研究了参数未知的超混沌Lü系统的反相同步和完全滞后同步。基于李亚普诺夫稳定性理论，推导了实现混合滞后同步的充分条件。通过自适应控制方法对优化参数观测器进行了解析逼近。数值模拟结果验证了该方案的有效性。
1.简介
过去二十年来，混沌因其“随机”行为和对初始条件的敏感依赖性而得到了深入研究。尽管混沌行为具有复杂性和不可预测性[1]，它可以被控制，并且两个混沌系统可以同步[2]. 自从Pecora和Carroll介绍了同步两个相同混沌动力系统的方法以来[三]，混沌动力学系统的同步由于其在安全通信、化学反应、生物医学、社会科学和许多其他领域的理论挑战和潜在应用而备受关注[4–6]. 已经提出了各种同步，如完全同步（CS）、相位同步（PS）、滞后同步（LS）或预期同步（as）以及广义同步（GS）[7–16]. 随后，人们提出了许多有效的同步方法，如线性或非线性反馈同步、自适应同步、滞后同步、Q-S同步和预期同步[17–26].
一个有趣的问题是，交互式混沌系统的部分状态在一种同步中同步，而其他状态在另一种同步类型中同步。这种现象被视为混合同步。由于它的潜在应用，最近介绍了一些类型的混合同步。在[27]在Chen-Lee混沌系统中，一些变量可能收敛到同步，而其他变量则处于反同步状态。在[28]使用标量耦合，在两个单向耦合混沌振荡器中，一些状态变量可能处于完全同步状态，而另一些可能处于反同步状态。研究发现，滞后同步具有重要的技术意义。通常，滞后同步可以通过将响应系统耦合到驱动系统的过去状态或通过系统参数的不匹配来实现。因此，受到[29,30]为了理论研究和实际应用，邀请人们通过线性输入研究混沌系统的共存滞后同步。超混沌系统中的混合滞后同步也可能是一个有用的课题，特别是由于它具有抗攻击和解密的安全性，在安全通信中具有潜在的应用前景，安全密钥和载波可以以更复杂但安全的方式生成。
本文中，两个完全相同的超混沌Lü系统的共存滞后同步只能通过线性控制器来实现。基于李亚普诺夫稳定性理论，推导了实现混合滞后同步的充分条件。数值仿真结果表明了该方案的有效性。
2.1. 超混沌Lü系统
在本文中，我们考虑以下超混沌Lü系统：动力学行为及其控制已在[31]. 什么时候？, ,, , 系统(1)有两个正的Lyapunov指数，即，,，和系统的超混沌吸引子(1)如图所示1（3D概述）。
2.2. 混合滞后同步公式
在本节中，将通过线性反馈控制方法研究超混沌Lü系统的混合滞后同步。为方便起见，驱动系统表示如下：受控响应系统写为哪里是要构造的控制器。
本文的目标是确定控制器，以便状态变量, 、和响应系统反相同步、和在驱动系统中分别具有时滞，而第三个状态变量完全同步到有时间滞后。为此，具有时滞和参数的混合同步的相应变量的误差通常定义为然后我们可以得到以下定理。
定理1。系统的第三对对应变量(2)和(三)将达到完全滞后同步，而系统的其他三对对应变量(2)和(三)在以下情况下，任何原始值都将达到滞后反同步如果反馈系数足够大且条件感到满意。
证明。根据(4)，误差系统可以导出为设Lyapunov稳定函数为然后让是超混沌Lü系统的界正值，即，, , , , , 、和，这意味着哪里很明显，对于合适的值，矩阵是正定的，并且是负半定的。所以我们得到了(). 这意味着响应系统的状态(三)和驱动系统的状态(2)最终是混合滞后渐近同步的。
3.数值模拟
在本节中，给出了一个示例来证明所提方案的有效性。在仿真中，系统参数选择如下= 36,,,.延时为.根据定理1，初始条件可以给定为任何值。为简单起见，主系统和从系统的初始条件设置为和，反馈增益系数假设为从理论分析可知，通过解析方法获得的同步条件只是充分条件。较强的反馈增益系数容易诱导同步，较小的增益系数不能保证两个混沌系统达到混合滞后同步图2显示变量的演变在驱动系统中(2)和响应系统中(三)在.状态变量的演变,,,和如图所示三.图4描述了主系统和从系统之间状态变量的同步错误。图5绘制未知参数的标识,,,、和从中可以明显看出，五个未知参数分别收敛到其实际值。仿真结果表明，该方案工作良好，系统误差状态被渐近调节为零。因此，系统的混合同步(2)和(三)可以实现；也就是系统的第三对对应变量(2)和(三)达到完全滞后同步，而系统的其他三对对应变量(2)和(三)到达延迟反同步。
4.结论
本文研究了超混沌系统的混合滞后同步。考虑到系统参数未知，提出了一种自适应控制方案，以确保驱动系统和受控响应系统之间的混合滞后同步。数值模拟验证了该方法的有效性。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
致谢
本研究得到了国家自然科学基金（11102180、61273106和61379064）和江苏省高等学校国家自然科学基金（BK2012672）的资助。
