提出了一种考虑通信半径和节点分布密度的改进SIRS模型。该模型同时捕获了蠕虫传播过程的时空动态。利用微分动力学理论，我们研究了无线传感器网络（WSN）中蠕虫随时间的传播动力学。得到了决定无线传感器网络中蠕虫传播全局动态的繁殖数。还发现了平衡及其稳定性。如果繁殖数小于1，则传感器节点的感染部分消失；如果繁殖数大于1，则感染部分在地方病平衡点处渐近稳定。基于再生数，讨论了无线传感器网络中蠕虫传播的阈值，即节点的通信半径和分布密度。最后，数值模拟验证了理论分析的正确性。
1.简介
传感器网络由数百甚至数千个传感器节点组成，这些节点可以在无法到达的地形或救灾行动中随机部署[1]. 无线传感器网络（WSN）作为一种新型的信息和通信网络，由于其在民用和军事应用中的潜力，例如在未知部署区域的入侵检测、周边监测、信息收集和智能后勤支持等，已受到全世界的关注[2–4].
随着无线传感器网络的广泛应用，无线传感器网络研究已经成为一个热点。针对能耗问题，提出了一些延长无线传感器网络寿命的方法[5–7]，设备放置[8]和拓扑管理[9]. 因为传感器节点是受限的源，它们的防御能力较弱，是蠕虫攻击的目标。将恶意软件注入某些节点已成为严重威胁[10]. 最近，出现了针对无线设备的恶意代码，这些代码可以使用Wi-Fi和蓝牙等无线通信技术在设备之间直接传播[11–14]. 例如，像Cabir这样的计算机蠕虫使用蓝牙接口在手机之间传播，这意味着蠕虫已经侵犯了无线域，WSN也极易受到恶意软件的攻击。
已经使用流行病模型研究了恶意对象在互联网上的行为，并为控制网络中的蠕虫流行提供了见解[15–20]. 在[15]作者提出了一个描述电子邮件用户行为的电子邮件病毒模型，并分析了电子邮件病毒在不同网络拓扑中的传播特征。在[16–20]提出了具有时滞的传染病模型，分析了蠕虫流行的动力学特征。为了有效防御蠕虫入侵，有必要深入了解无线传感器网络中蠕虫传播的动态特征。现有研究证明，流行病模型对于刻画蠕虫传播特征是有价值的。由于无线设备中的蠕虫传播与互联网上的传统蠕虫传播有着基本的相似性，近年来一些研究人员广泛应用流行病模型来研究无线传感器网络中的蠕病毒传播[11,21–23]. 在[21]提出了一个带有反馈控制器的SIRS恶意软件传播模型，并分析了恶意软件在移动无线网络中流行的Hopf分岔动力学。中的作者[22]提出了一种带有接种室的流行病模型，该模型能够捕捉蠕虫传播过程的时空动态，并基于该模型进行了数学分析和数值模拟。上述模型的共同问题是，模型中没有考虑无线传感器网络的能耗、通信半径和节点分布密度等特性。在[11]作者开发了一个传播的数学模型，其中包含了从被测协议的通信模式中导出的重要参数。基于此模型，作者分析了恶意软件在本文提出的典型广播协议上的传播速度和传播程度。Wang和Li导出了一个iSIR模型，该模型描述了WSN中节点能量消耗的蠕虫传播过程[23]. 通过数值模拟，观察了网络拓扑结构和节点能量消耗对WSN中蠕虫传播的影响。然而，作者没有根据该模型进行数学分析。事实上，通过明确的数学分析可以找到影响蠕虫传播的关键参数。
为了更好地刻画无线传感器网络中蠕虫传播的特征，本文通过构建一个改进的SIRS流行病模型来研究无线传感器网络可能存在的蠕虫的攻击行为。该模型考虑了以下三个因素：（i）节点能耗；（ii）节点的通信半径；以及（iii）无线传感器网络中节点的分布密度。基于此模型，我们通过找到模型的平衡点来分析蠕虫流行的稳定性。
本文其余部分的结构如下：2，我们分析了无线传感器网络的拓扑结构并给出了模型公式。章节三推导了模型的平衡点，并讨论了平衡点处蠕虫传播的稳定性。在节中4和5进行了数值模拟，验证了理论分析的正确性，并分别给出了一些结论。
2.拟议模式
2.1. 系统描述
我们对一个由以下部分组成的无线传感器网络进行建模节点。节点均匀分布在面积（节点平均密度为)每个节点的无线通信范围为WSN的拓扑结构如图所示1.
基于现有的流行病模型[24,25]，WSN中的节点分为三种状态：（i）敏感状态()：中的节点没有被蠕虫感染，并且这些节点容易受到WSN中蠕虫的攻击。（ii）感染状态()：节点已被蠕虫感染，并且能够感染WSN中的其他节点。（iii）恢复状态()：节点安装了可以识别和删除蠕虫的检测工具，或者节点安装了软件修补程序以消除蠕虫攻击的节点漏洞。
我们考虑这三种状态之间的以下状态转换：（i）用户可以使用状态中的对策免疫其节点和具有概率和分别是。（ii）当节点能量耗尽时，一些节点有可能成为死节点.（iii）受感染的节点易感染的有效感染率.（iv）一些恢复的节点有可能成为易受攻击的节点.节点状态之间的转换关系如图所示2.
2.2. 模型推导
节点的通信区域表示为，并且WSN中单位区域中易感节点的密度表示为然后，下列方程式成立：发件人(1)，我们可以
根据图中的状态转换关系2，WSN中蠕虫传播的数学模型可以推导如下：为了方便起见，让然后，系统(三)可以写为
3.平衡的稳定性分析
在本节中，我们将找到系统的平衡(5)并研究其稳定性。系统的平衡(5)由以下解给出让（第二个方程式(6))；我们有或和. 对于以下情况，我们有无虫平衡对于以下情况，我们有地方性平衡让值得注意的是，地方病平衡只有在以下情况下才有意义.
3.1. 无蜗杆平衡及其稳定性
引理1。如果满足以下条件，则无虫平衡点是局部渐近稳定的和不稳定，如果.
证明。根据，系统的特征方程(5)无虫平衡是相当于方程式(11)有一个特征根和方程的根显然，根据二次方程的根和系数之间的关系(12). 因此，当, (11)无正实根，无虫平衡是局部渐近稳定的。什么时候？, (11)具有正根；因此，无虫平衡是一个不稳定的鞍点。
此外，以下定理成立。
定理2。如果满足以下条件，则无虫平衡点是全局渐近稳定的
证明。从系统的第一个方程(5)因此，.何时，我们获得考虑一个Lyapunov函数因此，我们证明了无蠕虫平衡全局渐近稳定。
3.2. 地方平衡及其稳定性
现在，我们研究地方病平衡的局部稳定性.系统特征方程(5)处于地方病平衡是相当于哪里,、和.
显然，,,、和根据Routh-Hurwitz定理[26,27]，因此(17)有负实部。因此，地方病平衡点是局部渐近稳定的。
通过以上讨论，我们可以总结出以下结论。
引理3。如果则地方病平衡点是局部渐近稳定的。
注意，WSN中的节点数相对稳定；也就是说，当时，节点数,、和在个州、和分别满足因此，系统的动力学(5)相当于以下系统：很明显，什么时候，系统(19)具有独特的正平衡，其中现在，我们陈述并证明了关于地方病平衡点全局稳定性的一个结果系统的(19).
定理4。什么时候？、地方病平衡系统的(19)全局渐近稳定。
证明。考虑以下Lyapunov函数[28]:时间导数沿着系统的解决方案(19)由提供证明已完成。
备注5。根据定理4，我们得到; 然后地方性平衡系统的(5)全局渐近稳定。
4.蠕虫传播阈值分析与数值模拟
我们已经证明了基本生殖数等于零是蠕虫是否被消除的阈值。什么时候？，可以消除WSN中的蠕虫，并且系统(5)将稳定在无蜗杆平衡。什么时候？，WSN中的蠕虫将持续存在，系统(5)将稳定在地方病平衡。为了验证理论分析的正确性，我们从以下两个方面进行了蠕虫传播阈值分析和数值模拟。
4.1. 节点通信半径
让; 我们可以得到关于节点通信半径的蠕虫传播阈值; 也就是说，什么时候,，根据定理2，可以消除WSN中的蠕虫，并且系统(5)将稳定在无虫平衡；什么时候,，根据备注5，WSN中的蠕虫将持续存在，系统(5)将稳定在地方均衡。
我们选择一组模拟参数，如下所示：,,,,,、和经计算，我们有。WSN中易感节点、受感染节点和恢复节点的初始值为,、和.何时采用不同的值，仿真结果如图所示3（a）–3（d）.
什么时候？和，数字3（a）和3（b）显示该系统(5)稳定在无虫平衡。仿真结果与定理一致2.
什么时候？和，数字3（c）和3（d）显示该系统(5)稳定在地方病平衡。仿真结果与备注一致5.
4.2. 节点分布密度
让; 我们可以得到关于节点分布密度的蠕虫传播阈值.何时,，系统(5)只有一个无虫平衡点，并且全局渐近稳定；什么时候,，系统(5)除无虫平衡外，存在一个地方病平衡点，地方病平衡是全局渐近稳定的。
我们选择一组模拟参数，如下所示：,,,,,、和通过计算，我们得到.系统初始值(5)设置为,、和.何时,,、和，我们可以,,、和仿真结果如图所示4（a）–4（d）.
什么时候？和，数字4（a）和4（b）指示系统(5)稳定在无蠕虫平衡点，最终控制蠕虫传播。仿真结果与理论分析一致。
什么时候？和，数字4（c）和4（d）表明轨迹收敛于地方病平衡点。结论与理论分析一致。
5.结论
本文提出了一种改进的SIRS模型，用于分析无线传感器网络中蠕虫传播的动力学。该模型可以描述蠕虫在能量消耗和不同节点分布密度下的传播过程。基于该模型这完全决定了通过显式数学分析得到的蠕虫传播的全局动力学。来自定理4和2，我们了解到蠕虫将在以下情况下在WSN中得到控制，否则将普遍存在。最后，基于讨论了蠕虫传播阈值对无线传感器网络中节点通信半径和分布密度的影响。数值模拟验证了理论分析的正确性。研究结果表明，减小通信半径值或降低节点分布密度是防止蠕虫在WSN中传播的有效方法。本文的研究为预测和控制无线传感器网络中的蠕虫传播提供了理论依据。值得指出的是，在建模时，我们没有考虑诸如“碰撞”和节点的异质分布等物理效应对感染率的影响，这是我们未来的重点。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
致谢
本研究得到了国家自然科学基金（61379125）、山西省自然科学基金会（2015011053）、忻州师范大学重点建设学科（ZDXK201204、XK201307）的资助。
