本文用带参数的四次Hermite基函数形成了四次Hermite参数插值样条曲线，研究了样条曲线的参数选择，给出了弧长最短曲线和最光滑曲线的判据。当设置插值条件时，所提出的样条曲线不仅可以实现C类1-但也可以通过选择合适的参数来实现形状控制，这解决了经典三次Hermite插值样条曲线的弱点。
1.简介
在CAGD&CG中，调整和控制拟合曲线的形状一直是一个重要的研究课题。构造了不同类型的带参数的样条曲线来控制插值曲线的形状。例如，文章中讨论了带参数的Bézier型和B样条曲线[1–4].
经典的三次Hermite插值样条曲线在实际工程问题中得到了广泛的应用[5–7]. 然而，当插值条件给定时，三次埃尔米特插值样条曲线的形状不能改变。也就是说，我们需要更改插值条件来修改样条曲线的形状。然而，当插值条件取自实际问题时，这种方法是不可取的。为了克服三次Hermite插值样条曲线在形状适应性方面的局限性，带参数的Hermite样条曲线的构造引起了许多学者的关注。例如，带参数的有理三次Hermite插值样条在[8–13]，带参数的四次Hermite插值样条在[14]，并在中开发了带参数的三次三角Hermite插值样条[15]. 这些文章提出了几个带参数的插值样条函数，它们具有与经典三次Hermite插值相似的性质，并且可以通过修改参数将曲线推到指定区域。然而，如何选择参数以获得“良好”的拟合曲线这一主题在上述文章中没有讨论。
本文构造了一类具有两个参数的多项式Hermite插值样条。在满足插值条件的情况下，可以通过修改参数来调整样条曲线的形状。人们可以选择适当的参数来满足给定的标准。更具体地说，我们检查了确定参数的技术，使得四次Hermite样条曲线具有最短的弧长或最小的曲线能量值，并使四次Hermate样条曲线最平滑或达到弧长和曲线能量值的最小和。
2.三次Hermite插值样条的基本概念
定义1。对于，以下四个功能称为三次Hermite基函数，其性质如下：(1)端点：(2)准对称：.函数的图形如图所示1。从左到右是基函数的图形， ， ，和.
定义2。给定数据点和相应的切向量，对于，分段三次Hermite插值曲线定义如下：哪里，和在中给出(1).
通过简单的计算，我们得出
3.带参数的四次插值样条
从最后一节中，我们可以看到，对于指定插值点处的给定插值和导数，设置了经典三次Hermite插值曲线的形状。如果要更改曲线的形状，则需要不同的数据集，这在某些情况下是不允许的。为了在不改变插值条件的情况下修改曲线形状，我们将构造一个带参数的四次多项式函数基，当参数取不同值时，相应的新插值曲线的形状将发生改变，这将非常方便交互设计。如果选择合适的参数值，也可以提高插值曲线的逼近效果。
定义3。对于任何给定参数和，以下四个功能称为带参数的四次埃尔米特基函数。
什么时候？，方程式(5)退化为方程(1)，这是三次Hermite基函数。什么时候？取不同的值，基函数的形状也会改变。图2显示了的基本函数（实线），（虚线），和（点划线）。从左到右是底图， ， ，和，分别是。
定义4。让是区间[a，b]的细分，并且， ，然后在间隔上执行以下函数称为带参数的四次Hermite插值曲线，其中， ， ，和是四次Hermite基函数，参数如下(三).
当所有参数都为，方程式(6)退化为方程(三).
4.四次Hermite插值样条的特性
4.1. 连续性
样条曲线(6)是分段多项式曲线。我们需要显示曲线的连续性。对于，我们有
因此，我们得到
这意味着样条线(6)是C类1-连续。此外，曲线的切线在这一点上平行于切线向量（对于任何).
4.2. 总计和局部调整
通过重写(6)，用于，我们有
显然，参数只影响我-第个曲线段而不改变其他曲线段。因此，我们可以通过改变参数来调整插值曲线的形状本地。
示例1。给定数据点， ， ， ， ， ， ，和和相应的切线向量， ， ， ， ， ， ，和，图三显示了总的和局部可调的插值曲线。图中的实线三是经典的三次插值样条曲线，相当于参数在方程式中(6). 在图中三（a） ，虚线的参数值为(我 = 0，1，2，…，7）和点灰线的参数值为(我 = 0, 1, 2, …, 7). 正如我们所看到的，曲线的形状作为一个整体进行了调整。在图中三（b） ，参数等于0，除了，曲线在第一段和第八段进行局部调整。
5.约束条件参数选择
如第节所述4选择合适的参数可以改变四次Hermite插值样条曲线的形状。理论上，当数据点、插值值及其切线向量保持不变时，可以通过改变参数值来任意调整插值曲线的形状。然而，在许多实际工程问题中，往往需要使插值曲线满足与某些规范一致的相应要求。此时，有必要根据给定标准确定参数值。以下是确定参数值的三个标准。
5.1. 标准一：曲线的弧长最短
通常，参数曲线的弧长可以表达.因此，对于给定的数据点和相应的切线向量，参数的最佳值和应确定四次Hermite样条曲线具有最短的弧长，然后可以建立优化模型，如下所示：
找到最佳参数的值和，与方程偏导数有关的方程组(10)可以找到。我们有以下方程式：
通过求解上述方程的最优参数值，可以得到弧长最短的插补曲线。
示例2。对于给定的数据点和相应的切线向量如示例所示1，我们可以获得参数值根据方程式(11). 获得的四次Hermite样条曲线具有最短的弧长，如图所示4.
5.2. 标准二：曲线最平滑
通常，插值曲线的平滑度可以通过其能量值来近似，能量值越小，曲线越平滑。因此，对于给定的数据点和相应的切线向量，确定最优参数，使曲线能量值最小，使四次Hermite样条曲线最光滑。然后，可以得到以下优化模型：
找到最佳参数和，具有参数偏导数的方程组和可以解决。给出了以下方程：
通过求解上述方程的最优参数值，可以得到能量最小的插值曲线。
示例3。对于给定的数据点和相应的切线向量如示例所示1，我们可以获得参数值 根据方程式(13). 也就是说，在这种情况下，经典的三次Hermite样条曲线是最平滑的，如图三（a） ●●●●。
5.3. 标准三：同时考虑较短的弧长和平滑的曲线
对于给定的数据点和相应的切向量，有一个优化模型，使四次Hermite样条曲线的弧长和能量之和最小，如下所示：
上述方程关于参数的偏导数和如下所示：
示例4。对于给定的数据点和相应的切向量示例中给出1，我们可以获得参数值 根据方程式(15). 因此，四次Hermite插值样条曲线的弧长和能量之和最小，如图所示5.
6.结论
本文构造了一组具有两个参数的可调四次Hermite插值样条函数，它继承了经典三次Hermit插值样条的主要特征，并克服了其局限性。当给定数据点及其切向量时，经典的三次Hermite样条曲线的形状不能改变，这是一个弱点。我们提出的四次Hermite插值样条曲线的形状可以通过调整参数进行调整，这在实际工程设计中需要满足插值效果的某些要求时很有价值。此外，四次Hermite参数样条仍采用分段多项式形式，不仅表达式相对简单，而且与CAD/CAM系统中的标准Bézier曲线、B样条曲线等多项式参数曲线保持一致。
数据可用性
没有数据支持这项研究。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
致谢
该项工作由安徽省教育厅科研重点项目基金资助，批准号为KJ2018A0555。
