多解现象是P3P问题中的一个重要问题，因为对于许多实际应用来说，在实际实施之前，必须首先解决给定P3P问题可能存在多少解的问题。在这项工作中，我们表明，在给定3个控制点的情况下，如果相机的光学中心靠近通过围绕控制点三角形的3条边中的每一条旋转控制点三角形的外接圆而产生的3个环面中的一个，除了原始解之外，总有一个附加解，其对应的光学中心位于其中一个控制点的小邻域中。换句话说，在这种情况下，P3P问题总是至少存在两个解。由于对于所有这些附加解决方案，其相应的光学中心必须位于控制点的小邻域中，因此这3个控制点构成了P3P解决方案的奇点。上述结果除了具有学术价值外，还可以为P3P从业者提供一些理论指导。
1.简介
透视三点问题或P3P问题是一种基于单视图的姿势估计方法。它最初是由格伦特介绍的[1]1841年，一个世纪后，主要通过Fischler和Bolles在1981年的工作在计算机视觉界普及[2]. 由于它是具有有限个解的最少点数，并且不需要跨视图进行特征匹配，因此它已被广泛应用于各个领域[三–11]无论是因为其在机器人和航空等受限工作环境中的最低要求，还是因为其作为基于最小集的求解器的计算效率，在基于稳健统计的迭代估计框架中反复调用，例如众所周知的RANSAC类框架，其中计算时间随最小集的基数呈指数增长；因此，P3P问题因其最低要求而被优先考虑。
P3P问题的定义如下：给定世界坐标系中三个已知坐标的控制点和一个校准相机的透视投影，求出相机在世界坐标系内的位置和方向。结果表明，P3P问题可能有1个、2个、3个或最多4个解决方案，具体取决于相机光学中心及其3个控制点之间的配置[12]. 如果光学中心和3个控制点碰巧是非循环的，问题就会退化，可能会有无穷多个解。
因为在许多实际应用程序中，在真正实现之前必须回答一些基本问题（例如：它有唯一的解决方案吗？如果没有，它可以有多少解决方案？解决方案稳定吗？），P3P问题中的多解现象自出现以来一直是研究的热点。传统上，P3P问题的多解现象是通过首先将其3个二次约束转化为一个四次方程来分析的，然后定位该四次方程的根来导出可能的解。例如，Haralick等人总结了6种不同的转换方法[12]. Gao等人[13]给出了完整的解决方案分类。高和唐[14]并从概率的角度对解的分布进行了分析。最近，瑞克[15–17]系统地分析了多解现象，特别是P3P问题的光学中心靠近危险圆柱的情况。从几何角度看，张和胡[18]结果表明，当光学中心位于危险圆柱上时，相应的P3P问题必须有三个不同的解，其中一个必须是双解。洛[三]张和胡[19]结果表明，当光学中心位于垂直于控制点平面的三个垂直平面上并通过控制点三角形的三个高度之一时，P3P问题必须有一对边共享解和一对点共享解。（如所示[19]一对边共享解决方案是指两个这样的解决方案，如果它们的光学中心重叠，它们必须共享两个控制点或共享控制点三角形的公共边。类似地，一对点共享解决方案是指两个这样的解决方案，如果它们的光学中心重叠，它们必须共享一个公共控制点。）孙和王[20]解释了上述三个垂直面与危险圆柱相交处解的变化。吴和胡[21]在他们的“重新审视PnP问题”工作中对退化病例进行了深入调查。最近，Wang等人[22]证明了边共享解对通常伴随着一个点共享解对，或者这两种解对通常是配对的。他们还显示[23]如果光学中心在所有6个环面之外，Grunert四次方程的每个正根必须对应于P3P问题的正解。他们的工作表明，当光学中心位于所有6个圆环的外部时，根解关系是一对一的对应关系，但当光学中心在其中时，则更为复杂。
在这项工作中，我们研究了P3P问题中的多解现象，即相机光学中心非常靠近三个环形体之一的情况。更具体地说，基于Grunert的推导[12]，我们证明了当给定P3P问题的光学中心接近于控制点三角形绕其三条边的外接圆旋转所生成的三个环面中的任何一个时，除了其原始解外，总是有一个附加的解决方案，其光学中心总是位于控制点的一个小邻域中。换句话说，这样的P3P问题总是至少有两个解决方案。此外，由于对于所有这样的附加解决方案，它们的光学中心必须在控制点的近邻中，因此这3个控制点是解决方案的光学中心分布的奇异点。
2.P3P问题、3个环面和Grunert的四次方程
2.1. P3P问题
如图所示1，，、和是已知距离的三个控制点：，、和;是相机的光学中心。由于摄像机（针孔模型下）已校准，、和投影射线可以被视为已知实体，然后根据余弦定律，对这三个未知数有以下三个基本约束，、和英寸(1)必须保持：因此，P3P问题意味着确定这种正三联体满足中的所有3个基本约束(1). 而多解现象是指存在多个这样的正三元组都满足中的3个约束(1).
2.2。三个环形线圈
如图所示1，通过旋转三角形的外接圆在它的三个侧面中的一个周围分别可以生成3对环形（或6个环形）[24]如图所示2对于每个环形对，一个是通过旋转弧与对角来生成的（或，或)另一个带补充角()（或()，或()). 在这项工作中，3个环形是指仅以对向角生成的3个环形，、和，表示为环形_，环形_、和环形_分别是。因此，当光学中心位于圆环上时_（或环形_，或环面_)，对角钢（或，或)两条投影射线()（或()，或())根据定义，总是（或，或).
2.3. 格伦特推导
如所示[12]，通过设置和, (1)可以在中转换为四次方程作为哪里可通过以下二次方程确定：发件人(4)可以看出，给定一个正根英寸(2)，我们总是可以获得.来自(5)，如果是阳性可以得到正三联体(，，)必须是P3P问题的积极解决方案。注意，给定一个正根英寸(2)，可能有的正根英寸(5). 换言之，每个积极因素可以对应于P3P问题的正解。在[23]作者指出，如果光学中心位于所有6个环形外，则每个正根必须对应于P3P问题的唯一正解。在下一节中，我们将说明当光学中心靠近截面中的三个环形体之一时2.2，相应的P3P问题必须至少有两个不同的正解，一个是其光学中心位于原始位置，另一个是光学中心位于三个控制点之一周围的小邻域中。这里的“两个不同的解决方案”是指“具有相同3个控制点的两个解决方案，但它们的光学中心位于不同的位置。”
3.P3P问题解的奇异性
我们有以下主要结果。
提议1。如图所示1和2，如果光学中心接近环形线圈_，那么除了一些特殊的曲线外，总有另一个光学中心在控制点附近这样的话是P3P问题的另一个正解.
证明。如果光学中心躺在圆环上_，因此，、和是四次方程的根(2).
假设光学中心不在圆环上_，但非常接近；然后是来自到三个控制点，、和具体如下：，，，其中是相当小的，因为非常接近环形线圈_事实上，如果光学中心无限小地接近圆环，则可能无穷小地接近0_.
自非常小，所有5个系数，可通过其线性项近似于，，换句话说，我们可以保持，不变，但仅可能会有小的变化在.
什么时候？，是四次方程的根(2). 什么时候？，应该有根线性化方程的(2)在，，.自(2)是一个四次方程，我们只需要考虑最后两项：即，如果什么时候，自什么时候，那么如果，我们有让我们考虑一下和的什么时候.
什么时候？，如果，我们有自将其代入上述方程中，通过一些操作，上述方程可以简化为方法，或控制点三角形是直角三角形。在这种情况下，环面_退化为球体。
如果，表示3个对角钢(，，光学中心的有三个控制点，、和必须满足以下关系：自可以表示为那么如果，
总之，如果，如果，总是存在的，我们总是可以通过选择其中之一或.几何上，指光学中心位于环形线圈内部_、和指光学中心在环形线圈外_.
自什么时候，来自(5),.来自，，一个正三胞胎可以得到，这一定是P3P问题的另一个解决方案。自很小，因此，当，，表示对应的光学中心必须接近控制点换句话说，在控制点附近因此，证明了该命题。
备注2。当光学中心接近环形线圈_（或环形_)，通过设置变量，（或，)，我们同样可以证明另外存在一个正解，其对应的光学中心位于控制点附近（或).
备注3。什么时候？比方说是直角，环形_变成了一个球体，这是一个非常特殊的情况。如张和胡所示[18]孙和王[20]，在这种情况下，这对边共享解退化为双重解。
备注4。事实上，上述讨论中的“邻里亲密度”可以明确量化为或两者之间的线性关系（社区规模）和（光学中心的接近程度到圆环体）。
备注5。从上面的讨论中，我们可以看到，如果光学中心靠近三个圆环中的一个（圆环的内部或外部），除了一些特殊曲线外，总是存在一个P3P正解，其光学中心位于三个控制点之一的附近。这表明这3个控制点是P3P解的光学中心分布的奇点。
4.计算机模拟
虽然我们命题的正确性在于证明，但我们也通过计算机模拟进行了验证。我们的模拟程序如下。
生成3个非共线控制点，、和.
重复（1）-（4）。(1)随机选择一个光学中心靠近三个环形线圈中的一个。(2)发件人，计算中的三个二次约束(1)然后将其转换为四次方程(2).(3)计算的根(2)确定一个小根.(4)计算对应于如第节所示三.
我们生成了大约10000个三重控制点，每个三重控制点将模拟大约10000个不同的光学中心。所有的模拟都证实了我们的一般理论结论；也就是说，所有附加P3P解决方案的光学中心都位于控制点附近。图三是控制点周围产生的光学中心分布的示例（为了直观清晰，仅显示了100个点）。在图中3（a），蓝色点是圆环体附近的光学中心_，绿色点是控制点，粉红色的点是控制点，红点是这些附加的相应P3P解决方案的光学中心，它们都靠近控制点.图3（b）放大的部分在控制点附近吗它表明这些光学中心位于图中的每个蓝色点3（a）图中有相应的红点3（b）换句话说，一个蓝色点和3个控制点构成P3P问题，其光学中心（蓝色点）靠近环形_，并且该P3P问题具有另一个解决方案（对应的红点和3个控制点），其光学中心（红点）靠近控制点.
5.结论
在这项工作中，我们发现，给定3个控制点，如果相机光学中心靠近3个圆环体中的任何一个，除了一些特殊曲线外，这个P3P问题总是有一个额外的正解，其对应的光学中心总是位于3个控制点中的一个的近邻。因此，这3个控制点是P3P解的光学中心分布的奇点。换句话说，P3P问题解的3个控制点周围存在一些奇异性。
我们的结果对多解现象的本质提供了一些新的见解；该结果除了具有学术价值外，还可以为P3P从业者合理安排控制点以避免基于P3P的应用中出现不稳定解提供一些理论指导。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
确认
本研究得到了国家自然科学基金61402316和61403373的资助。
