歌学者
Kanas S、Sugawa T：关于椭圆内部的共形表示。 安·阿卡德。科学。芬恩。，数学。2006,31:329-348.
数学科学网数学谷歌学者
Kanas S、Wisniowska A：二次曲线区域和k-一致凸性。 J.计算。申请。数学。1999,105:327-336. 10.1016/S0377-0427（99）00018-7
第条数学科学网数学谷歌学者
卡普兰W：近凸Schlicht函数。 密歇根州数学。J。1952,1:169-185.
第条数学科学网数学谷歌学者
Libera RJ：一些正则单叶函数类。 程序。美国数学。Soc公司。1965,16:755-758之间。10.1090/S0002-9939-1965-0178131-2
第条数学科学网数学谷歌学者
利文斯顿AE：关于某些解析函数的单叶半径。 程序。美国数学。Soc公司。1966,17:352-359之间。10.1090/S0002-9939-1966-0188423-X号
第条数学科学网数学谷歌学者
马伟（Ma W）、明达（Minda D）：一致凸函数。 安·波尔。数学。1992,57(2):165-175.
数学科学网数学谷歌学者
马伟（Ma W）、明达（Minda D）：一致凸函数II。 安·波尔。数学。1992,58(3):275-285.
数学科学网数学谷歌学者
Miller SS，Mocanu PT公司：Briot-Bouquet微分方程的单叶解。 J.差异。埃克。1985,56:297-308. 10.1016/0022-0396(85)90082-8
第条数学科学网数学谷歌学者
Noor KI、Noor MA：与二次曲线域相关的高阶贴近凸函数。 申请。数学。信息科学。2014,8(5):2455-2463. 10.12785/amis/080541
第条数学科学网谷歌学者
Noor，KI，Ahmad，QZ，Noor，MA：关于在圆锥区域中由分数导数定义的解析函数的一些子类。申请。数学。信息科学。(2014/15)
Noor KI、Fayyaz R、Noor MA：一些类 k个 -具有有界半径旋转的一致函数。 申请。数学。信息科学。2014,8（2）：1-7。
数学科学网谷歌学者
Noor，KI，Noor，MA，Murtaza，R：分析函数某些子类的应用的包含属性。申请。数学。信息科学。(2014/15)
Pommerenke C：关于近凸解析函数。 事务处理。美国数学。Soc公司。1965,14:176-186.
第条数学科学网数学谷歌学者
波默伦克C:关于星形函数和近凸函数。 程序。伦敦。数学。Soc公司。1963,三：290-304.
第条数学科学网数学谷歌学者
骑行F：关于与抛物线区域相关的星形函数。 玛丽亚·居里大学奥斯卡分校。A类1991,45:117-122.
数学科学网数学谷歌学者
骑行F：一致凸函数和相应的一类星形函数。 程序。美国数学。Soc公司。1993,118:189-196. 10.1090/S0002-9939-1993-1128729-7
第条数学科学网数学谷歌学者
坂口庆K：关于某个单叶映射。 数学杂志。Soc.Jpn.公司。1959,11:72-73. 10.2969/jmsj/0110072
第条数学科学网数学谷歌学者
斯坦基维茨J：关于函数相对于对称点呈星形的一些注释。玛丽亚·居里大学（Ann.Univ.Marie Curie-Skłodowska）。 第节。A类1965,19:53-59.
数学科学网谷歌学者

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致谢

作者感谢编辑和匿名裁判的宝贵建议。作者感谢巴基斯坦COMSATS信息技术研究所所长SM Junaid Zaidi博士为我们提供了良好的研究和学术环境。本研究得到了HEC NRPU项目的支持，项目编号：20-1966/R&D/11-2553，标题为几何函数理论与应用学术卓越研究单位。

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巴基斯坦伊斯兰堡帕克路COMSATS信息技术学院数学系
Khalida Inayat Noor公司

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关于本文

引用这篇文章

Noor，K.I.关于对称点的一致单叶函数。J不平等申请 2014，254（2014年）。https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-254

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收到:2014年3月28日
认可的:2014年6月13日
出版:2014年7月22日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-254