在动物疫情爆发时，从部分感染状态迅速恢复的农场可以延迟甚至抑制感染在农场网络上的广泛传播。在这项工作中，我们重点研究了感染的空间传播如何受到网络拓扑结构和节点内部恢复机制这两个因素的影响。我们首先建立了一个个体农场模型，以检验初始感染人数和接种率对单个农场传播的影响。基于这种农场内部模型，构建了反映不同阶段农场间疾病传播的农场网络。我们探讨了低接种率的农场对疾病传播到整个农场网络的影响，并调查了控制中心农场对农场网络传播的影响。结果表明，对接种率较低的农场和中心农场进行强化控制，可以有效降低农场网络上爆发口蹄疫的潜在风险。
1.简介
近年来，在网络中传播的流行病越来越受到关注[1–三]. 研究网络传播过程的主要原因之一是再现疾病的实际动态，并找到有效的控制策略来消除感染。传染性动物疾病在农场之间的传播表现出社区结构的脆弱性，这主要是从网络拓扑的角度进行研究[4–6]. 然而，在获得网络传播的“动力”之前，感染是否被抑制，还取决于节点对疫情的反应[7]. 如果节点上的每个农场都进行了高水平的疫苗接种，并且能够从意外和部分感染中恢复，那么这种弹性机制可以延迟甚至抑制感染的广泛传播。
在动物传染病中，口蹄疫（FMD）是一种重要的经济疾病。已经开发了数学模型来模拟各种情况下口蹄疫传播的可能进展，以便相关研究人员和代理人可以利用它们来实施控制政策，以预防和降低疾病爆发的风险。离散化确定性SLIR模型，其中, , ,和分别表示易感、潜伏、感染和恢复状态，用于描述FMD在农场的传播[8]. SVLI模型，其中表示接种疫苗的状态，被视为调查农场中的口蹄疫传播[9]. 作者调查了无病平衡的稳定性，并进行了模拟，以说明疫苗接种和扑杀对农场疾病控制的影响。关于FMD在农场之间的传播，Keeling等人利用他们开发的基于单个农场的随机模型发现，农场的空间分布和规模对FMD疫情的模式和区域变异性有一定影响[10]调查疫苗接种和扑杀对控制口蹄疫传播的影响[11]. 此外，在[12]研究了具有家庭结构的随机社会接触网络上随机SIR模型的各种接种策略[13]. 长期以来，由于操作员和车辆的移动而导致的农场间接触一直被认为是牲畜系统疾病传播的相关因素[14–16]. 据观察，在这种接触网络上，感染的传播可以大大加强。特别是，一些连接易感/受感染节点的复杂网络，无论传播速度如何，都容易随着感染的持续性而传播流行病[17,18]. 随机网络上的键渗流被用来推导基本的流行病学量和预测疾病传播。有关不同类型接触网中车厢SIR模型的简要概述，请参见[19,20]年对农场内部和农场之间的口蹄疫传播建模进行了全面审查[21].
在这项工作中，我们想找出农场之间的相互依赖在多大程度上削弱了它们对外部感染的抵抗力。随着工业化世界畜牧业的集约化和积累化，农场之间的联系更加紧密，即使是在远处。与孤立农场相比，紧密联系并共享共同资源的农场通常更容易感染疾病。我们将得出最低接种水平，以保护农场社区免受外来传染源的零星接触。流行病学的关键问题之一是如何通过人群免疫有效控制传染病的传播。最不理想的情况是即使在常规接种的情况下，疾病也会内部化或局部化。这意味着网络通过高度连接的节点不断“呼应”感染，导致持续不断的农场再感染。我们特别感兴趣的是研究在什么条件下，在臂内和臂间模型中，在定期接种疫苗的情况下，传染性动物疾病会持续存在并局限。然而，除了中心农场在无规模网络中阻止疫情蔓延方面的重要作用外，了解低接种率农场造成的负面影响有多大也至关重要。
本文重点研究了感染的空间传播如何受到网络拓扑结构和节点内部弹性机制这两个因素的影响。我们开发了一个基于网络的牲畜传染病传播模型，重点关注每个节点（农场）的内部结构。该模型描述了两种不同的动力学机制：农场内动力学，即按照传统的隔室模型在均匀混合人群中快速传播感染；以及农场间动力学，即疾病传播沿农场间接触网络缓慢发生。在本文中，我们排除了扑杀和其他控制措施，因为我们主要研究疫苗接种对农场网络中口蹄疫传播的影响。所有仿真结果均使用MATLAB进行。
2.具有弹性节点的网络的鲁棒性
网络的弹性意味着网络对其顶点的意外或故意攻击的鲁棒性。在许多流行病传播模型中，网络拓扑在疫情爆发中的密切相关性已得到证实[17,22].
在代表潜在感染传播的网络中研究了易感-感染-易感（SIS）模型。结果表明，对于无标度（SF）网络，流行病传播的阈值在无限网络极限中为零。换言之，即使传播率很低，在一个足够大的SF网络中，疫情也可能永远无法根除。然而，这种双状态模型并不直接适用于农场网络，因为此类网络上的节点具有更复杂的内部结构。需要改进农场间和农场内传播过程，以处理处于不同感染阶段的节点中的大量动物。
为了建立这种流行病传播的层次模型，我们首先从一个简单的连续SIS网络模型开始。该模型将在以下章节中以更现实的阶段进行详细阐述。假设有比如，农场和每个农场的流行情况, ，取一个连续值，介于和哪里意味着农场没有感染和指完全感染状态；也就是说，农场里的所有人都被感染了。让表示邻接矩阵，其如果农场为1，则第个条目为1和是相邻的，并且传播发生在农场到,否则为0。The degree of农场定义为，这意味着第个农场。然后，农场流行的动态可以表示为在这里代表农场内部疫情的发展和表示来自农场的传输速率函数去农场.如果，农场据说对感染有抵抗力这意味着农场如果被隔离，可以从微小的感染性扰动中恢复。在我们的方法中，我们假设感染的农场间传播与源农场的流行程度和目标农场的易感程度成正比。因此，传输速率函数设置为哪里是传输速率。我们想看看农场网络在什么条件下(1)带有(2)保持同步无病状态。下面的定理表明，只要网络不太密集且传输率低，弹性农场社区对感染具有鲁棒性。
定理1。考虑以下定义的农场网络(1)和(2)这包括有弹性的农场。让是农场的最大程度，让是最小的弹性。然后是集体无病状态是渐近稳定的.
定理的证明1见附录。农场网络的整体弹性取决于单个农场的弹性、网络密度和传输速率。图1根据传播率，描述了无标度网络中1000个农场平衡时的平均农场流行率.这里是简单的内部过程函数用于模拟密集的疫苗接种实践，导致感染率呈指数衰减。可以观察到，在小于周围的临界值.在这个参数范围内，即使一些农场同时受到感染，疫情也会很快从网络上根除，然后进一步传播。然而，这种集体稳健性并不成立，如果传播率大于临界值，一些农场将陷入地方病状态。
尽管模型(1)是SIS模型的一个基于网络的扩展，它仍然太简单，无法处理农场中多种不同疫情的动物。在接下来的部分中，我们开发了一个层次化系统，该系统将传统的分段流行病模型（农场内模型）与农场网络模型（农场间模型）相结合。新模型使我们能够研究农场网络在疫苗接种策略方面的鲁棒性，以及农场网络在多大程度上能够承受外部病毒的零星攻击。
3.FMD传输的农场内模型
我们的FMD农场内传播模型包括七个分区状态；易感、潜在感染、感染和恢复状态表示为, , ,和,分别表示接种疫苗后的易感、潜伏和感染状态, ,和,分别。参数中包括疫苗接种率和抗体形成率以及从到在参数中考虑,这是疫苗消退的速度到反映了接种疫苗的个人可感染降低的敏感性因子.此外传染性降低，这与降低的传染性因素一起考虑在里面.处于恢复状态的个人平均有抗体在疾病恢复几天后，就变得容易感染疾病。
该模型的示意图如图所示2.
在图中2，参数和分别表示潜伏期和感染期，以及参数表示传播率，取决于牲畜总人口[23]. 此外，接种疫苗的人有潜伏期和感染期，和以及降低的传染性和易感因素和,分别是。假设和由于疫苗接种的影响。表中给出了参数说明和值1.
模型的传输动力学由以下ODE系统描述：哪里.
基本复制数表示为,它反映了无病平衡的稳定性，可以用下一代矩阵的方法计算[28].
定理2。基本复制编号第页，共页(三)是哪里是牲畜的总人口。
为了证明定理2，请参阅附录。众所周知，如果，则该模型具有局部渐近稳定的无病平衡，如果则无病平衡不稳定[29]. 然而，条件不一定是消除疾病的充分条件。即使在，带有疫苗接种的流行病模型可能具有后向分岔，对于后向分叉，稳定的无病平衡点和稳定的地方病平衡点共存[30,31]. 在这里我们研究了系统的分岔动力学(三). 因为我们主要关注接种率参数的影响在疾病传播方面，我们关注系统的分岔动力学(三)根据不同值。
图三描绘了系统的分岔图(三)在一定范围内值。对于模拟，我们假设并设置除如下：,,,,,、和疫苗接种效果从到并提前两天从到,以便,此设置将在其余的纸张中使用。在图中三可以看出，如果（或)，农场具有稳定的无病平衡。如果（或)农场具有稳定的地方性平衡。在中间制度中（或)根据初始状态，该农场可能最终无病或地方病。也就是说，在模型在疾病传播过程中经历了后向分岔。
4.多个互联农场
我们的方法设想了一套区域内的农场作为农场间模型中农场之间的连接网络。网络的每个节点代表一个农场，其内部结构由前一节中的隔间模型描述。链接代表农场之间的关系，涉及反复接触，感染可以通过这种接触传播。
农场间传播有两种途径：直接感染是由于受感染动物的移动，间接感染是通过共用受污染的设备、车辆、工人和兽医发生的[32,33]. 我们扩展了农场内模型中采用的假设，并声称直接和间接接触的农场间传播率基本上与感染者和易感者的数量成正比。更准确地说，农场的感染率在农场引起新的感染是哪里和农场里易感疾病的人数是多少以及农场感染人数,分别是。在这里表示农场到农场的传输速率，与传输速率相比应该非常小在农场内部模型中。估计值为和每天[34].
给定一些农场网络的实现，可以在节点上模拟弱耦合的分区传染病模型的动力学。在上一节中，我们观察到，隔离接种疫苗的农场的恢复力有限，对于小规模感染，可以恢复到无病状态。然而，当连接在一起时，单个农场的这种恢复能力通常会减弱，因为它们可以在彼此之间扮演暂时的疾病存储库的角色。图4说明了多个农场连接时发生的分支图变化。值得注意的是，代表稳定平衡状态的上分支随着连接农场的数量而逐渐变化。这意味着较高的疫苗接种率需要在更大的农场社区保持无病状态。例如，四个完全连接的农场应该具有保持健康，而一个农场需要
与稳定状态取决于初始状态的孤立农场不同，多个农场的集体状态对初始条件的敏感性较小。图5结果表明，随着直联农场数量的增加，单农场模型中的后向分岔逐渐演化为跨临界分岔。可以看出，这一变化提高了保护农场社区的最低疫苗接种水平。
后向分岔的消解是随着直接连接邻居的增加而发生的，网络化也会增强后向分叉的消解。集体农场的稳定状态很大程度上取决于连接拓扑。在剩下的工作中，我们使用了无标度（SF）网络，这被认为是最适合社交网络的模型，包括流行病的传播[17,35,36]. 最近的研究表明，世界各地不同地区的许多公交系统都具有无标度结构[37–39]. 这一观察结果部分证明了无标度网络用于农场间模型的合理性，因为感染的主要途径之一是与牲畜相关的车辆移动。
SF网络遵循度分布,哪里是节点的度，其特征是存在少量多连接节点（hub）和大量少连接节点。我们在本工作中使用的SF网络包括农场。我们设定了平均学位网络的由于网络中的每个农场平均与其他10个农场相连，可以理解的是，每个农场的平均感染率与图中10个完全相连的农场的感染率相似6然而，10个农场模型的后向分歧在网络中被“抹去”，将无病状态的最低接种水平从0.36提高到0.43。这意味着一个网络，即使其拓扑结构相当稀疏，也可以提供更广泛的潜在疾病存储库。
5.偶然接触外部感染
我们感兴趣的是接种疫苗的农场的整体免疫力有多强，以及它们如何保持集体无病状态，免受持续的外部感染。我们假设来自环境的泊松感染服从泊松分布，平均值为[40,41]. 这意味着，除了来自网络中其他农场的水平感染外，每个农场还以平均速度暴露于零星的外部感染一天之内。
在本节中，所描述的模型用于运行一组10年的流行病模拟。我们假设农场到农场的传输率为[34]. 假设每个农场以平均泊松率暴露于外部感染一天。尽管此参数估计值我们可能没有反映真实的环境背景，而是关注参数间和参数内的相对比率，并研究农场网络对外部感染的定性反应。
在韩国最近爆发的口蹄疫疫情中，据报道，一些农场的抗体形成率低于20%[42]这远远低于韩国政府标准疫苗接种政策形成的预期接种率（牛约97.5%，猪约70%）。这种抗体形成率低，加上疫苗接种疏忽，可能是该病在农场间突然爆发和传播的原因之一。
为了调查低接种率的农场（“坏农场”）如何影响农场网络中的疾病传播，我们假设两组农场；一个是A类农场接种率高()另一个是B组农场接种率低(). 图7表明，如果B组的比率较小，小于10%，则该疾病不会在农场网络中大规模爆发，但如果B组比率较大，超过20%，则农场网络中会爆发，感染人数与B组比率成比例增加。这意味着，即使大多数农场接种了良好的疫苗，也就是说，如果大多数农场遵守政府的标准疫苗接种政策，一小部分糟糕的农场会严重削弱整个农场的免疫力。它们很容易引发疾病的爆发，而且传播时间足够长，直到网络中其他健康的农场受到感染。这可能导致持续的反复感染状态。因此，需要对不良农场进行积极监测和严格控制，以防止这种疾病的永久性传播。
图中，从零到线性增加线的类相变跳跃7可以从中心感染的角度来理解：如果坏农场的比例很高，那么它们更有可能包括其中一个中心。众所周知，在疾病通过网络传播的过程中，网络中心的污染严重损害了网络的恢复能力[43–45]. 我们进一步研究了控制中心农场如何有效地防止口蹄疫在农场网络中的长期传播。中心农场是指与其他农场之间存在频繁交通的农场。我们将等级最高的前5%农场归类为中心农场，并根据其值观察其对整个网络免疫性的影响.其他95%的非中心农场的疫苗接种率相对较低.在图中8，我们看到充足的疫苗接种（超过)尽管其他非中心农场的疫苗接种率较低，但只有前5%的中心农场对防止农场之间的传播非常有效。中心疫苗接种的影响是显而易见的，尤其是与随机接种相比，随机选择的农场中有5%接种了疫苗。这意味着，减少口蹄疫传播潜在风险的一个非常有效的方法是对中心农场实施紧急和密集的控制。
6.结论
本文研究了这两个因素对口蹄疫空间传播的影响；网络拓扑和节点的内部弹性机制。我们首先建立了农场网络中口蹄疫传播的数学模型，并研究了接种疫苗对控制口蹄疫爆发的影响。
虽然以前关于网络中疾病传播的研究大多集中在传播率的影响上，但我们更仔细地研究了节点的内部机制的作用，尤其是疫苗诱导的恢复能力。我们得出了保护农场社区免受外部传染源零星接触所需的疫苗接种水平。由于模型中使用的大多数参数都是基于先前的研究和实际数据，我们认为该结果可能对区域范围内的FMD控制提供一些实际意义。
我们发现，即使接种率低的农场或糟糕的农场数量与整个农场数量相比很小，糟糕的农场不仅会引发疫情爆发，而且会长时间携带口蹄疫病毒，污染其他健康的农场。这表明，应该对糟糕的农场实施主动和先发制人的监测，以防止疾病内部化。此外，我们发现，将整个农场的疫苗接种率提高超过适当水平（0.35或更高）可以在较长时间（10年）内防止FMD在农场之间的传播。还观察到，中心农场疫苗接种率的适度提高可以非常有效地降低口蹄疫传播到其他农场的潜在风险。这一发现表明，当口蹄疫突然爆发，需要紧急控制以防止该病在农场大规模爆发时，对中心农场进行密集和及时的疫苗接种是一种有效和适当的控制措施。
以前的研究指出，一些带有疫苗接种的流行病模型可能具有后向分歧[30,31,46]. 我们观察到，这种后向分岔逐渐演变为跨临界分岔，提高了最低接种水平，以更高程度地保护农场社区。后向分支的溶解随着直接连接的邻居的增加而发生，并且网络的拖尾效应也增强了后向分支的溶解。
在无标度网络中，已知在中心节点上接种疫苗的有效性[43]. 然而，由于确定疾病传播的潜在中心节点是一项具有挑战性的工作，因此很难实施针对流行病，尤其是人类传染病的中心疫苗接种[47]. 在口蹄疫传播的情况下，当农场位置和牲畜移动等农场信息可用时，可以识别中心节点。在韩国，可从韩国动物健康综合系统（KAHIS）获取实际的地理农场信息和与牲畜相关的车辆移动数据。作为这项工作的延伸，我们计划利用从KAHIS获得的农场相关实际数据，构建一个基于网络的模型来描述韩国农场之间的口蹄疫传播。
附录
A.定理证明1
系统的雅可比矩阵(1)在是注释和.因此是严格对角占优矩阵.自所有对角元素都是负的，根据Gershgorin圆定理，其特征值的实部是负的。
B.定理证明2
我们推导出了基本再生数来自系统(三)，使用下一代矩阵的方法。我们首先找到矩阵和下一代矩阵哪里和表示以下值和分别在无病平衡下。注意，系统的基本复制编号(三)是的光谱半径.我们计算了作为自和哪里是牲畜的总人口，我们得到
利益冲突
提交人声明他们没有利益冲突。
致谢
本研究得到了韩国教育部资助的韩国国家研究基金会（NRF）基础科学研究计划的支持（2017R1D1A1B04032921（P.Kim），2016R1D1A1B03934427（C.H.Lee））。
