无网格线方法是求解含时偏微分方程的有力工具。在积分步骤中，选择合适的点集（例如空间域中的自适应节点）可能很有用，尽管在某些情况下这可能会导致不适配。在本文中，为了在该方法的每个步骤中生成平滑的自适应点，在Equidistribution算法中施加了两个约束。这些约束导致两种不同的网格，即准均匀网格和局部有界网格。这避免了应用径向基函数时的不适条件。此外，为了生成更平滑的自适应网格，还研究了另一种修改方法，例如在Equidistribution算法中使用修改后的弧长监控函数。通过一些数值例子研究了它们对提高精度的影响。将两种约束的考虑结果进行了比较，并与均匀网格进行了比较。
1.简介
近十年来，无网格方法得到了广泛关注。他们以其简单性和从分散数据重建多元函数的能力而闻名。此外，使用径向基函数（RBF）的无网格方法是求解偏微分方程（PDE）的强大方法。应用RBF进行偏微分方程数值求解的最初发展归功于Kansa的开创性工作[1,2]。他使用一些搭配节点来搭配RBF。与有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和其他基于网格的方法相比，使用RBF的无网格方法具有几个优点[三]。这些优点之一是它们不需要网格或元素。这些方法只需要一些分散的节点。这意味着可以自由选择节点。由于这种有用的特性，出现了一个重要的几何问题：如何选择节点来提高精度？这一问题导致对无网格方法中节点分布的研究过多。一些研究人员已经考虑过这个问题[4–8]。选择一组有效的中心节点（称为自适应节点）的有效方法之一是均衡分布方法[9,10]。在这种方法中，目标是找到区间的划分，使得给定的权重函数在每个子区间上取一个给定的常量值。这些自适应中心节点可用于无网格方法，如无网格直线法（MMOL）。直线法（MOL）是求解偏微分方程的著名数值方法[11,12]。在无网格线方法中，使用RBF逼近MOL中的解。该方法对于使用自适应节点非常可靠[13,14]。在该方法的每个步骤中，都需要空间域中的一些中心节点。在这种方法中，自适应中心节点是一种很好的选择。但是，由于在某些情况下问题的条件不好，当节点彼此靠近时，在许多实际情况下，所选节点必须具有某些平滑特性。这导致了一些限制。
在本研究中，提出了两个可靠约束，并研究了它们在应用带自适应节点的MMOL时的影响。第一种约束称为准均匀网格，也已应用于一些研究中[13]。本研究的目的是展示另一种约束，即局部有界网格的应用，并讨论它和对网格的一些修改对提高精度的影响。本文的结构如下。在节中2介绍了径向基函数插值。在节中三，提出了一种均匀分布算法，并施加了两个约束以获得中心节点。在节中4在MMOL中应用自适应节点来求解一些与时间相关的偏微分方程。
2.近似函数的径向基函数
径向基函数是依赖于距离的实值基函数在两点之间。常用的RBF有多二次型（MQ）、高斯型、薄板样条（TPS）和紧支撑RBF（CS-RBFs）。MQ径向基函数在RBF的大多数应用中提供了最准确的近似值[15]。MQ定义为，其中称为形状参数。本文在数值算例中使用了MQ。近似给定的分散数据位于个节点，RBF插值由以下组合给出RBF；也就是说，哪里和表示欧几里德范数。是RBF，并且s是将要确定的系数。通过配置插值条件(,)，方程组得到如下矩阵形式：哪里和.
近似函数的精度取决于各种因素。其中最重要的是：如何选择RBF、节点分布和形状参数的选择。找到最佳形状参数是一个悬而未决的问题，尽管已经进行了集中的研究来为给定的问题确定一些合适的形状参数[16,17]。在本文中，我们关注于分布节点以获得更精确的近似。在下一节中，将介绍一种均衡方法来选择自适应中心节点。
3.一种对中心节点的自适应方法
基于RBF无网格方法的无网格特性，可以自由选择一组节点，如均匀或随机方案。但是，在解的振荡性相对较大甚至出现冲击的情况下，可以应用一些自适应方案[4–8]。均衡算法是构造自适应中心节点的可靠方法。均衡分布是在一定间隔内分布节点的过程，以便确定的权重函数均匀分布在所选网格上。
3.1. 公平分配
定义1（公平分配）。让是非负分段连续函数()和一个常数，这样是一个整数。网格在上称为均匀分布（e.d.）关于和，如果功能称为“monitor”，它取决于底层函数。有关监控器的更多详细信息，请参阅[18,19]。在本文中，弧长监测器()已应用。要在间隔的平坦部分强制至少几个节点，请使用一个参数可以插入弧长监视器，即修改后的弧长在数值示例中，说明了该参数的影响。
对于给定的监视器功能和常数，Equidistribution以生成e.d.网格分三步完成。
步骤1。近似值.
第2步。确定最小整数这样的话并定义.
步骤3。查找网格通过逆插值。要点由提供.
图1显示了基于的e.d.节点具有结果表明，中心节点集中在梯度最陡的区域。浓度使区域中的节点彼此靠近。当中心点之间的最小距离较小时，必须调整MQ形状参数，以使相关线性系统的条件数保持合理。此调整并不总是适用的。因此，可以对中心节点的分布施加一些约束。下一节将介绍两个最常见的约束以及构造这些约束自适应节点的算法。
3.2. 带约束的均衡
两个最重要和最常见的约束是拟一致约束和局部有界约束。在1974年Pereyra和Sewell的工作中引入了受第一约束的函数的均衡[9]。第二个更重要的约束是考茨基和尼科尔斯在1980年提出的[10].
3.2.1、。准均匀网格
网格相对于常数称为准均匀如果哪里
定义2（亚均衡）。根据定义1，网格在上称为次均匀分布（s.e.d.）关于和如果，对于,现在问题如下：给定一个函数和常量和，找到一个网格(1)s.e.d.日期关于和,(2)关于的拟均匀.下面的定理解决了这个问题。
定理3。如果是一个e.d.网格关于和，其中具有和（和等于最小整数，使得)，然后是s.e.d关于和并对(6). 有关实现的证明和更多详细信息，请参阅[9].
3.2.2. 局部边界网格
网格相对于常数是局部有界的，如果哪里,
均衡问题如下：给定一个函数，常量和，找到一个网格(1)s.e.d.日期关于和,(2)关于的局部有界.下面的定理解决了这个问题。
定理4。让,、和哪里.如果是一个e.d.网格关于还有一些，然后s.e.d.开启关于和、和用于一个有,.
有关实现的证明和更多细节，请参阅感兴趣的读者[10].
3.2.3. 数值算法
基于定理三和4，现在可以构建一个s.e.d.网格，它是拟均匀的或局部有界的。在实际应用中，函数通常以离散形式给出近似值；也就是说，我们有监视器功能在某些方面在网格上(). 基于定理三和4，以找到关于和，它是关于的拟均匀或局部有界的，我们需要三个主要步骤。
步骤1。填充监视器功能生成填充函数使用(8)和(11)分别针对拟均匀和局部有界（对于局部有界）。
第2步。确定最小节点数，因此.
步骤3。公平分配关于查找新网格.
值得注意的是，作为，网格是相对于常量的约束，以便网格中的点数量可能大于满足约束所需的数量。实际上，分数是恒定的，并且e.d.过程是针对为了获得更深入的见解，请联系感兴趣的读者[9,10].
图1显示了使用拟均匀约束和局部有界约束生成的节点。它表明，与没有任何约束的网格相比，受约束网格具有更多的平滑特性。此外，通过修改和，可以在网格中获得一些任意属性。值较小的，网格变得接近均匀网格，因此两个约束网格是一致的。
4.自适应节点在无网格直线法中的应用
4.1. 无网格直线法（MMOL）
无网格线方法（MMOL）是一种近似求解含时偏微分方程的数值方法。在MMOL中，在每个时间步长中，解由径向基函数近似。
考虑以下等式：具有边界和初始条件通过时间离散，解的RBF近似步调一致由提供哪里和假设空间域由离散化节点()，使得,.通过配置(13)有了中心节点这些方程以矩阵表示法表示，如下所示哪里和.来自(15)和(17),可以写为：哪里.
一般来说，在任意时间，我们有替换(19)到(13)，将得到以下常微分方程：要写入(20)以矩阵形式，让因此(20)可以写为：方程式(22)是具有以下初始和边界条件的常微分方程组：该ODE可以通过诸如龙格-库塔方法之类的ODE解算器来求解。通过应用四阶Runge-Kutta方法（RK4）(22)，将获得以下方案：哪里是时间步长。这个方案在每一步都能得到解。
4.2. MMOL中的自适应节点
本节将自适应无网格线方法应用于具有初始条件的含时偏微分方程。第一步，根据初始条件在空间域中生成自适应节点。假设()是当时的近似解在不同节点(). 然后，将MMOL应用于这些中心节点以获得近似值()时间接下来，根据的属性获得一组新的自适应节点作为函数。最后，()通过插值值获得一些文献研究了自适应中心节点在MMOL中的应用[13,14]。在每个步骤中生成自适应中心节点时，可以应用每个约束。在本研究中，我们研究了两个引入的约束条件和参数的影响和控制中心节点的位置。为了比较近似解的精度，研究了两个著名的偏微分方程，Burgers方程和KdV方程。在整个数值示例中，我们使用MQ-RBF。
例5。考虑伯格方程关于区间。确切的解决方案是哪里,、和.初始条件和边界条件和用精确溶液测定。通过选择该方程采用均匀节点、拟均匀节点和局部有界自适应节点求解。在图中2给出了近似解和中心节点。参数值,和形状参数，的-规范，以及-近似解的范数如表所示1注意不同值的影响和尽量避免生病。这些参数的值取决于节点数量及其分布形式，如表所示1.
例6。考虑KdV方程：具有和。初始条件为确切的解决方案是
计算域为.边界条件和由精确解指定。在本例中，相对于区域的长度，初始条件的梯度不明显因此，参数的作用和控制节点集中在适当的区域是非常重要的。不同网格节点近似解的解和绝对误差如图所示三表中总结了实施结果2.
5.结果和结论
本文研究了MMOL中自适应节点在含时偏微分方程中的应用。引入了一种均匀分布算法来生成自适应中心节点。为了避免RBF近似中的病态条件，对自适应节点施加了两个约束。为了说明约束的影响，将该方法应用于两个著名的时间相关偏微分方程。
在示例中5，结果如图所示2确认，对于局部有界节点的近似解具有良好的精度，而其他两个节点在相同的节点数下无法得到可靠的近似解；它们需要更多的节点。对于，拟均匀节点与局部有界节点一样工作，但均匀节点还没有很好的精度（图三). 对于，这三种方法的精确度都很高。因此，结果表明，基于局部有界节点的近似解比其他两种近似解具有更高的精度，尽管拟均匀节点可以从均匀节点获得更精确的近似解。根据表的结果1，的-近似解的范数使用均匀节点似乎是可以接受的，但图中显示，此近似解并不准确，而其他两个网格可以进行更精确的近似。此外，结果表明，局部有界网格在节点数较少的情况下具有更精确的近似解。对于，说明了三个网格的结果是相同的，因为对于大量节点，为了避免ill条件必须很小，这将使约束网格成为统一网格。因此，结果变得相同或相近。
在示例中6，图4显示用于均匀节点-近似解不准确，为了获得更准确的解，至少需要150个均匀节点，而对于拟均匀节点和局部有界节点，可以获得很好的精度。这个例子的结果表明，准均匀网格可以从均匀网格得到更精确的结果。此外，通过使用局部有界网格，结果具有最佳的准确性。它来源于基于初始条件和解函数的局部有界网格的光滑性。表中结果分析2在本例中，通过使用，近似解的误差比均匀网格和拟均匀网格的近似解误差更精确.通过均匀网格获得的结果与通过局部有界结果表明，与拟均匀网格相比，局部有界网格能产生更精确的解，且两者都优于均匀网格。值得注意的是，有两个参数和对网格的平滑度以及结果的准确性有着非常重要的作用。
利益冲突
作者声明，该论文的出版不存在利益冲突。
