本文将符号图和Petri网（PN）的概念结合起来，引入了一个新的概念 签名Petri网 （SiPN）。 哈拉里和卡特赖特提出的符号图中的平衡性可以用来研究和分析社交网络。 平衡性的概念通过SiPN扩展到Petri网，因为尚未为现有Petri网定义这种概念。 定义了一种平衡SiPN，并给出了其特性。 提供了一个示例，该示例利用新引入的SiPN位置分配标志的概念来确定银行客户发起的在线交易是否被银行拒绝或批准。 最后，讨论了SiPN在消息传输系统和生产单元中的应用。 这些概念清楚地表明了所提出的SiPN方法的优势。
1.简介 Petri网最初是在Carl Adam Petri的[ 1 ]1962年提交的论文。 然而，使用他给出的Petri网的经典定义很难对复杂过程进行建模，因此，Petri网被提出了许多扩展和限制[ 2 – 9 ]. 在图论领域，Harary[ 10 ]引入了一个有符号图，并给出了平衡有符号图的特征。 符号图的概念已用于[ 11 ]用于预测在线社交网络中的积极和消极联系，并使用平衡度确定社交模型的稳定性[ 12 ]. 尽管文献中给出了PN的各种应用[ 4 , 13 , 14 ]Petri网理论中不存在被建模系统的平衡性概念。 作者引入了一个带有负标记的改进PN模型，分别用于自动推理和表示批处理活动中的时间约束[ 15 , 16 ].
图理论和Petri网理论分别以平衡性和负标记的形式在图论和Petri网上的这些发展促使我们弥合Petri网和有符号图之间的差距，并引入了一个新的概念： 签名Petri网 ( SiPN公司 ). SiPN只不过是一个二分有符号有向图，其动力学以局部标记的形式与之相关。 签名图中有各种概念，有助于对社会交互进行建模，并检查所建模系统的稳定性。 然而，由于有符号图的非动态特性，系统需要使用多个有符号图进行建模。 因此，我们有兴趣引入一种称为签名Petri网的Petri网扩展，它可以通过单个SiPN而不是多个签名图来表示一组个体之间所有可能的交互。 SiPN可用于表示有符号图的各种配置，方法是通过触发转换而改变SiPN的标记。 这表明了所提出的研究相对于有符号图的优势。 我们无法区分PN位置中存在的令牌。为了克服这一限制，SiPN中存在两种类型的令牌（正令牌和负令牌），这使得通过不同类型的令牌来表示某个位置的公共资源/进程变得更加容易。 SiPN中存在的正弧和负弧使得将有符号图的平衡概念扩展到Petri网成为可能，Petri网可用于对社交网络进行建模，并使用单个SiPN而不是多个有符号图对其进行研究。
因此，SiPN是PN的扩展，它采用了有符号图和PN的特性，并且比两者都有优势。 此外，给出了一个示例，以证明第节中建议的研究的优点 2.2 它使用了新引入的将符号分配给SiPN位置的概念。
本文的其余部分结构如下。 在节中 2 介绍了SiPN及其相关术语。 给出了一种将符号分配给SiPN顶点的方法以及一个示例，以显示使用SiPN的优势。 在节中 三 定义了平衡SiPN并给出了其特性。 在节中 4 ，我们将提出的SiPN应用于对消息传输系统和生产单元进行建模。
1.1. 有符号图形 A类 有符号图 是有序对 , 哪里 称为S和 是为每条边指定正负号的函数。
一个有符号的图描述了一种关系和它的对立面都可能发生的情况或结构，例如，在社会关系中“喜欢”和“不喜欢”，在交流中简单地回答“是”或“否”。 有符号图被广泛用于表示个人群体之间的人际关系，研究国家之间的国际关系，以及研究十字路口交通控制问题的稳定性。
1.2. Petri网 本文采用的Petri网定义是Jensen给出的[ 2 ].
A类 Petri网 （PN）是一个5元组 , 哪里 (1) 是有限的，非空的位置集 (2) 是有限的非空转换集 (3) (4) , 哪里 是非负整数的集合，分别称为负关联函数和正关联函数 (5) 这样的话 , 和 这样的话 (6) 是初始标记，给出了代币在各个地方的初始分布
令牌在这些地方的任意分布称为 标记 由提供
表示距离位置的弧数 到过渡 和 表示过渡的弧数 放置 . 一个地方的弧数 （或过渡 ) 过渡到过渡 （或地点 ) 也可以被视为 弧线的 （或 ).
没有初始标记的Petri网称为 Petri网结构 .
具有所有权重为1的弧的Petri网称为 普通Petri网 .
一对地方 和过渡 称为自循环，如果 是的输入和输出位置 . 没有任何自循环的Petri网称为 纯Petri网 .
一个PN 被称为 子Petri网 PN的 如果 (1) (2) (3) (4) (5)
2.签名Petri网 让 是PN。Petri网的弧集 定义为
A类 签名Petri网 （SiPN）定义为3元组 , 哪里 (1) 是Petri网结构。 (2) , 哪里 是的弧集 . 根据符号，边分别称为正边或负边 或 使用函数分配给它 . (3) 是SiPN的初始标记，其中 （a） 给出了阳性标记在位置的初始分布，称为SiPN的阳性标记。 （b） 给出了负标记在这些地方的初始分布，称为SiPN的负标记。
因此，SiPN中的标记可以表示为向量 具有 这样的话 .
在SiPN的图形表示中，正负弧分别用实线和虚线表示。 正标记由实心圆表示，负标记由开放圆表示，如图所示 1 .
据说SiPN 消极的 如果它的所有弧都是负号。
这个 基础图 SiPN的 , 记为 , 是弧的方向 已删除。
A类 完成SiPN 是一个SiPN，其中每个位置转换对通过双向弧（正弧或负弧）连接。
A类 路径（循环） 在SiPN中 是其基础图形中的路径（循环） .
这个 道路标志 在SiPN中 定义为路径上圆弧符号的乘积。
这个 循环符号 在SiPN中 定义为循环上圆弧符号的乘积。 如果该乘积为正，则该循环称为 正循环 、和 负循环 如果产品是阴性的。
2.1. 签名Petri网的执行规则 我们知道，Petri网的执行取决于标记在其所在位置的分布。 执行是通过触发转换来进行的。 如果启用转换，则可能会触发转换。
过渡 在SiPN中 是 启用 在标记处 如果
启用的转换 可以 火 在 假如 这样的话
开火后，它会产生一个新的标记 根据规则给出：
我们这么说 可以从访问 然后写 . 我们仅将正（负）标记的移动限制为正（负”）弧。
备注1。 始终启用源转换，而从不在SiPN中启用汇转换。 在图中 1 ，转换 在标记时启用 并且可以开火。 让我们借助更多示例来看看SiPN的执行。 在图中 2 , 和 两者都在启用 . 点火 在 生成新标记 , 点火时 在 产生标记 . 在图中 三 , 已启用，而 不是。 可以在 给一个新的标记 .
2.2. 将标志分配给SiPN的顶点 SiPN中的顶点也可以指定符号。过渡是由其上的弧符号（传入和传出）的乘积指定的符号。在图中 1 ，所有过渡都是正号。
位置可以通过以下两种方式之一成为指定的标志： (1) 关于圆弧 符号通过取该位置上的入射弧（传入弧和传出弧）的乘积来指定给该位置。 在图中 1 ，个位置 和 符号为正，而 和 符号中为负数。 (2) 关于标记 。符号通过在给定标记中取该位置上标记符号的乘积来分配给一个位置。 没有标记的地方被认为是正的。 在图中 1 ，个位置 符号为正，而 与以下内容负号 .
备注2。 将符号指定给与圆弧相关的位置并没有利用PN的最重要特性，即其动态特性。 因此，在整篇论文中都使用了为标记位置指定标志的方法。 举了一个例子，利用地点标志的概念来确定银行客户发起的在线交易是被银行批准还是拒绝。 此交易基于银行发送给客户注册手机号码的一次性密码（OTP）验证。 这种情况由SiPN建模，如图所示 4 . 当客户进入OTP时，启动过渡 发生。 The number of times thatfires等于OTP中的位数。 点火时 , 就地生成正标记 表示客户输入的数字。 然后将输入的数字与银行系统中存在的OTP（银行发送）的相应数字进行比较，以验证该数字。 如果这两个数字不匹配，则将正标记转换为负标记，否则保持不变。 在验证数字时 或 发生取决于是否存在正标记或负标记 . 在任何一次枪击后 或 , 地点的标志 已选中。 如果地点的标志 鉴于此标记为负值，则交易被银行拒绝。 相反，如果是正数，则以类似方式检查OTP的下一个数字，直到所有数字都用完。 因此，我们可以根据地点标志判断交易是否被银行拒绝或批准 . 如果在任何标记处 为负数，银行拒绝向客户进行交易。 但是，如果 , 地点的标志 如果为正，则该交易得到银行的批准。
2.3. 签名Petri网的可达树 这个 可达集 SiPN的 是所有标记的集合 可从以下位置到达 .
A类 可达树 表示给定SiPN的可达集。 图中SiPN的可达树 1 如图所示 5 .
3.平衡有符号Petri网 一个SiPN 据说是 平衡的 如果它的所有循环在基础图中都是正的 . 基本图中没有圈的SiPN 是平衡的。
定理1。 顶点集的划分 在SiPN中 分成两个不相交的子集 和 , 在以下情况下，其中一个可以为空，以便相同子集的顶点之间的所有弧都为正，而不同子集的顶点间的所有弧均为负： (1) 中的所有弧 都是积极的 (2) 中的所有弧 都是负数 (3) 任何地方 既有正弧，也有负弧 (4) 中的任何转换 有正或负的传入弧和传出弧
证明。 (1) 在这种情况下，我们认为 和 . (2) 在这种情况下，我们从一个地方开始 在里面 V（V） 并将其放入子集 . 由于所有顶点之间只存在负弧，因此，所有连接到此位置的过渡 必须位于子集中 . 现在，连接到这些转换的位置必须位于子集中 . 以这种方式继续，直到所有顶点都放入其中之一 或在中 , 我们获得 和 . (3) 通过WLOG，我们从一个具有正传入弧和传出弧的位置开始，并将其放在子集中 . 由于连接到此位置的过渡仅由正弧连接，请将这些过渡放置在 也。 现在，过渡可以有两种类型的弧（正弧和负弧）发生在其上。 通过正弧连接到这些过渡的地方位于子集中 那些通过负弧连接的位于子集中 . 同样，这些地方只由一种弧连接，所以放在子集中 将仅通过正弧与过渡连接，我们将这些过渡放在子集中 . 放置在子集中的位置 具有负弧，通过负弧连接到其他过渡，这些过渡也将位于子集中 . 除非耗尽所有顶点（位置和过渡），否则我们将继续此过程。 (4) 在这种情况下，我们可以像案例3那样继续。 通过WLOG，我们从具有正向传入和传出弧的过渡开始。
3.1. 观察 除了定理中提到的四种情况 1 ，在纯SiPN中将顶点划分为两个不相交的子集 在以下两种情况下也是可能的： (1) 纯SiPN中的任何位置 具有相反符号的传入和传出弧（即，如果传入弧为正，则传出弧为负，反之亦然） (2) 纯SiPN中的任何转换 具有相反标志的传入和传出圆弧
推论1。 一个SiPN 如果顶点集的此类分区为负，并且 是一个二分分割。
证明。 如果 是负的，则在定理中证明了这种二分划分的存在 1 (2). 相反，假设这样的二分划分 存在。 由于这个分区，集合内不存在弧。 因此，不存在导致全负SiPN的正弧。 注：定理 2 – 4 和推论 2 已使用Harary给出的有符号图结果进行公式化[ 10 ].
定理2。 完整的SiPN 如果其顶点集是平衡的 可以划分为两个不相交的子集 和 , 其中一个可以为空，以便相同子集的顶点之间的所有弧都为正，而不同子集的顶点间的所有弧均为负。
证明。 假设顶点集有这样的划分 存在于完整的SiPN中。 我们需要证明 都是积极的。 由于这个分区 如果存在负弧，则始终具有偶数个负弧； 因此，循环中电弧符号的乘积为正，使SiPN平衡。 我们用矛盾的方法证明了相反的部分。 假设一个完整的SiPN 是平衡的，并且这样的分区不存在。 让 （用于 结果显而易见）。 通过WLOG，我们假设在一个子集中至少存在一个负弧（比如 ) 尝试分区时 . 让这个负弧存在于顶点之间 和 （位置转换对）。 自 , 至少还有两个顶点 和 在里面 （位置转换对）。 自 已完成， 已连接到 和 已连接到 . 现在，出现了三种情况： (1) 如果 , 在这种情况下 和 和之间 和 都是积极的。 长度为四的循环，由顶点形成 , 和 , 为负值。 (2) 如果 , 在这种情况下 和 和之间 和 为负值。 长度为4的循环，由 , 和 , 为负值。 (3) 如果 , 这里，中间的弧 和 为负值，而介于 和 是积极的。 此外 和 为负值。 长度为4的循环，由 , 和 , 为负值。 如果由于跨子集的正弧而不存在分区，则可以在类似的直线上证明结果。 在任何情况下，这样形成的负循环将与 . 因此，我们的假设是错误的，并且总是存在这样的划分。
推论2。 平衡SiPN的子SiPN是平衡的。
证明。 由于子SiPN的每个周期也是给定平衡SiPN周期，因此为正。 因此，子SiPN也是平衡的。
定理3。 一个SiPN 是平衡的，如果，对于每对不同的顶点 和 , 在基础图中 , 所有路径连接 和 有相同的标志。
证明。 我们获得了平衡的SiPN。 考虑任意两条路径 和 连接 和 . 如果我们删除这些路径中存在的任何公共弧，我们将得到一组弧-直联循环。 每个循环都包含一个子路径 和的子路径 . 循环必须是正号，这意味着这些子路径必须具有相同的符号。将这些子路径与公共弧连接起来，我们删除了前面的指向路径的引线 和 具有相同的符号。 相反，我们有连接任意两个不同顶点的所有路径 和 在里面 因此，所有包含 和 必须为正数。 自， 和 是任意的，所有循环 都是积极的。 因此， 是平衡的。
定理4。 一个SiPN 如果其顶点集是平衡的 可以划分为两个不相交的子集 和 ; 其中一个可以是空的，使得相同子集的顶点之间的所有弧都是正的并且不同子集的顶点之间的所有弧都是负的。
证明。 我们得到了一个分区 和 的顶点集 . 我们可以扩展 到完整的SiPN。 取一对不相连的地方和过渡。 如果它们位于同一子集中，则用正的双向弧将它们连接起来，否则用负的双向弧连接起来。 根据定理 2 ，通过推论，获得的完整SiPN是平衡的 2 ，假设SiPN是平衡的。 相反，让 保持平衡。 考虑任何不相邻的顶点对（位置转换） 和 . 根据定理 三 ，所有连接的路径 和 有相同的标志。加入 和 通过与这些路径的符号相同的双向弧。 通过这种方式，由此引入的所有循环都是正的，从而产生平衡的SiPN。 一旦我们对所有非相邻顶点执行此操作，就会得到完整的SiPN。 我们的结果来自定理 2 .
4.签名Petri网的应用 4.1. 电报传输系统 当双方需要安全通信时，即他们不希望第三方监听，并且需要安全通信的通道。 安全通信是一种将消息从源传输到接收方的方法，因此它不易被窃听或拦截。 我们使用本文介绍的SiPN概念来建模一个安全的消息传输系统。
考虑一个需要安全地从源传输到目标的消息。 为了确保传输的安全性，我们将消息分为两部分，消息的前半部分由正令牌表示，另一半通过负令牌表示。 这些地方 和 分别是消息的源和目标。 所有其他位置都是消息的缓冲区，它通过触发相应的转换来保存消息，直到可以传输为止。 转换是将消息从一个地方传递到另一个地方的事件。 请注意 .
在SiPN中，正标记在正弧上移动，而负标记仅在负弧上移动。 因此，我们有一个固定的令牌移动路径，消息的任何部分都不能在消息的另一部分的路径上移动。 此外，我们限制所有转换只有一个正负号的弧，即 ,
此限制使任何中间位置/转换都无法访问消息的两部分，从而避免了泄漏。
在图中 6 ，消息在位置上分为两部分 这是消息的来源。 正标记（消息的前半部分）启用转换 负标记（消息的另一半）启用转换 . 转换时 和 开火后，信息传输开始。 到达目的地 , 正向标记在路径上移动 和路径上的负标记 . 然后可以将消息的这两部分组合起来，以在适当的位置获得完整的消息 .
这样，消息就可以安全地从源传输到目标。 将消息分为两部分并通过不同的路径传输这些部分可以减少消息泄漏的可能性。
4.1.1. 信息传输系统的扩展 在扩展模型中，除了转换之外，位置和转换与上述模型中的含义相同 和 , 它表示将消息的传入部分划分为两部分的过程。
在图中 7 ，消息在位置上分为两部分 这是消息的来源。 正标记（消息的前半部分）启用转换 负标记（消息的另一半）启用转换 . 当过渡 和 火，消息的各个部分又被进一步分为两部分。 因此，原始消息现在分为四个部分。 通过WLOG，我们假设正标记总是表示消息的前半部分或部分消息的前一半。 随着消息传输的继续，正向标记（即消息第一部分的前半部分）在路径上移动 最终到达目的地 . 类似地，负标记（消息第一部分的后半部分）在路径上移动 并到达目的地。 以类似的方式，原始消息的另一半通过转换进一步分为两部分 到达目的地 .
通过这种方式，我们的信息通过将其分为四个部分并通过不同的路径传输来传递。 这使得任何人都很难同时访问整个消息，从而使其安全。 可以修改模型，将消息划分为多个部分，以便通过在转换之后的转换中进一步划分消息来提高安全级别 和 .
4.2. 生产单位 我们考虑生产和包装产品的生产单位。 产品的生产方法是首先创建六个零件，然后将它们组装在一起，在组装单元中得到最终产品。 在图中 8 ，部分产品在现场生产 . 我们假设重量大于规定重量的零件 单位由一个正标记表示，其余部分由一个负标记表示。 这样做是为了使较重的部件在路径上移动 , 它适合运输重型部件，而不是在路上 通过它运输较轻的零件。 SiPN中的所有转换表示令牌（部分）从一个地方转移到另一个地方的事件。 这些地方 和 是检查零件工作情况的测试单元。 每当产品的某一部分出现时，都会对其进行所需的特性测试（取决于产品），并根据测试结果将该部分分类为“测试合格”或“未测试”后进行隔离。因此，转换 和 可以相应地开火。 如果零件工作正常，则通过测试并通过点火转换移动到装配单元 或 . 相反，如果零件被证明有缺陷，则将其拒收并移至适当位置 通过触发转换 或 . 每当零件移动到装配单元或被拒收时，应重新开始生产此类零件。 因此，我们添加了弧 .
如果六个零件中没有一个被拒收，则在现场组装最终产品 . 我们用一个符号来表示这个最终产品，它的符号等于代表产品部分的所有符号的符号乘积（这里的符号是正数）。 然后将最终产品移到指定位置 通过燃烧过渡进行包装 . 应该注意的是，弧的符号 和 与表示最终产品的标记的符号相同。
5.结论和范围 引入了签名Petri网的概念以及平衡SiPN的特征。 给出了一个使用新引入的SiPN位置符号分配概念的示例，该示例演示了使用SiPN的优势。 讨论了SiPN在信息传输系统和生产单元中的应用。
作者提出了动态平衡和支配的概念，我们计划在未来的工作中引入这些概念。这些概念对于以前存在的PN模型来说并不存在，并说明了SiPN的扩展是如何有利的。
数据可用性 没有数据支持这项研究。
利益冲突 作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
