通常用于估计LTI系统状态的方法要求输出变量的精确值在任何时候都是已知的，或者在等距采样时间。在通过二进制传感器（检测器）测量输出信号的LTI系统中，即使系统具有完整的可观测性矩阵，传统的状态观测器设计方法也不适用。这种类型的状态观察器设计称为无源。因此，有必要引入一种新的状态估计技术，该技术允许根据变量穿过检测器动作阈值（开关）的信息来计算状态。因此，本文试图研究这类估计量在有限时间内的收敛性，以便从理论上确定是否可以通过使用基于事件的估计技术以收敛的方式估计某些所提出的模型族。
1.简介
在通过二进制传感器（检测器）测量输出信号的LTI系统中，即使系统具有完整的可观测性矩阵，传统的状态观测器设计形式也不适用。这种类型的状态观察器设计称为无源。探测器用于像光电探测器一样的充足系统范围，以检测存在；氧气探测器，用于控制汽车排放；1位量化器，用于模数转换；和光学编码器，用于位置检测等。使用这种探测器的系统所面临的最大困难在于，用于建模、识别、估计、控制和检测故障的信息非常有限[1].
所解决的问题涉及LTI系统，其中输入变量应该是已知的，但输出可以通过检测器获得，当变量达到某个给定值时，检测器会发送信号。尽管基本思想可以应用于存在多个具有不同阈值的检测器的情况，但这项工作将集中于单个检测器的情况。
检测器的可用信息仅说明变量与检测器阈值的交叉，而不知道交叉方向。这样就可以确切地知道穿越的时刻。这种非周期采样称为勒贝格采样[2]。勒贝格抽样或基于事件的抽样是黎曼抽样的替代方法。勒贝格采样系统比黎曼采样系统更难分析[三]。然而，由于其概念上的简单性，勒贝格抽样最近被用于反馈系统。
由于所研究系统的性质，需要对混合系统进行仿真，其中存在连续和离散动力学；可以使用Matlab/Simulink和Ecosim等不同工具开发此类仿真。
在[4]，介绍了LTI系统的估算技术：哪里是状态变量，是输入变量，并且是系统的输出标量，并且,、和是具有适当维数的实矩阵。目的是估计在任何时候假设输入始终已知，但有关输出的唯一信息由二进制传感器给出，表示已达到某个恒定阈值这意味着，时间的瞬间,，其中输出已达到阈值；也就是说，在他们的工作中，Moreno等人给出了这个勒贝格抽样案例的可观测性（被动）表征。
重建初始状态的可能性(1)不仅取决于系统的固有特性，还取决于获得的采样。在系统中(1)以及采样序列，，其中，抽样数量如果能够以独特的方式计算初始状态，则称为勒贝格采样可观测，来自采样序列和如果在一定的采样间隔后，获得了可观测性，则可以重建所有系统的状态。
假设观察过程始于，因此存在勒贝格采样序列，带有，其中; 测量过程可以表现为脉冲行为在检测时间发生哪里是Dirac函数。测量值也可以表示为
提议1。实际状态第页，共页(1)满足哪里可以根据测量数据和系统模型进行计算；如果勒贝格采样是否可通过测量观察到序列，在观测间隔期间生成，然后可以从中唯一确定(三).
在[4] (三)通过仿真应用于一个示例。一些作者研究了另一个应用程序的事件检测状态估计器，如[5–7].
然而，没有给出在有限时间内确定估计收敛性的形式支持。在我们的工作中，我们解决了这个问题。在某些条件下，这将允许在理论上确定是否可以使用基于事件的估计技术以收敛的方式估计某些拟议模型族。
2.前期工作
为了理解论文中的术语，有必要从总体上理解什么符合分布理论，并修改一些定义。
2.1. 分配理论
分布理论概括了“函数”的概念，这项工作是由英国医生保罗·狄拉克发起的，他在20世纪20年代末引入了一个非常重要的概念，称为“德尔塔函数”，与他对量子力学的研究有关，它具有始终等于零的特性，不包括其行为所在的原点，因此定义的是一个。上述增量不被视为普通意义上的函数，而是一种分布。从这里开始，为了给出一个数学严格性的目标，一个连贯和完整的公认理论被创立为分布理论，由法国科学家施瓦茨创建。后来，苏联科学家索波列夫（Sobolev）发表了他的广义函数理论，这是分布理论的扩展，在函数空间上为函数引入了算子条件[8].
对于即将进行的收敛性研究，将使用分布或广义函数；它们将函数概念推广为数学对象，将微分概念推广到所有局部可积函数。
根据[9]分布理论将微分学扩展到某些线性和连续形式，定义在具有紧支撑的无穷可微函数的拓扑空间中；这些线性和连续形式称为分布或广义函数。这种类型的函数比普通意义上的可微函数类型具有更大的覆盖范围。
提议2。让是一组开放的以下为：哪里。表示采样函数的向量空间。如果是，然后。
的一个典型功能是哪里和和常数选择的方式;它支持单一球; 也就是说，。
形式的一个表达式具有为非负整数，对于每个称为多索引。对于多索引的顺序定义，表示为，由如果和是一个多索引，则定义为收敛于以下为：是中的一系列功能,，何时如果（a）有一个紧凑型因此，对于每个;（b）在中一致，对于每个多索引。中的一致收敛性继承人意味着什么时候.一个应用程序在中继续，这意味着每个继任者，有限制，具有，何时。
对于每个开放集在里面。
应用程序以下为：是一个分布，如果（a）是线性的；（b）每个紧凑型有一个常数和一个非负整数（取决于)作为对于每个对于每个多索引。
一个分布是线性和连续函数.上所有分布的空间表示为。这意味着，是的双重。
2.2。条件
紧支撑的分布定义为上的线性连续函数用定义的拓扑在空间上均匀收敛。
然后是函数其收敛称为“定期分配”
2.3. 狄拉克三角洲
Diracδ“函数”的概念也被称为酉脉冲函数，对于模拟这样的情况很有用，例如，在一个机械系统上，外部大幅度的力在一个短暂的时间内作用。在一个极端的情况下，这个力集中在一个点上，可以用狄拉克三角洲来表示。在所有情况下，当施加非常强的外部信号时，在非常短的时间间隔内，使用脉冲信号[8]引入来模拟这些情况。
狄拉克三角洲可以用符号表示：因此统一规范；这意味着这个函数满足属性对于所有连续函数以下为：近似具有更好的行为; 然而对于的所有值哪里,已规范化。那么，当求解极限时获得，当充当过滤器，从所有可能的值中选择点中的值。
在[10]，使用以下参数计算积分：由于为所有人，我们可以更改以下积分极限和，其中是一个正无穷小数。更重要的是，假设在中连续，其值位于所选间隔内近似于，我们可以得出以下近似值：以及，更改限制，然后
3.收敛性分析
将使用分布理论、勒贝格收敛定理和卷积性质研究估计量的收敛性。我们将使用分布理论、勒贝格收敛定理和卷积性质来研究估计量的收敛性。
3.1. 三角洲继承
用于解决与使用(12)，必须寻找一个替代函数，即定义函数作为满足过滤器特性的函数对于所有连续函数，象征性书写delta函数的一种类型是满足等式
3.2. 勒贝格收敛定理
让是一个功能序列，，使得对于一些可测量的.如果存在，因此，对于所有人，然后
应用收敛定理，根据[11],是一系列勒贝格可积函数间隔。假设收敛于对于某个极限函数，有一个非负Lebesgue中的函数所以，对于所有人来说,然后是极限函数属于勒贝格函数；继承收敛因此[12],应用卷积，这始终是一个函数，它可以与平移和导数进行切换，也具有正则化效果。让在中是一个分布、和; 然后对于所有多索引,哪里是狄拉克的三角洲[13].
根据埃尔南德斯（1994），让,、和。
如果至少有一个分布和有紧密支撑，那么让是一个多指标；然后，如果具有紧凑的支撑然后，然后，假设，然后给予因此，可以观察到是卷积的单位元素，被视为代数运算。
现在，我们将把分布理论应用于Moreno等人（2010）提出的估计技术的收敛性研究。
在这种情况下，假设LTI系统，转换矩阵为Lebesgue收敛定理给出了应用卷积，我们得到并解决限制获得哪里满足Lyapunov稳定性条件，意味着对于所有LTI; 因此系统是有界的。
具有单调指数行为，因此收敛于植物模型(三).
从以下表达式中：哪里获取，根据[14]，矩阵是一个常数，Hurwitz和矩阵是时变的，因此是在每次迭代中设置的矩阵，但不需要进一步调整。
然后是系统(46)全局指数稳定[14].
4.结论
我们从基于状态估计器的LTI系统模型开始，该模型具有确定收敛性的事件检测。
收敛到中给出的函数族(42)，所以估计汇聚到的工厂模型。
在未来的研究中，假设对越来越小，可以确定最小值，因此。
采用分布理论；这推广了函数的概念，将导数的概念推广到所有局部可积函数；允许拓扑变化（同胚），目的是赋予它数学严密性。
在应用该理论后，获得了状态估计量的模型收敛性，允许在未来使用这种类型的状态估计量。
这项研究为信息有限、连续传感器价格昂贵或可靠性较低的系统提供了巨大的优势，用具有更高电阻特性和更低费用的二进制探测器取代它们。
竞争性利益
作者声明，他们没有相互竞争的利益。
致谢
感谢Jairo Alberto Villegas G博士在本文实现的收敛性研究中做出的宝贵贡献。
